奇妙的自循环数

黑马三

提起81这个数，大家立刻能联想到：乘法口诀表中最后一句9 × 9 = 81;我国四大名著之一《西游记》讲述了唐僧师徒四人赴西天取经，途中经历九九八十一难，最终取得真经的故事。而下面对81的介绍，则是出自数学家的眼光和剖析。

两位数81是一个奇妙的“自循环数”。它的特殊之处在于：81恰好等于它两个数位上的数字8与1之和的平方，即81=（8 + 1）2。简单直观地表示，就是从81 → 8+l → （8+1）2 → 81，形成了一个“隐而再现”的循环圈。

数学家们开始探寻其他具有类似特性的数，并称其为“自循环数”。其具体叙述如下： “自循环数”是指n位数N恰好等于它n个数位上的数字之和的n次方。显然，81是一个两位“自循环数”。除此之外，还有其他两位“自循环数”吗？

根据定义不妨假设： 所求的两位数是N2，它的两个数位上的数字之和为S2，则有S22 = N2;

由S22是两位数可知9

因为102 = 100，所以S2<10;又因为32 = 9，所以S2>3。

于是可知  3

对这六种可能逐一进行计算检验，可知：

42 = 16，1+6 ≠ 4;52 = 25，2+5 ≠ 5;

62 = 36，3+6 ≠ 6;72 = 49，4+9 ≠ 7;

82 = 64，6+4 ≠ 8;92 = 81，8+1 = 9。

由此可知，兩位“自循环数”只有81这一个。

同理可探究三位“自循环数”。

根据定义假设：所求的三位数是N3，它的三个数位上的数字之和为S3，则有S33 = N3;

由S33是三位数可知99

因为103 = 1000，所以S3<10，又因为43 = 64 < 99，所以S3>4;

于是可知  4

对这五种可能逐一进行计算检验，可知：

53 = 125，1+2+5 ≠ 5;63 = 216，2+1+6 ≠ 6;

73 = 343，3+4+3 ≠ 7;83 = 512，5+1+2 = 8;

93 = 729，7+2+9 ≠ 9。

由此可知，三位“自循环数”只有512这一个。

而对于四位“自循环数”，有兴趣的同学不妨自己探究一番。四位“自循环数”也是唯一的，那就是2401。至于此数从何而来，已经无须赘述，你应该懂得哟！