延时效应下的双渠道供应链合作广告策略

曹端阳，肖 剑，张旭梅

(1.重庆大学 数学与统计学院，重庆 400044；2.重庆大学 经济与工商管理学院，重庆 400044)

0 引言

在高度竞争的市场环境下，广告在企业竞争中起着重要的作用。为了提高消费者对品牌产品的消费意识并获得更多的市场份额，双渠道供应链成员往往通过投入大量广告进行宣传。广告一般分为制造商投入全国性广告和零售商投入地方性广告两种。考虑到合作广告在双渠道供应链的渠道推广、促销和供应链协调中发挥着重要的作用，同时为了刺激零售商投入更多广告，制造商会选择承担零售商的部分或者全部广告费用。例如Bennan指出在PC行业，Apple为媒体支付75%的广告费用，IBM承担了零售商50%的广告费用[1]。然而，产品的品牌信誉和需求量并不会因一定数量的广告投入立刻产生明显的效果(即时效应)，通常是广告投入到市场一段时间后才体现出效果来，这种现象称为广告的延时效应。广告的延时效应在广告投入市场的过程中是普遍存在的，这是因为大多数消费者从开始接触到某产品的广告信息到对产品有初步认识、思考直到最后的购买行为需要经历一个时间过程。延时效应使得虽然投入一定数量的广告，但是往往不能短时间内达到预期效果，从而影响双渠道供应链的收益。因此，在广告延时效应下，延时时间如何影响制造商和零售商的广告投入水平、分散决策下的广告分担率、电子渠道和零售渠道需求，以及在不同的延时时间下决策者采取何种决策是双渠道供应链参与者共同关心的问题。

有关静态合作广告，最早出现于Berger[2]对单一制造商和单一零售商之间的合作广告进行的研究。针对零售势力由制造商转变为零售商这一市场结构的变化，Huang等[3]研究了供应链成员的合作广告问题。通过研究竞争环境下的合作广告问题，聂佳佳[4]得到制造商对零售商传统渠道广告进行补贴的充分条件；陈国鹏等[5]研究了一个制造商和一个在线零售商组成的两级供应链系统的广告合作模型；于丽萍等[6]考虑制造商以提供商业信用、零售商以广告形式进行的合作，通过3种博弈确定了实现供应链协调的契约参数与条件；王圣东等[7]研究制造商在传统渠道拥有直营店情形下的合作广告问题，通过促销广告费用分摊策略来实现供应链协调；石岿然等[8]研究了零售商打折促销情形下的二级供应链合作广告问题，分析了不同博弈下零售商的折扣范围；Aust等[9]分析了4种不同合作程度博弈下制造商和零售商的最优合作广告和定价问题；SeyedEsfahani等[10]研究了传统渠道不同合作程度下的供应链系统利润，发现合作程度越高，系统利润越大；Javid等[11]研究了一个制造商和一个零售商供应链合作广告决策的协调问题。

近年来，动态环境下的合作广告问题引起了一些学者的关注。Nerlove和Arrow[12]建立了经典的Nerlove-Arrow模型，模型刻画了品牌商誉随时间变化的情况；Xu等[13]提出一个易腐物品动态广告模型，通过Pontryagin最大值定理求出了最优广告和库存水平；Zhang等[14]通过建立一个由单一制造商和单一零售商构成的动态合作广告，研究应计利率对动态合作广告的影响；熊中楷等[15]利用随机微分对策研究传统渠道下零售商存在竞争时的合作广告问题，研究结果表明零售商的广告投入水平会受制造商的商誉及零售商之间竞争强度的影响；陈东彦等[16]研究了广告投入水平影响产品信誉时的供应链合作广告问题，通过设计双边补贴策略来协调供应链；肖剑等[17]研究了产品差异化下的线上与线下融合供应链合作广告策略，并设计了一个广告费用分担合同来实现供应链协调；陈国鹏等[18]研究了制造商开辟的电子直销渠道与传统零售渠道存在渠道冲突情景下的双渠道供应链合作广告问题，发现供应链成员的合作广告决策除了与渠道边际利润相关，还取决于零售商广告对电子直销渠道产生的广告效应；张旭梅等[19]研究了存在品牌差异时双渠道供应链的广告合作，得到与Stackelberg博弈相比，集中决策下传统渠道产品的广告投入变大，电子直销渠道产品的广告投入变小的结论，并给出一个广告费用分摊合同以实现双渠道供应链协调。虽然在合作广告方面已经有了很多研究成果，但是现有文献大多是在广告即时效应下进行研究，未考虑广告的延时效应。有关广告延时效应的研究，Luhta等[20]通过修正经典Nerlove-Arrow模型，建立广告投入水平与品牌信誉延时微分方程，求得了广告发生延时效应时品牌商誉上限解的稳定性条件；陈东彦等[21]针对一个由单一制造商和单一零售商构成的供应链，引入制造商全国性广告延时效应，假设品牌商誉受制造商全国性广告延时效应的影响，研究了供应链合作广告策略。文献[21]研究了广告延时效应下单一渠道供应链的合作广告，产品商誉受制造商广告延时效应影响，没有考虑零售商广告的延时效应，也未将延时效应引入具有普遍性的双渠道供应链。

