质点系动能定理例谈

胡小波

摘 要：动能定理是中学物理中非常重要的一个定理，它能从功能角度很好的处理诸如变力做功、曲线运动以及多过程的复杂问题，中学物理教材中只给出了单个物体（或质点）的动能定理，但在平时的学习过程中经常涉及到质点系的动能问题，即质点系动能定理.

關键词：质点系;质点系动能定理

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2020）22-0088-03

日常生活中，我们通常会遇到这样一个问题，题目

如下：

引例 人在水平面上走路（由静到动）靠什么力对人做功引起人的动能的变化？

图1

分析 如图1所示， 人在水平面走路时，人脚相对于地面有向后的运动趋势，因而人受到向前的静摩擦力，但此摩擦力作用于人脚上并不产生位移，即人受到地面的静摩擦力是不做功的，那为何人会获得向前的速度和动能呢？这是因为此时的人是不可以看作质点的，而应当将人看作很多个质点组成的质点系，质点系的动能变化是由内外力做功的总和引起的，显然人走路时外力对人不做功，那人的动能的变化必定是内力做功的结果，因此人走路时获得的动能是人本身的内力（来源于人体的肌肉）做功的结果.

上例说明质点系动能的变化会受质点系的内力做功影响，那质点系的动能变化究竟与什么力做功相对应呢，质点系动能定理又如何？

一、质点系动能定理

（1）内容：质点系总动能的增量在数值上等于质点系所受一切外力和一切内力做功之和.

（2）表达式 ：∑A外+∑A内=∑Ek2-∑Ek1.

式中∑A外、∑A内分别表示质点系外力所做功总功之和及内力所做总功之和;∑EK2、∑EK1分别表示质点系的末态的总动能及初态的总动能.

从该定理可以看出，无论是系统的外力还是系统的内力，只要它们做功都必定会引起质点系的动能的变化.特别的，当质点系的内力不做功时（比如系统内的两物体由不可伸长的绳或杆相连），即∑A内=0，表达式变为∑A外=∑EK2-∑Ek1，处理问题极其方便.

二、应用举例

例1 如图2所示，质量M的木块套在光滑水平杆上，并用长为L的不可伸长的细线将木块与质量m的小球相连，若从图中竖直的虚线位置m小球受到一个水平的恒力F作用，由静止开始运动，当细线拉到水平位置时如图3所示，M木块的位移是s，小球绕M木块的角速度为ω，已知绳子长度为L，求出此时木块速度？

图2 图3

分析 对于用细绳相连的小球和物块构成的质点系，受力方面：物块M和小球m由细线相连，细线对物块M和小球m的拉力属于质点系的内力且做功的代数和为零，质点系的外力有物块受到的重力和支持力、以及小球受到的重力和水平恒力，显然质点系的四个外力中，物块受到的两个力（重力和支持力）均不做功，小球受到的两个力（重力和水平恒力）都做功.

质点系内物体速度方面：当小球运动至细线水平时（如图3所示），M和m在杆方向速度为v，m在垂直杆方向速度为ωL，此过程M位移是s，m的位移是s+L，由质点系的动能定理得：

F（s+L）-mgL=12Mv2+12m（v2+ω2L2）-0

得到：v=2F（s+L）-mω2L2-mgLm+M

点评1 本例的质点系是绳及绳相连的物块和球，绳不可伸长，系统内力做功代数和为零，处理时只考虑外力做功.

例2 如图4所示，在竖直平面内固定一U型轨道，轨道两边竖直，底部是半径为R的半圆，质量均为m的A、B两小环，用长为R的轻杆连接在一起，套在U型轨道上，小环在轨道的竖直部分运动时受到的阻力均为环重的0.2倍，在轨道的半圆部分运动时不受任何阻力.现将A、B两环从图示位置由静止释放，释放时A环距离底部2R，不考虑轻杆和轨道的接触，重力加速度为g，求：A环在半圆部分运动过程中的最大速度.

图4图5

分析A环、B环与杆可以看成一质点系，受力方面：内力是杆对A、B环的作用力，很明显内力做功且代数和为零;外力是A、B环的重力和竖直轨道对两环的摩擦阻力及两环运动到圆弧轨道时受到轨道的弹力，其中重力对它们做正功，阻力对其做负功，圆弧轨道的弹力不做功.

