“十字相乘法”：基于学生问题，选取HPM视角

贾彬 余庆纯

摘要：HPM视角下的“十字相乘法”教学，按照“预习提问—回忆旧知—解读新知—巩固运用—拓展提升—归纳小结”的流程，通过“竖式乘法”迁移到“十字相乘法”，重构式地再现吉雷特采用十字交叉线进行因式分解的过程;尝试将二次三项式从“二次项系数为1”向“二次项系数不为1”延伸，由“三项式”向“四项式”突破，经历“一般到特殊、特殊到一般”的思想历程，并借鉴数学史来解答学生课前提出的问题。如此，深刻地揭示了数学史的知识之谐、方法之美、探究之乐、能力之助、文化之魅、德育之效等多元价值。

关键词：HPM 十字相乘法 因式分解

“十字相乘法”是沪教版初中数学七年级上册第九章第五节中的内容，是学生在学习了提取公因式法与公式法的基础上进一步学习因式分解的另一个重要方法。在现行初中数学教材中，“十字相乘法”常见的学习方式有两类：一是将多项式与多项式相乘的因式与结果互换，得到因式分解的形式，即x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）;二是借助十字交叉线，将二次三项式从横式的分解过渡到竖式的分解。

学生预习“十字相乘法”后，提出了如下一些问题：十字相乘法从何而来？为何要“交叉相乘”，“平行相乘”不可以吗？十字相乘法只能用于二次三项式吗？由此可见，以HPM的视角来设计本课教学尤为必要——通过融入数学史料，引导学生了解十字相乘法的历史来源与发展过程，理解十字交叉线的作用和意义，感悟十字相乘法的内涵。

由此，拟订的教学目标如下：（1）经历探究整式乘法的竖式法与因式分解的十字相乘法之间联系的过程，理解十字交叉线的作用和意义，掌握十字相乘法，能夠运用十字相乘法进行因式分解;（2）经历从“二次项系数为1”到“二次项系数不为1”的二次三项式的因式分解，拓宽十字相乘法的使用范围，感悟十字相乘法的本质，体会十字相乘法、平方差公式、完全平方公式等知识之间的密切联系;（3）古今对比，了解不同数学家对十字相乘法发展的贡献，积累发现问题、提出问题与分析问题、解决问题的活动经验，体会数学的理性精神与人文情怀，形成动态的数学观，提升数学学习兴趣和信心。

一、历史材料梳理与解读

美国数学家米勒认为，数学史最大的作用是给数学学习注入更多的活力，把数学概念从静态转向动态;通过记录数学家在形成数学思想过程中产生的影响，使数学人性化。

对1848—1918年间出版的30种美国代数教科书中的有关内容进行考察，可以发现：所有教科书都讨论了形如x2+bx+c的二次三项式的因式分解，有23种教科书还讨论了更一般的ax2+bx+c（a≠1）的情形，但是其中的22种教科书均未将x2+bx+c和ax2+bx+c（a≠1）统一起来处理。1896年，吉雷特在《初等代数》一书中，采用十字交叉线的形式进行因式分解，巧妙地将二次项系数为1和二次项系数不为1的二次三项式统一了起来，书中给出的一个分解x2-2x-63的例子如图1所示。这大概是最早所见的“十字相乘法”了，与今天的形式相似。

那么，吉雷特的“十字相乘法”是从天而降的吗？文献研究发现，1830—1930年的美国代数教科书中，多项式的乘法常借助竖式乘法的形式进行代数运算，比如多项式x+a乘x+b（如图2），类似于两位数与两位数的竖式乘法。1888年的一本教科书中，对10x2+19x+6进行因式分解时指出，10x2最可能的因式是5x和2x，6最可能的因数是2和3，同时考虑其交叉相乘再相加后为19x，因此可以得出多项式5x+2乘多项式2x+3的因式分解结果。同年，尼科尔森借助竖式乘法的形式对6x2+5x-4进行因式分解时，给出了类似的运算过程。

美国早期代数教科书中出现的“十字相乘法”的形式虽然不统一，但对二次项和常数项如何拆分得到正确的形式都进行了研究。1899年，费希尔和施瓦特在其所编写的教科书中，将各对可能的因式上下对齐，并直接连接“对角线”，如6x2+19x+10，在所有可能的8对因式（如图3）中，只有最后一对交叉相乘得19x，所以6x2+19x+10=（2x+5）（3x+2）。1912年，杜雷尔在其所编写的教科书中，将各对可能的因式中的两项上下对齐，且用虚线连接“对角线”，如10x2+13x-3因式分解的过程如下页图4所示。