与上述文献不同，本文鉴于双渠道的普遍性，将广告的延时效应引入双渠道供应链，针对制造商和零售商的广告均具有延时效应时的供应链合作广告问题，考虑品牌商誉同时受制造商全国性广告和零售商地方性广告延时效应的影响，研究制造商和零售商如何做出最优的广告决策来保证广告的效果，以及如何选择决策。首先，基于Nerlove-Arrow模型，本文建立了制造商全国性广告和零售商地方性广告对商誉的影响的延迟微分方程，利用微分对策理论分别求得供应链在集中决策和分散决策下的最优广告投入、品牌商誉、供应链利润和广告分担率，对比得出供应链成员决策选择的条件，通过算例分析了广告延时效应对供应链利润、品牌商誉、决策和需求的影响，并验证了最优广告策略的有效性。

1 模型描述

考虑单一制造商M和单一零售商R组成的双渠道供应链系统，面对共同的消费者市场，制造商通过传统分销渠道和电子直销渠道向消费者销售相同的产品；为了提升品牌商誉和提高销售量，制造商投入全国性广告，零售商投入地方性广告；为了刺激零售商投入更多的地方性广告，制造商承担零售商的部分或者全部广告费用；由于延时效应的普遍性，假设两种广告均具有延时效应；在时刻t，设制造商的广告投入为Um(t)，零售商的广告投入为Ur(t)，θ(t)(θ(t)∈[0,1])为制造商对零售商广告费用的分担率，全国性广告延时时间为τm(t)，地方性广告延时时间为τr(t)；假设制造商全国性广告和零售商地方性广告共同正向影响品牌商誉，基于Nerlove-Arrow广告模型[12，18,22]，建立如下延迟微分方程描述商誉的动态变化：

δG(t)，G(0)=G0。

(1)

式中：G(t)为产品商誉；λm为制造商全国性广告Um(t)对品牌商誉G(t)变化的影响因子；λr为零售商地方性广告Ur(t)对品牌商誉G(t)的影响因子；δ为产品商誉G(t)随时间的递减效应，且有τm(t),τr(t),λm,λr,δ>0，初始条件为G(0)=G0>0。消费者从接触广告到转化为购买行为需要经过一定时间，即广告的延时效应，延时时间的长短不仅与产品价格有关，还取决于产品类型和广告形式。考虑到品牌会随时间的推移被消费者遗忘，或者消费者被其他品牌的广告吸引而转向其他品牌，或者消费者转向新市场，这就是品牌商誉的递减效应。制造商和零售商投入广告的目的是提升产品的商誉，使消费者能够充分了解产品并给予更多关注，刺激消费者的购买欲望，从而提高产品的需求量。

在文献[15，18-19，23]的基础上，考虑制造商和零售商的广告水平不但直接影响需求函数，而且通过商誉间接影响需求，得到传统渠道的需求函数Qr(t)和电子渠道的需求函数Qe(t)分别为：

Qr(t)=β1G(t)+k1Um(t)+k2Ur(t)；

(2)

