渗透数学文化 培育理性思维

林秀娟

《课标（2017）》中指出：数学文化应融入数学课程内容.教师要注重结合相应的教学内容，将数学文化渗透到课堂中，引导学生把握数学内容的本质及思想方法.教师要不惜时、不惜力让学生经历知识的发生、发展过程，揭示问题的本质，启发学生思考，进而培育学生的科学精神、创新意识和提高数学的人文价值，落实立德树人的根本任务.

2019年11月28日是我校市级开放周，我选的课题是数系的扩充和复数的概念，但当我站在学生角度看这节课心里产生了疑惑：为什么要引入虛数单位i？i2=-1是怎么来的？复数有什么用？带着这些疑惑，我去查阅数学资料，终于拨开云雾，理清来龙去脉.

1.教学过程

1.1创设情境，引入课题

教师：数学研究是从生活、生产实践中产生和发展起来的.远古时期，人们在捕鱼、采集果实等劳动中，由于计数的需要产生了自然数，自然数的全体构成自然数集N.在我们学习数学过程中课本有这样一句话：数怎么不够用了？数系扩充的发展历程是什么呢？

生：自然数系→整数系→有理数系→实数系

师：这节课我们要学习数系的扩充和复数的概念（板书课题）.

师：数系的每一次扩充都与实际需求密切相关，每次扩充的主要原因是什么呢？（已布置全班同学课前查阅资料）

生：从自然数系到整数系的扩充中引入了负数和零.因为在记账时有余有亏，在计算粮仓存米时有正有负.

生：我国数学家刘徽首先给出了正负数的定义和有关运算法则，他说：“今两算得失相反，要令正负以名之.”

师：说的太好了！

生：从整数到有理数的扩充中引入并使用了分数，是由于测量和均分的需要.

师：对.

生：为了解决像x2=2这样的方程没有有理数解，以及像形边长为1的正方形的对角线的度量等问题，人们引入了无理数，从而把有理数系扩充到了实数系.

师：回答的太棒了！

设计意图：布置学生课前自主查阅从自然数系扩充到实数系的资料.注重知识的系统与迁移，为学生学习复数铺设路径.

1.2问题引领，逐步探究

教师：1545年，意大利学者卡尔丹在其所著的《重要的艺术》中列出了一道令人困惑的问题，问题是“将10分成两部分，使两者的乘积等于40.这两部分分别是多少？”[1]

生：解：设这两部分分别为x，y则有

即无解.

师：卡尔丹求得根为和，卡尔丹成了数学史上第一个写下负数平方根的人.

教师：还是在《重要的艺术》中，卡尔丹也向世人公开了形如一元三次方程的其中一个求根公式：.但在运用这个公式时也遇到了负数开平方的问题.

设计意图：通过设置历史经典问题，开启本节课探索的出发点和动力，引导学生正视在求解一元二次方程的根中负数开平方的根的存在，形成认知冲突.

师：同时期的数学家邦贝利注意到了三次方程里出现的负数的平方根问题.他解出三次方程x3+15x+4的根分别为，那么代入卡尔丹公式会是什么情形呢？代入公式有，它是前面涉及的三个实数根中的哪一个呢？

生：都不是.是不是公式错了？

师：邦贝利也是这样怀疑的，他反复检查公式，发现公式的每一步都是正确的.问这个公式可以继续化简吗？带着这些疑惑，邦贝利发现既然与只相差一个符号，那么它们的三次方根是什么关系呢？

生：也只相差一个符号.

师：他用待定系数法令

，由此解出a=2，b=1，故解决了三次方程不可约的情况，也说明负数是可以开平方的.

师：直到17世纪，当时的很多数学家还认为负数是没有平方根的，笛卡尔也认为它是虚幻的，创立了虚数“imaginary”和实数相对.

师：1777年欧拉首次引用虚数“imaginary”的首字母i定义，也就是i2=-1.把这个新数i添加到实数集中去，得到一个新数集，那么方程在新数集中就有解了.回到和这两个根可以记作什么了呢？

生：i和i.

设计意图：虚数单位i的产生先有卡尔丹等人发现三次方程的解中负数平方根的存在，后有邦贝利等人对负数平方根的思考和解释.不仅让学生掌握i2=-1，而且让学生在知识教学过程中，学会学习，学会提出问题和解决问题.

教师：在新数集中要怎么进行运算呢？回顾把有理数系扩充到实数系后，在实数系中规定的加法运算、乘法运算与原来在有理数系中规定的加法运算、乘法运算是否协调一致？

生：原有的一些基本关系和运算在新数集里仍然适用.