1913年，杨格与杰克逊在其编写的教科书中，以12x2-7x-10为例，先列出其可能的因式（如图5），然后将系数与常数项交叉相乘（如图6），得到两个因式为3x+2和4x-5。12x-10

二、教学设计与实施

本节课是以“翻转课堂”的形式进行教学的。课前，学生先自主阅读教材第49—52页的内容，观看HPM微视频，完成“导学题”。收集到学生的课前问题详见表1。

鉴于此，开展HPM视角下的“十字相乘法”教学，具体课堂实施过程如下：

（一）回忆旧知

师回忆一下，前面学过的因式分解有哪几种方法？

生提取公因式法、公式法。

师公式法中有哪些公式？

生平方差公式和完全平方公式。

师在因式分解中，平方差公式和完全平方公式的字母表达式分别是——

生a2-b2=（a+b）（a-b）;a2±2ab+b2=（a±b）2。

（教师板书。）

（二）解读新知

1.探寻：明确十字交叉线的含义。

[出示思考题：（1）计算（x+7）（x-9）;（2）因式分解x2-2x-63;（3）在前两道小题中，观察整式乘法的竖式草稿与因式分解的十字相乘法草稿之间具有什么联系。]

师（出示图7、图8）请大家看一下乘法草稿，草稿里的-63和-9x是如何来的？

生都是乘出来的。-63是-9与7相乘，-9x是-9与x相乘。

师下面一行的x2+7x呢？

生7x是x和7相乘，x2是x与x相乘。

师现在把它们交叉相乘的线画出来，（出示图9）感觉一下，它与十字相乘法的草稿类似吗？然后，请找一找，竖式草稿里第一条横线下面的“项”在十字相乘法的草稿里有吗？

生x2就是前面那两个x乘在一起，-9和7乘起来是-63。

师-9x和7x在哪？

生那两个斜着乘的，x乘-9，x乘7。

师（出示图10）把x与-9乘起来的结果写在-9的下方以示对应，同样地，把7和x乘得7x写在x的下方。（稍停）还有个项-2x在哪呢？

生那是它们两个加起来。

师哦，7x和-9x加起来，省略加号，结果是-2x。（指着图9、图10）对照两张图中相乘的线条，你能理解十字交叉线的意义了吗？

生（点头）理解了。

2.辨析：约定十字相乘的方法。

师请同学们思考一下：如果这个多项式是这样写的——-2x-63+x2，那么，草稿该怎么打？

生还是要写成原来的，就是要降幂排列。

师继续思考：（出示图11）十字相乘的草稿这样打可以吗？（出示图12）这样打可以吗？

生可以，但数字最好放在后面，因为写的时候要按照降幂排列。

师好的，（指着图12）后一种方法不选用，那可以选用（指着图11）前一种方法，但为什么同学们都没有选用呢？

生前面的x有负号比较麻烦，还容易错。

师很好！虽然这两种方法也是正确的，但为了简便，我们选用（指着图8）一开始的方法。

3.溯源：了解十字相乘法的历史。

师有同学问：谁发明了十字相乘法？其实，十字交叉线的起源可追溯到1896年吉雷特的《初等代数》一书。吉雷特采用十字交叉线进行因式分解，（出示前文图1、图13）x2-2x-63就是其中一个例子，这大概是我们最早所见的十字相乘法的例子。

师（指着前文图1）图中的“1”表示什么意思？

生就是x。

师那为什么不用x而用1？“1”是什么意思？

生是x的系数。

师很好！这里是将二次项的系数分解了。

（三）巩固运用

1.示范：运用十字相乘法。

（出示例题：将x2-18x-63因式分解。）

师请一位同学说一说十字相乘法的草稿怎么打。

生左边竖着写两个x，表示x乘x;然后，-63可以分解为3和-21，竖着写在右边。

师（边说边板书，如图14）检查一下，对不对？3与x相乘得3x，x与-21相乘得-21x，加起来的结果等于-18x，与一次项相等。那么，因式怎么写？

生等于（x+3）（x-21）。

师第一个因式中的x与草稿中的哪个x对应？

生上面的x。

师课本上十字相乘法的草稿只有上半部分，但是此处最好将横线下方的一次项以及它们的和写出来，便于核对系数的拆分是否正确。（稍停）有同学提问：为什么十字相乘法要“交叉相乘”？“平行相乘”也可以呀！比如多项式x2-3x+2，（出示图15）它可以竖着写x乘x，后面竖着写-1乘-2，我们是交叉相乘再相加得到-3x的，他认为横着乘再相加也是-3x，为什么不可以这样打草稿呢？