Qe(t)=β2G(t)+k3Um(t)+k4Ur(t)。

(3)

式中：β1，β2分别为品牌商誉G(t)对传统渠道需求Qr(t)、电子渠道需求Qe(t)的影响因子，k1，k2分别为全国性广告投入量Um(t)、地方性广告投入量Ur(t)对传统渠道需求Qr(t)的影响因子，k3，k4为全国性广告投入量Um(t)、地方性广告投入量Ur(t)对电子渠道需求Qe(t)的影响因子，并且有β1,β2,k1,k2,k3,k4>0。

与文献[21]类似，假设广告函数为凸函数，则制造商和零售商的广告成本函数分别为：

(4)

(5)

式中：km(>0)，kr(>0)分别为制造商和零售商的广告成本系数。

假设制造商和零售商具有相同的贴现率λ，寻求使得各自自身利润达到最大化的广告策略是制造商和零售商的决策目标。假设φ1是制造商在传统零售渠道的边际利润，φ3是零售商在传统零售渠道的边际利润，制造商在电子渠道的边际利润为φ2，且φ1，φ2，φ3均为常数。制造商、零售商以及整个供应链系统的利润函数分别为：

φ2[β2G(t)+k3Um(t)+k4Ur(t)]

(6)

(7)

k2Ur(t)]+φ2[β2G(t)+k3Um(t)+k4Ur(t)]

(8)

模型中出现的参数是与时间无关的常数，与文献[21]相同，本文假设τm(t)=τm，τr(t)=τr。

2 集中控制下的决策模型

在集中控制下，制造商和零售商可以看作为一家企业的内部成员，其共同目标是确定最优的制造商全国性广告和零售商地方性广告，最大化供应链系统的整体利润，此时的决策变量只有Um(t)和Ur(t)，用上标“c”表示集中决策。

定理1在集中决策下，制造商和零售商的最优广告投入，以及产品的最优品牌商誉分别为：

证明最优决策问题刻画为如下最优控制问题:

s.t.

λrUr(t-τr)-δG(t)。

构造Hamilton函数

k2Ur(t)]+φ2[β2G(t)+k3Um(t)+k4Ur(t)]

[λmUm(t-τm)+λrUr(t-τr)-δG(t)]。

(9)

令

e-λt[(φ1+φ3)β1+φ2β2]。

(10)

(11)

其中

(12)

根据文献[21,24]，将W(t)=φ(t-τm,t)=eδτm，V(t)=φ(t-τr,t)=eδτr及式(12)代入式(10)和式(11)，有：

(13)

(14)

(15)

分析定理1中广告延时时间τm，τr与最优广告决策、电子渠道和传统渠道的需求、供应链利润之间的关系，得推论1。

推论1在集中决策下，有

推论1表明，集中决策下，制造商和零售商最优广告决策、电子渠道需求、传统渠道需求、供应链总利润均受广告延时时间τm和τr影响。由推论1(1)知，全国性广告投入量与全国性广告的延时时间正相关，与地方性广告延时时间不相关；同时，地方性广告投入量与地方性广告延时时间正相关，与全国性广告延时时间不相关。当延时时间延长时，制造商和零售商的广告投入水平均不会降低。推论1(2)和推论1(3)说明，集中决策下，电子渠道和零售渠道的需求与延时时间正相关，但是双渠道供应链的总利润随着广告延时时间的增大而降低。这是因为在延时效应下，电子渠道和传统渠道的需求量增加，渠道需求的增加对供应链利润有正向作用，但是由于存在延时效应，双渠道供应链增加广告投入会降低供应链利润。对于双渠道供应链来说，需求量增加对供应链利润的正向效应小于广告费用增加对供应链利润的负向影响，导致随着广告延时时间的增加，双渠道供应链的总利润降低。实际管理中，由于广告延时效应，广告投入在预期的时间内不会达到预期效果，供应链系统利润会降低，因此对决策者而言，缩短广告延时时间能够在一定程度上提升系统内部的广告效率，进而提高系统的收益水平。

