概率论的起源与发展

曾轩翎

一、概率论的起源

三四百年前，欧洲的许多国家盛行赌博之风，经常以“掷骰子”的形式进行赌博。因骰子的形状为小正方体，当它被掷到桌面上时，每个面向上的可能性是相同的，即出现1点至6点中任何一个点数的可能性是相等的。于是，有的参赌者就在想：如果同时掷两枚骰子，那么点数之和为9与点数之和为10，哪种情况出现的可能性更大？

17世纪中叶，法国有一位热衷于掷骰子游戏的贵族德·梅耳，发现了这样的一个事实：将一枚骰子连掷4次至少出现一个6点的机会比较多，而同时将两枚骰子掷24次，至少出现一次两个6点的机会却很少。

这是什么原因呢？后人称这个问题为德·梅耳问题。

在德·梅耳发现掷骰子的这个问题后不久，有人又提出了“分赌注问题”：两个人决定赌若干局，事先约定谁先赢5局，便算是赢家。如果在一个人赢3局，另一人赢4局时因故终止赌博，应如何分赌金呢？诸如此类需要计算可能性大小的赌博问题陆续不断地出现，但他们都没有找到问题的答案。

1654年，参赌者将他们遇到的上述问题请教了当时的法国数学家帕斯卡，帕斯卡接受了这些问题，但他没有立即回答，而是把它交给了另一位法国数学家费马。两位数学家频频通信，互相交流，围绕着赌博中的数学问题展开了深入细致的研究。他们的信件被看作数学史上最早的概率论文献。

1657年，荷兰物理学家、天文学家、数学家惠更斯在帕斯卡与费马工作的基础上，发表了第一篇关于概率论的论文《论赌博中的计算》。他在文章中引进了“数学期望”这个重要概念：如果p表示一个人获得金额为s的概率，则印称为他的数学期望。他还证明了：如果一个人获得金额a的概率为p，获得金额b的概率为q，则他可以希望获得的金额为ap+bq他运用数学期望解决了许多概率问题，并将此题的解法向更一般的情况推广，给出了准确的数学期望的定义——它是描述随机变量取值的平均水平的一个量。

二、概率论的形成

惠更斯经过多年的潜心研究，解决了一些有关掷骰子的数学问题。1657年，他将自己的研究成果写成了专著《论掷骰子游戏中的计算》。这本书迄今为止被认为是概率论中最早的著作。因此可以说，早期概率论的真正创立者是帕斯卡、费马和惠更斯。

在他们之后，瑞士数学家雅可布·贝努利也对概率论这一学科的发展作出了巨大的贡献。他在前人研究的基础上，继续分析赌博中的其他问题，给出了“赌徒输光问题”的详尽解法，并证明了一个被称为“大数定律”的定理，这是古典概率论中研究等可能性事件的极其重要的成果。证明大数定律的过程极其困难，雅可布花了整整20年的时间才完成。他进行了大量的实验和计算，首先猜想到这一事实，然后一步步完善这一猜想的证明。雅可布将他的全部心血都倾注到对这一数学问题的研究之中，在这个过程中，他还发现了不少新的方法，取得了许多新的研究成果，最终也将此定理证实了。

1713年，雅可布的著作《猜度术》出版。遗憾的是他的大作问世之时，雅可布已谢世8年之久。雅可布的侄子尼古拉·贝努利也真正地参与了“赌博”。他提出了著名的“圣彼得堡问题”：甲乙两人赌博，甲掷一枚硬币，直到掷出正面为一局。若甲掷一次出现正面，则乙付给甲一个卢布;若甲第一次掷得反面，第二次掷得正面，乙付给甲2个卢布;若甲前两次掷得反面，第三次得到正面，乙付给甲5个卢布。一般地，若甲前n一肷掷得反面，第n次掷得正面，则乙需付给甲2n-1个卢布。问在赌博开始前甲应付给乙多少卢布才有权参加赌博，并且使乙不亏损？与尼古拉同时代的许多数学家研究了这个问题，并给出了一些不同的解法，但其结果很奇特，所付的金额竟为无限大。这也就是说，不管甲事先拿出多少钱给乙，只要赌博持续进行，乙肯定是要赔钱的。

三、概率论的发展

随着18、19世纪科学的发展，人们注意到某些生物、物理和社会现象与赌博相似，于是将概率论逐渐应用到这些领域中。

法国数学家拉普拉斯将古典概率论向近代概率论推进，他首先明确给出了古典概率的定义，并在概率论中引入了更有力的数学分析工具，将概率论推向一个新的发展阶段。他证明了“棣莫弗一拉普拉斯定理”，把棣莫弗的结论推广到一般的情况，还得出了观测误差理论和最小二乘法。拉普拉斯于1812年出版了他的著作《分析的概率理论》，这是一部继往开来的作品。然而，这时候人们最想知道的是，概率论是否会有更大的应用价值？是否能发展成为一门严谨的学科。

在20世纪，由于科学技术发展的迫切需要，概率论再度迅速地发展起来。1906年，俄国数学家马尔科夫提出了所谓“马尔科夫链”的数学模型。1934年，前苏联数学家辛钦又提出一种在时间中均匀进行着的平稳过程理论。其间，很多的数学家都曾尝试把概率论建立在严格的逻辑基础上，形成一门独立的学科，但终因条件不成熟，概率论发展为一门独立学科经历了300年才实现。

20世纪初完成的勒贝格测度与积分理论，以及随后发展的抽象测度，为概率公理体系的建立奠定了基础。在这种背景下，苏联杰出的数学家柯尔莫哥洛夫于1933年在他的《概率论基础》一书中，首次给出了概率的测度论定义和一套严密的公理体系。他的公理化方法成为现代概率论的基础，使概率论成为一个严谨的數学分支。

现在，概率论与以它作为基础的数理统计学科一起，在自然科学、社会科学、工程技术、军事科学及工农业生产等诸多领域中都起着不可或缺的作用。例如，卫星发射、导弹巡航、飞机制造、宇宙飞船遨游太空等都有概率论的一份功劳;天气预报、海洋探险、考古研究等更离不开概率论与数理统计;电子技术发展、影视文化的进步、人口普查等同概率论、数理统计也是密不可分的。

概率论作为一个理论严谨、应用广泛的数学分支，正日益受到人们的重视，并将随着科学技术的进步继续发展。