生二次项系数为1的时候还行，但如果二次项系数不为1，有可能会出现别的情况。

师会出现什么情况呢？这个问题我们先放一放，先解决二次项系数为1的情况。

2.实践：积累系数分解的经验。

[出示练习：将下列各式因式分解，并在空白处写上十字相乘法的草稿。（1）x2+5x+6;（2）x2-5x+6;（3）x2+5x-6;（4）x2-5x-6。]

師根据刚才的练习以及预习的内容，在十字相乘的过程中，拆分系数不一定能马上成功。那么，在试算过程中，有哪些经验可以提高成功的可能性呢？现在小组交流一下。

生如果常数项比较大的话，可以分解素因数，然后在素因数中去找需要的数。

生可以通过常数项的符号来判断两个数的正负，如果它是正的，分解出来的两个数应该同正或同负。这时，如果中间项是正的，选择同正;如果中间项是负的，就选择同负。

师如果常数项是负的呢？

生如果它是负的，分解出的两数应该一正一负。这时，如果一次项是负的，那么负数的绝对值要大一点;如果是正的，那么正数的绝对值要大一点。

师这位同学建议大家先看常数项，那能不能先看一次项呢？

生如果一次项是正的，那么常数项分解一种是全正，一种是一正一负，且正的绝对值要大一点;如果一次项是负的，那么常数项可以分解为全负，或者一正一负，且负的绝对值要大一点。

师很好！刚才同学们从符号的角度总结了经验，那么，从数值的角度有没有经验呢？

生如果一次项系数的绝对值比较小的话，就把常数项拆分成两个数值比较相近的。

生如果一次项系数的绝对值比较大，比常数项的绝对值大，那拆出来的两个数要相加，或者说是同正或同负的。

师同学们的经验都很有道理！还想跟大家分享一个经验，就是从奇偶性的角度出发，如果这个一次项为偶数，那个常数项拆分的两个数要么都是偶数，要么都是奇数，也就是同奇偶;如果说一次项为奇数，那就是一奇一偶。这也是一个分解的经验！

3.解惑：探寻方法之间的联系。

师有同学问：之前学习的平方差公式和完全平方公式与十字相乘法有何联系？这个问题该怎么思考？先考虑平方差公式吧，它与十字相乘法有何联系呢？

生十字相乘法通常对应的是一个二次三项式，而平方差公式只有两项，因此可以再加一个0，后面的项可以分成一正一负。

师好的。按照这样的说法，能用十字相乘法来分解吗？

生a2-b2=a2+0ab-b2，（出示图16）那草稿前面应该是a乘a，后面是b乘-b，然后交叉一下，乘起来是ab和-ab，它们的和等于0。

师那么，完全平方公式也请一个同学说说看，这个草稿怎么打。

生（出示图17）把a2分成a乘a，b2分成b乘b，然后十字相乘，2个ab相加得到2ab。

师那么，是不是所有的多项式因式分解都能用十字相乘法呢？先来看这个问题：若二次三项式x2+bx+c=（x+p）（x+q），则常数b、c、p、q满足什么条件？

生把（x+p）（x+q）乘开来，可以得到pq=c，p+q=b。

师也就是说，一个二次三项式x2+bx+c，如果常数项c能表示成两个数的积，而这两个数的和等于一次项系数b，那么就可以通过十字相乘法将这个二次三项式因式分解。如果和不等于b，就不一定能用十字相乘法分解了。此外，当常数项c分解为p和q的乘积时，会有多少对这样的数呢？

生（稍停）无数对。

师无数对，也就是p和q可以是整数，也可以是分数，这就意味着存在无限的可能。但是这无数对中，它们的和要与一次项系数相等，一般只有一种。就这样，又从无限的分解中一下子回到有限的唯一了。希望大家能体会这种从无限到有限的跌宕起伏！

（四）拓展提升

1.拓展：二次项系数不为1的二次三项式的因式分解。

[出示拓展题：试将下列多项式因式分解。（1）6x2+19x+10;（2）10x2+13x-3。]