师：依照这种思想，把实数a与新引入的数i相加，结果记作a+i，把实数b与i相乘的结果记作bi，把实数a与实数b与i相乘的结果相加，结果记作a+bi.

教师：把刚才所写出来的数都包含在内了吗？

学生：包含了..

师：很好！这些数都由两个部分复合而成，一部分是实数，另一部分是实数与i的乘积，所以我们可以给它取一个名字---复数.

师：我们把集合中的数，即形如的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数所成的集合C叫做复数集.

师：实数表示中也是有单位的，这个单位是？

生：1.

师：学习向量，也是有单位向量.同样为了引入虚数，也需要引入虚数单位.

师：从16世纪卡尔丹和邦贝利开始研究虚数，到19世纪随着科学和技术的进步，复数理论已经不断扩大而发展成庞大的一门学科.它不但与向量、平面解析几何、三角函数等都有密切联系，而且在力学、电学及其它学科中都有广泛应用，推动各个领域的进步和发展.

1.3例题讲解、巩固练习

师：既然复数有这么多用处，接下来让我们更进一步学习复数.

师：复数通常用字母z表示，这一表示形式叫做复数的代数形式，对于复数，a，b分别叫做复数z的实部和虚部.

（板书：复数定义与表示）

例1写出复数的实部和虚部.

（请学生回答）

师：这些数中有两个数是大家非常熟悉的，是哪两个？

生：.

师：这些虚数中也有两个非常特殊，是？

生：.

师：请大家思考下复数可以分为哪几类呢？

生：第一类虚部b=0，此时它是实数.

第二类虚部b≠0，叫做虚数.这里又分为实部a=0且b≠0，叫做纯虚数.

师：很好！

师生共同总结：复数可以分类如下：

显然：实数集R是复数集C的真子集.

设计意图：引导学生分析例题中的关键信息，揭示复数分类，从而深化对复数概念的理解.

例2实数m取什么值时，复数是（1）实数;（2）虚数;（3）纯虚数;（4）z=0.

设计意图：让学生在解决问题的过程中巩固复数有关概念，教会学生如何分析题意，提升数学思维能力.

师：受到这道例题启发.对于复数你认为在什么情况下相等？

学生11：

例3判断下列命题的真假：

（1）若a=0，则为纯虚数.

（2）若为纯虚数，则a=0.

结论：a=0是为纯虚数的条件呢？

1.4归纳小结，延伸课堂

教师：也许有同学会问，复数系够用了吗？还要不要對数系再扩充呢？

师：目前的确有一些数学家正在研究这个问题，比如，有人提出了建立超复数系的想法.随着学习与研究的深入，也许哪一天你们也会发现数学矛盾，那么受这节课的启发，只要遵循数系扩充的基本原则，相信到那时候你们自己也能试着对数系进行扩充.

教师：这节课你有什么收获？你还有什么疑惑？

众生：略.

2渗透数学文化培育理性思维

教师教学中要关注数学文化，研究数学文化，张奠宙教授曾经提出：“数学文化必须走进课堂.”数学史是数学概念，思想的起源与发展的历史，是数学文化的一部分，数学文化又是数学学科的一个有机组成部分.本节课教学中教师要引导学生关注数系扩充的数学文化，让学生在历史问题的引领下，积极思考，培养发现问题、提出问题的能力.

章建跃先生认为：“从数学知识发生、发展过程的合理性、学生思维过程的合理性上加强思考，这是落实数学学科核心素养的关键点.”[2]课堂教学是培养数学思维的重要方式，数学文化可以帮助学生更好的理解数学内容、思想的本质.课堂上选取合适的问题并进行合理的设计，不仅有利于夯实学生的基础知识和基本技能，更能通过数学文化的渗透，提升学生的问题解决能力和思维能力。

数学课堂源于数学文化而高于数学文化，本节课让学生领会为什么要引入虚数单位i？数学家们如何对数系进行扩充？的概念建构过程，进而问学生复数系够用了吗？还要不要再扩充？再启迪学生只要遵循数系扩充的基本原则，有一天他们也可以试着对数系进行扩充的课堂教学不仅可以培养学生迁移能力，培育学生用数学思维分析世界，用数学的语言表达世界能力，还可以提高学生的数学文化素养.

参考文献

[1]王奇.数系的扩充和复数的概念教学设计[J].中学数学教学参考，2018（8）：20-22.

[2]章建跃.把数学教好是落实核心素养的关键[J].中小学数学（高中版），2016（5）：65-65.