集合的概念教学设计及思考

宋阳

摘要：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象和数据分析是高中数学核心素养的六个方面，其中数学抽象是形成集合概念的第一步。高中阶段的数学概念，也可以促进学生的数学思维发展，在高中数学问题中找到正确的思维判断和理论推理。但作为高中数学的起始课，需要培养学生对于高中数学的兴趣爱好，调动学生在教学活动中的积极性，进而得出正确和严谨的数学结论。第一章集合是高中数学的第一个概念，体现了集合在数学中的奠基性地位，也体现了高中数学的学习过程、特点和方法。本节课中通过小学、初中、高中集合知识的学习阶段的类比和具体问题的分析，既完成集合概念的形成，又能教学生如何进行高中数学的学习，达到让学生从初中到高中的顺利过渡。

高中数学需要培养学科核心素养，集合这一章重点需要培养学生的数学抽象，具体表现是学生能在情境中抽象出数学概念、命题、方法和体系，集合的概念需要通过具体事例抽象而出。集合是刻画一类事物的语言和工具，通过本单元的学习，可以帮助学生使用集合的语言简洁、准确地表述数学研究对象，学会用数学的语言表达和交流，积累数学抽象的经验。

而对于进入高中后的第一章内容，往往是学生遇到的第一个困难，从初中具体化内容过渡到抽象的数学符号和语言是教学难点。我通过两届学生课前和课后的反映，分析学生遇到的问题，找出初高中衔接上需要的注意事项并进行了新一轮的教学设计，现将同学的反馈情况总结如下。1.在能力水平方面：因为班内同学的初中层次不同，对于高中知识在初中的渗透有所不同，所以造成同学间对新知识的认识程度存在差异，有些同学已经在初中学习过简单的定义，但未深入理解，有些同学则一点没有接触过。2.在学习能力方面：每位同学的学习能力有差异，对于整班教学无法做到一刀切，引导学生思考的深度需要拉开梯度，让每位同学听懂的前提下，好学生有所提高。3.在心态方面：在过去的暑假里学生多是放松为主，开学后进入新的环境，学习难度的加大会让学生感到压力，无形中造成学生知识获取的慢。

针对我的教学班级出现的以上现象，我的教学设计进行了一系列的调整，目的是解决上届同学在学习上出现的问题，更好地进行初高中的衔接工作。1.在能力方面，班中已经学习过集合内容的同学会认为高中知识第一章已经掌握，但并不理解知识的由来和集合本章的学习意义，即集合的定位是将集合作为一种语言来学习，通过教学使学生感受到用集合语言来表示数学内容时的简洁性、准确性，并使学生能用几何语言简洁、准确地表示数学对象。所以我的设计是通过具体实例进行抽象概括，让同学培养和锻炼语言的简洁性和准确性。课堂上及时表扬表达上的进步，而不停留在知识的获取上。2.在本节课的设计中，我有意识的涉及到更多的数学知识和其他知识，例如素数、三角、二次方程和二次不等式、反比例不等式和社会热点“新四大发明”。我希望学习能力较强的同学在看到这些发散的名词后能够回忆起更多内容，把一节课的内容拓宽拓广。3.在同学的心态方面，我向特级教师请教，学习设计更多的小组讨论和回答问题的互相补充，意在让同学们交流中互相熟悉并且思维上互相碰撞。知识的形成应该是对比、分析、总结、互相交流、修正、总结的过程，在小组讨论中更能够激发学生的兴趣，并且在互相的交流中找到自己的问题并加以修正，这正是学习新知识应有的顺序，为今后的高中数学学习打下基础。

下面是这节课我的部分设计：

教师活动1

在小学和初中我们对集合这个次已经有了一些粗略的了解，例如：一个含有未知数的等式的解的集合，简称为这个等式的解集。平面内到一个定点距离等于定长的点的集合是圆。

观察下面例子中的集合，指出研究对象是什么？

（1）1～20内的质数;

（2）本班高一2班的全体同学;

（3）我国的直辖市

（4）方程的所有实根

学生活动1

指出每个集合中的研究对象分别是什么并加以定义“元素”，小组讨论，注意语言的简洁性和准确性，进而总结得出集合的含义。

活动意图说明：通过实际例子，对比、分析、讨论和总结研究对象得出集合的概念。例子的设计目的是从学习之初就让学生理解研究对象并不一定是数字，也有可能是生活中的元素。从实际中加以总结得到概念，学生由浅入深理解概念。

教师活动2

指出下列元素是否构成集合，如果是，指出集合的元素

（1）“math”中包含的字母

（2）我们班中比较高的同学

（3）中国的“新”四大发明

（4）大于的整数

（5）不等式的正整数解

（6）方程的解的集合

（7）到一个角两边距离相等的所有点

学生活动2

学生进行小组合作，先自己在学案上标注出哪些是集合，再小组内合作得出最终结果，组长进行汇报。由（1）和（2）的对比得到集合中元素的确定性。老师提问“思考（3）中的：高铁、扫码支付、共享单车和网购，有顺序吗？”得出集合中元素的无序性。由（5）“1，2”两个元素，得出集合中元素的互异性。由（6）发现集合中如果没有元素，称为空集。由（7）感受除数集外的点集。

活动意图说明

在了解了集合的概念和元素的概念后，进一步加深对集合的理解。本设计通过生活中和数学上的例子，让学生对比、思考、总结得到集合中元素的三个性质，并简单了解集合的分类：空集、有限集、无限集。引用大量实例的目的是让学生自主发现，形成更加深刻的概念理解。

例1：选择合适的方法表示下列集合：

（1）小于8的所有自然数组成的集合

（2）大于3的有理数的集合

（3）满足不等式的解集

例2：判断下列集合是否是一样的？

学生回答

在实例的背景下，学生可以得出哪些可采取描述法和列举法，哪些采用描述法，同时练习集合的书写和特殊数集的符号，培养数学符号使用习惯。学生对于例2的第一问题往往会出现错误，这时我会让同学回答，表达自己的想法，从中让程度好的同学得到语言上的提升。

活动意图说明

由上题中的例子中对比学习集合的列举法和描述法，辨析两种方法的区别和适用条件。例1的目的是突破本节课的难点，集合的表示法，教师板书书写格式。例2通过具体题目，引导学生使用集合的定义来判断相等集合，并注意每个集合的元素是否是同一类型。

布置练习

练习1：求不等式的解集

练习2：下列各式中错误的是（ ）

練习设计意图说明

对于各梯度水平的同学，我设计不同难度的练习题，让这节课刚学会集合概念的同学做题时有做对的成就感，让学有余力的同学进行更深入的探究和思考，目的是让每个同学都能有收获有提高。

参考文献：

[1]顾卫清.基于高中数学现象的概念教学模式[J].考试周刊，2020（A4）：65-66.

[2]裴彩荣.基于核心素养下数学抽象的教学设计——以“集合的概念”为例[J].中学课程辅导（教师通讯），2020（20）：86-87.

[3]程金林.探究新课程教学中运算能力的培养[J].高中数理化，2020（14）：17.

[4]钟一鸣.基于核心素养下数学抽象的教学设计——以“集合的概念”为例[J].数学教学通讯，2020（03）：27-28.

[5]马旭，欧阳尚昭.“集合的概念”教学设计、教学反思与点评[J].中学数学教学参考，2019（22）：17-23.

（北京市东直门中学 北京 100000）