师吉雷特采用十字交叉线进行因式分解，巧妙地将二次项系数为1与二次项系数不为1的情形统一了起来。追寻历史足迹，你能挑战一下利用十字相乘法将这两道二次项系数不为1的二次三项式因式分解吗？

（学生运用十字相乘法，尝试因式分解。图18所示是其中两例。）

师此时，“平行相乘”是否也可以呢？不妨来试试看，（出示图19）4x与15x加起来也等于19x，完全符合条件。那么，这样的“平行相乘”是不是也可以呢？

生（摇头）不可以。

生照这样写的话，因式是（2x+2）和（3x+5），这样写的因式就不对了。

师如果要正确地写出因式，该如何写呢？

生要交叉斜着写。

师这样交叉写因式虽然也可以，但我们还是选择原来“交叉相乘”的方法吧。用十字相乘法因式分解二次项系数不为1的二次三项式时，分解系数试算时要有耐心。其中，第（1）小题，（出示前文图3）是费希尔和施瓦特在其编写的代数教科书中给出的试算;第（2）小题，（出示前文图4）是杜雷尔在其编写的代数教科书中给出的试算。数学家们在用十字相乘法分解二次项系数不為1的二次三项式时进行的试算，有序而有耐心，直到找到分解的方法。这启示我们在面对挫折时，要学会沉着冷静、理性思考。

2.提升：二次项系数不为1的二次四项式的因式分解。

师请观察用十字相乘法分解因式的各个结果：平方差公式的两个因式中都有两项，一项相同，一项相反;完全平方公式的两个因式中，两项都是相同的。一般的二次三项式的因式分解结果也慢慢一般化了，如6x2+19x+10=（2x+5）（3x+2）的两个因式的两项中，一项都是常数项，另一项是同类项。那么，有没有这种可能：因式分解出来，除了常数项之外，没有同类项呢？如（2x-1）（3y+4），有没有一个多项式因式分解后是这两个因式呢？

生有的，乘开来就是6xy-3y+8x-4。

师那么，能否拓展前人的方法，将多项式6xy-3y+8x-4也用十字相乘法来因式分解呢？同学们试着挑战一下

（学生尝试的草稿如图20。）

（五）归纳小结

师回顾一下今天的学习过程，你有哪些收获？

生知道因式分解可以用十字相乘法。

生二次项系数不为1时也能用十字相乘法因式分解。

生感谢吉雷特，让因式分解又多了一种方法。

生十字相乘法不仅可以用于二次三项式，对特殊的二次二项式与二次四项式也适用。

三、学生反馈

课后，针对本节课所学内容，对全班学生进行了问卷调查。

对于“当你看到‘十字相乘法时，你会想到什么？”的问题，学生提到的是“十字交叉线”“交叉相乘”“二次三项式”“因式分解”“尝试”“整体思想”“一般到特殊”“因式横写”“符号”“估算”“分解系数”等关键词。

对于本节课印象最深的环节，学生提到的是“创造十字相乘法的人——吉雷特”“十字相乘法与公式法的联系”“整式乘法草稿与十字相乘法草稿的联系”“在一次次的尝试中找到方法”“拆分系数时的方法”“十字相乘法不局限于二次三项式”“前人不厌其烦的研究精神”“看着简单的方法竟有这么多故事”等内容。

对于“你认为这节课从知识之谐（知识讲解是否连贯）、文化之魅（数学文化对你有触动吗）、探究之乐（你有没有经历探究，体会思考的乐趣）、能力之助（你解决问题的能力有没有提高）、德育之效（对你的情感态度与价值观有没有影响）、方法之美（你有没有学到什么数学思想方法）六个方面，有哪些收获？”的问题，67%的学生选择了“知识之谐”，知道十字相乘法与其他方法之间的联系;67%的学生选择了“文化之魅”，认为数学历史丰富，令人感兴趣，十字相乘法的发明者非常伟大，为我们带来了新的方法;72%的学生选择了“探究之乐”，觉得古人探究的过程非常辛苦，喜欢自己探究得到收获的感觉;69%的学生选择了“能力之助”，觉得又学会了一个因式分解的方法，并且不仅仅可用于二次三项式;41%的学生选择了“德育之效”，觉得数学家很伟大，坚持总有收获;62%的学生选择了“方法之美”，觉得十字相乘法很有意思，可以和以前学习的方法联系起来，从特殊到一般，妙用竖式草稿，感悟十字相乘法之美。