运动的速度方面：当A、B两环均沿半圆轨道时，两球的速度大小始终相等，则A环速度最大时整体的重心最低，此时轻杆水平（如图5所示），重心在圆心的正下方，由几何知识可得此时重心距圆心的距离OC为32R，由质点系动能定理得：WAG+WBG+WA阻+WB阻=12×2mv2-0

即mg（R+32R）+mg（2R+32R）-0.2mg×2R-0.2mg×R=12×2mv2-0代入数据可得v=（125+3）gR，所以A球的最大速度为v=（125+3）gR

点评2 本例中，轻杆不可伸长，由此相连接的两物体在运动过程中质点系的内力对系统做功的代数和为零，所以只要考虑系统外力的功，使问题得以简化.图6图7

例3 如图6所示，质量分别为m和M的物块A和B用不可伸长的细绳连接，A放在倾角为α的固定斜面上，B能沿杆在竖直方向上自由滑动，杆到滑轮中心的距离为L，开始时将B抬高到使细绳水平.求当B由静止开始下落h时的速度.（滑轮和绳的质量及各种摩擦均不计）

分析 对A、B和轻绳构成的质点系统，从内力和外力方面来看，内力有绳对两物块的拉力，做功的代数和为零;外力有A 、B的重力及斜面和杆分别对A、B的弹力，外力中只有A、B的重力做功;从系统运动的速度角度看，A、B两物块通过细绳相连，B下落时速度可分解为沿绳方向的分速度v//和垂直于绳方向的分速度v⊥，B下滑时沿绳方向的分速度与A物块速度相等，即vBcosθ=vA，vB·hL2+h2=vA如图7所示.

由质点系动能定理可得：

WAG+WBG=12MvA2+12mv2B-0

解得：vB=2（L2+h2）Mgh-mgL2+h2-Lsinαmh2+ML2+h2

點评3 特别注意，绳和杆相连的物体，其各自沿绳或杆方向的速度大小一定相等.本例还可用系统的机械能守恒处理，这里不再赘述.不可伸长的绳和杆相连时，质点系内力做功为零，但并不是所有的质点系的内力做功代数和都为零.下面回到引例中提出的人在水平面起跳时质点系的动能问题.例4 如图8所示，是被誉为“豪小子”的华裔球员林书豪在NBA赛场上投二分球时的照片.现假设图8

林书豪准备投二分球前先曲腿下蹲再竖直向上跃起，已知林书豪的质量为m，双脚离开地面时的

速度为V，从开始下蹲到跃起过程中重心上升的高度为h，则下列说法正确的是（）.

A. 从地面跃起过程中，地面对他所做的功为0

B. 从地面跃起过程中，地面对他所做的功为12mv2+mgh

C. 从下蹲到离开地面上升过程中，人所做的功为12mv2+mgh

D. 离幵地面后，他在上升过程中处于超重状态;在下落过程中处于失重状态

分析 本例是人从地面起跳问题，与引例中的人走路有相似之处，一者人都不可以看作质点，只能看作质点系;再者，地面作用在人脚的力（引例中是摩擦力，本例是支持力）都不做功; 从内外力上看，外力中的支持力不做功，重力做负功，内力（来自于人体）做正功，正由于内力做正功才引起了人的动能的增加，即人从下蹲到离开地面上升过程中是人的内力做功的结果，并不是地面对人的支持力做功的结果.

由质点系的动能定理可得：WG+W人=12mv2-0

即：-mgh+W人=12mv2-0

解得W人=12mv2+mgh

所以本题选AC，选项D根据超重、失重发生的条件很容易排除掉.

通过上述例子可小结出利用质点系动能定理解决问题的一般思路：

（1）明确质点系由哪些对象构成;

（2）要正确的分析出系统的内力和外力，明确系统内力和外力做功情况;

（3）如果质点系内的物体用不可伸长的绳或杆相连，则质点系内力做功代数和为零，只考系统外力所做的功，使问题大大简化;

（4）如若内力做功代数和不为零，则分别写出内力和外力所做的功，列质点系动能定理方程，解决问题.

需要特别强调的是质点系的内力做功代数和不一定都为零，只有不可伸长的绳和杆相连的物体，其内力做功的代数和才为零，一旦系统内的两物体距离发生变化内力做功的代数和便不再为零，这一点一定要慎之又慎，另外，绳和杆相边的物体在发生运动时，其各自沿绳或杆方向的速度一定相等，这也是关联系统内物体速度关系的重要方法所在.

参考文献：

[1]赵晶，班月童，孟秀兰.高考物理压轴题中考生运用能量观念解决物理问题的障碍分析——以2019年全国高考理综Ⅰ卷第25题为例[J].物理教学，2019，41（12）：60-64+32.

[责任编辑：李 璟]