借助几何直观 架构思维桥梁

屈婷　袁凌云

几何直观是借助“几何”手段描述问题、分析问题，从而得出结果。借助几何直观，可以将抽象的问题形象化，使隐性的思维可视化。如何提高学生的几何直观能力？

一、夯实画图技能，培养几何表征能力

几何直观作为一种手段，不能直接作为工具被使用。在教学中，教师要教给学生一些画图技巧，培养学生利用图的直观表征问题中的数量关系和数学结构的能力。在学生明确两位数乘两位数的算理之后，笔者进行了如下教学：

师：笔算14×12时，先算什么？再算什么？

生1：先算14×2=28，再算14×10=140，最后把兩部分积加起来得到168。

师：在学习两位数乘两位数时，我们借助点子图明确了先算什么、再算什么。如果用一个长方形表示14×12的积，如下图，你能把它分割成两部分，并说说哪部分表示14×2，哪部分表示14×10吗？

笔者展示学生的画法，并根据学生的解释标上相应数据。

师：上面3种分法都对吗？

生2：第2种分法不对，14和10不能一样长。

师：如下图，如果老师给第一幅图添一条线段再分割一下，你能看出这4部分分别表示几乘几吗？

生3（指着图形）：10×10，10×2，10×4，2×4。

师：在笔算14×12时，我们实际上乘了4次。哪部分的面积最大？哪部分面积最小？为什么？

生4：A部分是两个整十数相乘，面积最大，D部分是两个一位数相乘，面积最小。

师：试着用这样的长方形面积图表示14×12的每一步计算过程，想一想，画的时候有什么要注意的？

生5：长边表示大一点的数，短边表示小一点的数。如果有相等的数，边的长短要画一样长。

生6：不一定要画那么精确，能表示意思就可以了。

教学中，笔者先出示形象的点子图，然后过渡到抽象的矩形图，再到能表征两位数乘两位数每一步算理的结构图，降低了学生用图形表征的难度。在分割长方形面积的过程中，学生经历了抽象算式的“图形化”，提升了将数的运算关系与图形结构匹配的能力。

二、架构思维桥梁，提升图形分析能力

几何直观的最大优势是“直观”， 即跳开计算，能直接“看”出结果。教师要善于打通形象思维与抽象思维之间的通道，提升学生凭借几何直观对研究对象进行思考的能力。当学生会使用面积模型表征两位数乘两位数后，笔者再引导学生依托图形探究乘法计算中的规律。

师：如果用2、3、4、5组成两位数乘两位数的乘法算式，怎样使乘积最大？以小组为单位，借助图形研究一下。

生1：我们发现，5和4都要放在十位，不能放在一起。

师：为什么？5和4都放在十位，相乘得出的是哪个图形的面积？长方形的面积由哪几个因素决定？

生2：十位数字相乘得到的是A部分的面积，要使乘积最大，就需要将最大的数字分开放。

生3：要使A面积足够大，不能只看长，或者只看宽，长和宽要一起看。

师：这个大长方形由4个小长方形组成，为什么你们要把5和4分别放在十位？把5放在个位也能保证C部分的面积最大啊？

生4：A部分的长和宽不管放哪个数字，它的面积都是最大的，要优先考虑。

生5：整十数乘整十数肯定比整十数乘一位数大。既然这样，肯定要用大一点的数字做A部分的长和宽，这样才能保证两位数乘两位数的乘积尽量大。

师：以前遇到这类问题时，我们做了大量的计算，都没能说清为什么要将5和4分开放。借助图形，好像一下子就解释清楚了。看来，图形的威力还是挺大的。

生6：我们也确定了十位的数字，个位数字不知道怎么放能保证乘积最大。

生7：我们比较了一下，B部分的长是50，C部分的长是40，50×3+40×2（230）比50×2+40×3（220）更大，第三大的数要跟在第二大的数后面。

生8：D部分不管2和3怎么放，乘积都是6。

师：看来，A部分和D部分大家没有争议，B和C部分需要比较才能得出结论，原来最大数跟最小数、次大数跟次小数相乘的积最大才是最大的。

借助直观的矩形图，发现如何写出乘积最大的两位数乘两位数算式，属于以几何图形为载体的几何直观，综合性强，对学生的领悟能力要求更高。4个数字如何放置的规律，巧妙融入5个矩形之间的面积关系之中，既需要两位数乘两位数的算理来支撑，又需联系长方形的面积进行思考。笔者启迪学生把“数与形”结合起来观察、思考，透过现象看到本质。长方形面积大小由长、宽的长度决定，积的大小由两个乘数的大小决定，大长方形的面积取决于4个小长方形的面积和，最大数字和较大数字放在十位，就能保证最大块的面积最大，这样就将图形与算式的内在结构统一起来了，让学生借助图形提升了分析能力。

三、启发想象创造，发展直观洞察能力

在教学中，教师要启发学生对图形进行想象与再创造，将隐藏在图形背后的关系精细化，发展学生的直观洞察能力。对于B部分和C部分的面积谁应该优先考虑，能不能借助直观图看出来，笔者引导学生有意识地在矩形图上进行创造。

师：两位数的十位分别放哪些数字，我们能够确定，放个位数字时要试验两次，那么问题出在哪里？

生1：B部分和C部分。

师（取下第二幅图B的板贴，与第一幅B部分重合，故作疑惑）：这两部分到底有什么秘密？如果将2和3的位置互换一下，会发生什么变化？

生2（恍然大悟）：如下图，我发现把3和2换个位置，用50×2，就会少了这一块（B部分的阴影部分），用40×3，就会多这一块（C部分的阴影部分），3当然跟50乘更大，就只能跟在40后面了。

师：少的这块面积是几乘几？多的这一块呢？

生3：少的面积是1×50，多的面积是1×40。

师：对，宽是1的长方形，当然长越大，面积越大。

为什么“52×43”的乘积最大？两个长方形，已知长分别是50和40，可搭配的宽是3和2，使面积和最大，如何匹配？实际上，这与“A部分的面积由最大数和次大数相乘就能保证乘积最大”有异曲同工之处。50和40分别作为制约B部分与C部分面积的一个因素，50比40更有优势，更容易与较大数相乘得到更大的面积，由此相加得到的面积和也会更大。

（作者单位：宜城市窑湾小学）

责任编辑  张敏