王汉奎
数学思想有很多,將其运用于解答函数题,有助于拓宽解题的思路,提升解题的效率.在解题教学中,教师要重视讲解各种数学思想方法的应用条件和技巧,开展有针对性的训练,让学生学会灵活地运用数学思想来解题.
一、分类讨论思想
当遇到题目条件较复杂的函数问题时,教师首先要引导学生根据题目的条件,针对题目的各种情况进行分类,逐类进行讨论,再综合求出结果.利用分类讨论思想将问题分情况进行讨论,思路会更加清晰.
例1.求函数[f(x)=lg(ax-k2x)](a>0且a≠1,k∈R)的定义域.
解析:在解答此题时,教师可以指导学生假设函数[f(x)]为有意义,学生结合已学的对数知识可以得到[ax-k2x>0],从而得到[a2x>k].此时,教师可以指导学生对[k]进行分情况讨论,当[k≥0]时,x∈(0,+∞);当[k<0]时,对不等式两边取对数,可以发现若[k<1],则x∈R;若[k≥1],则[x]∈Ø.综上,当[0≤k≤1]时,x∈(0,+∞);当k≥1时,x∈Ø.
在运用分类讨论思想解题时,教师要提醒学生确保分类讨论的完整性,防止因为分类的遗漏或重复而出现的问题.
二、数形结合思想
数形结合思想是在解答函数题中运用较多的一种解题方式. 运用数形结合思想解题的关键是,根据题目的要求灵活地进行“数”与“形”之间的互化,建立“数”与“形”之间的关系,使问题得以简化.在解题时,教师要引导学生将函数题目中抽象的数量关系,通过图形以直观化的形式展现出来,简化解题的过程,优化解题的方案.
例2.设函数[f(x)=x-[x] ,x≥0,f(x+1) ,x<0,]其中[x]表示不超过x的最大整数,如[-1.5]=-2,[2.5]=2,若直线y= k(x-1)(k<0)与函数[y=f(x)]的图象只有三个不同的交点,则k的取值范围为( ).
解析:教师可以首先引导学生作出函数[f(x)=x-[x] ,x≥0,f(x+1) ,x<0,]的图象,如图所示.
然后,学生由直线[y=k(x-1)(k<0)]与函数[y=f(x)]的图象只有三个不同的交点,可以得到[-1<k≤-12].
运用数形结合思想解题,能够将题目中所有的信息展示在图形上,做到一目了然,学生可以用最简单的方法得到最准确的结果.
三、方程思想
函数与方程之间的关系较为密切.在解题时,令函数[y=f(x)=0],就将函数问题转化为方程问题.在函数中,方程思想主要应用于求函数的零点及其取值范围、讨论二次函数的根的分布情况、函数图象与x轴的交点问题等.
例3.已知函数[f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)]有唯一零点,则a=( ).
A.- [12] B.[13] C.[12] D.1
解析:由[f(x)=0,a(ex-1+e-x+1)=-x2+2x].
[ex-1+e-x+1≥2ex-1·e-x+1=2],当且仅当[x=1]时取“=”.
[-x2+2x=-(x-1)2+1≤1],当且仅当[x=1]时取“=”.
若a>0,则[a(ex-1+e-x+1)≥2a],
要使[f(x)]有唯一零点,则必有[2a=1],即[a=12].
若[a≤0],则[f(x)]的零点不唯一.
综上所述,[a=12].
该题主要考查了方程思想的应用.在解题时,教师首先要引导学生将函数问题转化为方程的根的问题,然后利用基本不等式确定a的取值.方程思想在解函数题中应用较广泛,教师要组织学生开展有针对性的训练,帮助他们提升运用方程思想解题的能力.
在解答函数题时灵活地运用数学思想,对解题有很大的帮助.因此,在解题教学中,教师不仅要讲解解答函数题的基本方法,还要指导学生灵活地运用数学思想方法,提升解题的技能.
(作者单位:浙江省绍兴市新昌县鼓山中学)