3 分散控制下的决策模型

追求自身利润最大化是双渠道供应链各成员在分散控制下的决策目标，用上标“d”表示分散决策。决策的顺序为：①制造商制定自身的广告分担率，并分担零售商的部分广告费用；②制造商和零售商再独立地决策各自的广告策略。考虑这是制造商主导的两期博弈问题，采用逆向归纳进行求解。

定理2分散决策下，双渠道供应链各个成员的最优广告水平和最优分担率分别为：

最优品牌商誉为

证明求解制造商和零售商的最优广告投入，假设广告分担率θ是给定的。

在分散决策下，制造商和零售商的决策目标是各自利润最大化，故制造商和零售商的最优决策问题分别为：

s.t.

λrUr(t-τr)-δG(t)。

s.t.

λrUr(t-τr)-δG(t)。

与定理1的求解过程类似，求得

(16)

(17)

(18)

(19)

证毕。

推论2分散决策下，有：

推论2说明，在双渠道供应链中，激励制造商和零售商投入广告的主要因素是边际利润。如果制造商的边际利润增加，则其不仅会增加投入全国性广告，还会提高广告分担率来激励零售商增加投入地方性广告。当制造商的边际利润相对于零售商的边际利润较低时，制造商没有足够的能力承担零售商的部分广告费用；当零售商的边际利润相对于制造商的边际利润过低时，零售商没有能力承担广告费用，即使制造商分担较高的广告费用也无法激励零售商投入广告。

通过定理2分析分散决策下制造商和零售商的最优决策与广告延时时间的关系得到推论3。

推论3分散决策下，有：

推论3表明，在分散决策下，当全国性广告延时时间增大时，制造商会增加广告投入，而制造商的广告分担率和零售商的地方性广告投入量不会发生变化；当地方性广告延时时间增加时，零售商的地方性广告投入会增加，制造商的全国性广告投入不变，但分担率降低。制造商分担零售商的广告费用是为了激励零售商投入更多的广告，但在分散决策下，当零售商的地方性广告存在广告延时效应时，其会主动增加广告投入使得自己的利润达到最大；随着零售商广告投入的增加，零售商广告费用增加，而为了使自身利益最大化，制造商会减少相应的广告分担率。

进一步，通过分析品牌商誉和两个渠道的需求量与广告延时效应的关系得到推论4。

推论4表明，在分散决策下，双渠道供应链各个渠道的需求量和品牌商誉均与广告延时时间正相关。这个结论可以通过推论3来解释，随着广告延时时间的增加，分散决策下制造商和零售商的最优广告投入量都不会减少，而增加广告会增加需求和商誉。

通过分析双渠道供应链各个成员的利润以及供应链总利润与广告延时效应的关系得到推论5。

推论5在分散决策下，有：

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由推论5(1)可得，在分散决策下，全国性广告延时时间对制造商利润有负向影响，对零售商利润有正向影响；地方性广告延时时间对制造商利润有正向影响，而对零售商利润有负向影响。因为广告产生的效果具有延时性，所以在一定时间内品牌商誉和需求量往往不会达到预期的效果。若给定地方广告延时时间，则当全国性广告的延时时间增加时，制造商会投入更多广告，广告费用增加使制造商的利润降低，但是提升了产品的商誉和传统渠道的顾客需求量，零售商的利润会增加；同理，若给定全国广告延时时间，则当地方性广告的延时时间增加时，零售商的广告费用越高，利润就越低，但是由于零售商的广告投入提升了产品的商誉和渠道顾客需求量，制造商利润会增加。推论5(2)表明，适度的延时时间对分散决策下的供应链总利润有正向作用，但是当延时时间较大时，延时时间对分散决策下的供应链总利润有负向影响。这是因为当延时时间均较小时，制造商和零售商增加的广告投入量刺激了需求，需求增加对供应链利润的正向作用大于广告费用增加所减少的利润；当延时时间过长时虽然刺激了渠道需求，但是由于此时投入了过多的广告，增加的广告费用对供应链利润的负向作用较大，从而降低了供应链利润。

