证明不等式的几种方法

李秋阳

不等式证明问题是高中数学中的一个重点，也是一个难点问题.证明不等式的方法多种多样，常见的有分析法、作商法、作差法、反证法、放缩法等.在解题时，我们需要根据不同的题型进行分析，选择合适的方法，这样才能有效地提升解题的效率.

一、分析法

分析法是指通过分析题目中的不等式关系，从未知推出已知的方法，属于一种逆向思维的方式.在解题中，我们一般采用“要证明……，即需证明……，只需证明……”的句式来证明结论.

二、数学归纳法

数学归纳法也是证明不等式的一种基本方法，常用于证明一个与正整数有关的不等式问题.在证明不等式时，我们可按下列步骤进行：

（1）证明当取第一个值（∈N）时不等式成立;

（2）假设=（≥，∈N）时不等式成立，证明當=时不等式也成立.

完成了这两个步骤，我们就可以断定要证明的不等式对从开始的所有正整数都成立.

例2.已知数列{}满足=2（1），且=2-xn（xn）（∈N），证明：0<<1;

证明：¢Ù当=1时，=2（1）¡Ê（0，1），不等式成立.

¢Ú假设当=（¡ÊN，≥1）时，结论成立，即¡Ê（0，1），

则当=+1时，=2-xk（xk），

因为¡Ê（0，1），所以2->0，即>0.

又因为_k-1=2-xk（xk-1）<0，所以0<<1.

综合¢Ù¢Ú可知0<<1.

这里主要运用了数学归纳法，采用了上述步骤分别证明了当n=1和n=k+1时不等式均成立.

三、比较法

比较法主要有作商法和作差法.作商（差）法是通过将不等式左右两边的函数式进行作商（差），然后将得出的值与1（0）进行比较的方法.在证明不等式时，我们要根据不等式的结构特征选择比较的方法，若不等式两边的式子是幂、对数、乘积的形式，一般选择作商法;若不等式两边的式子是除式、和式、差式，一般选择作差法.

在证明该不等式时，我们首先将不等式变形，通过作差得到一个与原不等式等价的新不等式，然后通过分解因式，利用完全平方公式和配方法证明了新不等式成立，从而证明结论成立.

证明不等式的方法多种多样，并且每一种证明方法并不是孤立存在的，有时一道题目往往需要结合多种方法才能得以获解，因此同学们要牢固掌握这些方法，并灵活地将它们应用于解题当中.

（作者单位：江苏省包场高级中学）