一元二次方程根与系数的关系（一）

雷添淇

初中数学教材大多通过实际例子引入，比较形象化，同学们易于理解和掌握. 但高中数学教材概念、定理抽象，知识难度加大，能力要求更高，因此许多同學升入高中后感到非常不适应. 为此，本刊特开设“初高衔接”栏目.本栏目通过复习高中阶段必备的初中知识，并预学部分高中知识，让同学们提前熟悉和掌握高中的学习方法，顺利应对高中课程.

一元二次方程根与系数的关系在初中是选学内容，中考不作考查.但掌握了这一知识点，再来解答初中一元二次方程部分试题，会使得解题更简捷、更高效.而且，该部分内容在解决高中数学的二次方程零点问题、函数问题、二次不等式问题，以及圆锥曲线问题等知识时至关重要. 下面就本部分内容以及涉及的典型问题进行解析.

一、知识要点

1. 若一元二次方程[ax2+bx+c=0（a≠0）]有两个实数根，分别为[x1]，[x2]，则[x1+x2=-ba]，[x1⋅x2=ca]. 上述结论即为一元二次方程根与系数的关系，又称韦达定理.

2. 韦达定理的逆定理：若两个实数[x1]，[x2]满足[x1+x2=-ba]，[x1⋅x2=ca]，则[x1]，[x2]必为方程[ax2+bx+c=0（a≠0）]的两根.

二、主要运用

1. 已知方程的一个根，求另一个根及未知系数;

2. 不解方程，求已知一元二次方程两根的对称式及可转化或可构造对称式的值;

3. 已知方程的两根，求作这个一元二次方程;

4. 已知两数的和与积，求这两个数;

5. 根的分布问题.

三、例题解析

例1 已知[x1=-2]是关于[x]的一元二次方程：[m2x+x2+3mx+12x+5=0]的一个实数根，则该方程的另一实数根[x2=] .

分析：根据题设，首先将已知方程整理成关于[x]的一元二次方程，再利用一元二次方程根与系数的关系进行求解.

解：整理得[x2+m2+3m+12x+5=0]，由一元二次方程根与系数的关系有[x1x2=5]，所以[x2=-52].

点评：本题的一般方法是将[x1=-2]代入方程，整理得到关于[m]的方程，求出[m]的值，然后再求出[x2]，但这样解题过程较为烦琐，利用一元二次方程根与系数的关系则可以简捷、准确地求出[x2].

例2 若[x1]，[x2]是方程[x2+2x-17=0]的两个根，试求下列各式的值：

（1）（[x1-5]）（[x2-5]）; （2）[x1-x2]; （3）[1x21+1x22].

分析：本题若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现复杂的计算，可以对原代数式进行变形，将其转换成用两根之和与两根之积来表达，然后利用一元二次方程根与系数的关系进行求解.

解：由一元二次方程根与系数的关系有[x1+x2=-2]，[x1x2=-17].

（1）[（x1-5）（x2-5）=x1x2-5（x1+x2）+25=-17-5×（-2）+25=18];

（2）[x1-x2=（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=（-2）2-4×（-17）=62];

（3）[1x21+1x22=x21+x22x21x22=（x1+x2）2-2x1x2（x1x2）2=（-2）2-2×（-17）（-17）2=38289].

点评：利用一元二次方程根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：[x21+x22=（x1+x2）2-2x1x2]，[1x1+1x2=x1+x2x1x2]，[（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2]，[x1x22+x21x2=x1x2（x1+x2）]，[x31+x32=（x1+x2）3-3x1x2（x1+x2）]，等等.

例3 已知关于[x]的一元二次方程[8x2+（m+1）x+m-7=0]有两个负数根，求实数[m]的取值范围.

分析：一元二次方程有两个负数根[x1]，[x2]的等价条件是[Δ≥0x1+x2<0x1⋅x2>0]，由此利用一元二次方程根与系数的关系建立关于[m]的不等式组，进行求解.

解：设[x1]，[x2]是原方程的两个负数根，由题意得[Δ≥0x1+x2<0x1⋅x2>0]，由一元二次方程根与系数的关系有[x1+x2=-m+18]，[x1⋅x2=m-78]. 所以 [（m+1）2-32（m-7）≥0-m+18<0m-78>0] 解得[m>7].

点评：一元二次方程根与系数的关系是解决简单的根的分布问题的有力武器，同学们还可探究两根同为正、两根异号、两根都大于1等情况的等价条件.

[作者单位：世界创新（辽宁）教育科技中心]