非负性的巧用

于宗英

非负数的常用性质是：若几个非负数的和等于零，则每一个非负数也都只能是零. 下面我们一起欣赏该性质的应用.

例1 已知a，b为实数，且 - （b - 1） = 0，求a + b的值.

分析：由已知条件得到 + （1 - b） = 0，利用二次根式有意义的条件得到1 - b ≥0，再根据上述性质得到1 + a = 0，1 - b = 0，解得a = - 1，b = 1.

解：∵ - （b - 1） = 0，∴ + （1 - b） = 0.

∵ ≥ 0，（1 - b） ≥ 0，∴1 + a = 0，1 - b = 0，

解得a = -1，b = 1，则a + b = -1 + 1 = 0.

點评：几个非负数之和等于0时，各项都等于0，利用此性质列方程可解决求值问题.

例2 已知a，b，c是△ABC的三边，a，b使等式a2 + b2 - 4a - 8b + 20 = 0成立，且c是偶数，求△ABC的周长.

分析：首先利用完全平方公式分解因式，进而利用偶次方的性质得出a，b的值，再利用三角形三边关系定理得出答案.

解：∵a2 + b2 - 4a - 8b + 20 = 0，

∴（a2 - 4a + 4） + （b2 - 8b + 16） = 0，

∴（a - 2）2 + （b - 4）2 = 0，

∵（a - 2）2 ≥ 0，（b - 4）2 ≥ 0，∴a - 2 = 0，b - 4 = 0，解得a = 2，b = 4，

∵a，b，c是△ABC的三边，∴2 < c < 6，

又∵c是偶数，∴c = 4.

故△ABC的周长为：2 + 4 + 4 = 10.

点评：巧妙地把常数拆分，进而利用完全平方公式分解因式得到非负数，是解决本题的关键.

通过上面的题目可以看出：在解求值问题时，若题中含有多个未知数，但只给出一个方程时，常用方法就是应用非负数的性质结合配方变形，列方程组求解.