对比集中决策和分散决策下制造商和零售商的最优广告投入、产品商誉和渠道的销售量，得到定理3。

定理3说明，在双渠道供应链中，不论广告延时效应发生与否，在集中决策下，制造商和零售商的最优广告投入、产品商誉和线上线下需求量均高于分散决策下对应的值。集中决策不仅可以激励制造商和零售商投入更多广告，还可积累品牌信誉并增加产品在两个渠道的销售量。

比较集中决策和分散决策的供应链系统整体利润得到定理4。

定理4在双渠道供应链中，当广告的延时效应时间(τm,τr)满足集合A={(τm,τr)|F=A1eδτr+A2e2δτm+A3e2δτr+A4eδτm+A5>0}时，双渠道供应链在集中决策下的总利润小于分散决策，其中：

A1=2kmλr(β1φ3((λ+δ)k2φ3-2λr(4β1φ1+

β1φ3+4β2φ2))-4λr(β1φ1+β2φ2)2)；

(2β1φ1+β1φ3+2β2φ2)；

A4=8krλmφ3((β1φ1+β2φ2)

+(λ+δ)(-8k1krλmφ3(β1φ1+β2φ2)-

(20)

证明

(2kmλr[β1φ3[(λ+δ)k2φ3-2λr(4β1φ1+β1φ3+

2β2φ2)(2β1φ1+β1φ3+2β2φ2)e2δτr+8krλmφ3

A3e2δτr+A4eδτm+A5)，

定理4说明延时时间是双渠道供应链各成员决策选择的重要因素。当延时时间不在集合A内时，供应链在集中决策下的利润大于在分散决策下的值，而且两者的差值与延时时间相关；当延时时间在集合A内时，合作广告未达到预期效果，制造商和零售商会选择使自身利益较大的分散式决策，分散决策下供应链总利润大于集中决策。

4 数值分析

通过算例分析延时时间对供应链利润、产品商誉和最优广告投入量的影响来验证上述结论，并从决策者的角度给出合理解释。假设模型中参数的取值分别为：贴现率λ=0.1，衰减率δ=0.05，边际利润φ1=0.25，φ2=0.7，φ3=0.4，商誉的初始条件G0=1，影响因子λm=0.4，λr=0.3，β1=0.5，β2=0.3，k1=0.6，k2=0.8，k3=0.5，k4=0.4，km=1，kr=1。

4.1 利润的比较

通过改变τm，τr的取值研究延时时间对分散决策下供应链系统利润的影响,如图3和图4所示。由图3可见，在分散决策下，制造商利润随τm的增大而降低，随τr的增大而增大；由图4可见，在分散决策下，零售商利润随τm的增大而增大，随τr的增大而降低。这与推论5的结论一致。

4.2 延时时间对品牌商誉的影响

当全国性广告发生即时效应，即τm=0时，地方性广告延时时间τr对分散决策和集中决策品牌商誉的影响分别如图5和图6所示。由图5和图6可见，在任一决策下，同一时刻随着τr的增大，品牌商誉也增大。当地方性广告发生，即时效应即τr=0时，全国性广告延时时间τm对分散决策和集中决策品牌商誉的影响如图7和图8所示。由图6和图8可见，无论集中决策还是分散决策，在每个时刻，品牌商誉均随τm的增大而增大。通过图5～图8可以得出，无论全国性广告的延时时间还是地方性广告的延时时间，都会对品牌信誉产生正向影响，这是因为延时时间会使制造商和零售商增加广告投入量，同时广告投入的增加又对品牌商誉有促进作用，故而广告延时时间会对品牌商誉有正向影响,这与推论4的结论一致。通过对比图5～图8还可以得出，相对于地方性广告的延时时间，全国性广告的延时时间对品牌商誉的影响更大，而且随着时间的推移，品牌的商誉逐渐趋于一个稳定值。

4.3 制造商和零售商最优广告投入的比较

令延时时间在区间[0,10]内变化，分别得到分散决策和集中决策下制造商和零售商的最优广告决策，如图9和图10所示。

4.4 延时时间对渠道需求的影响

假设τr=0，延时时间τm对集中决策和分散决策下传统渠道需求和电子渠道需求的影响如图11～图14所示。假设τm=0，延时时间τr对集中决策和分散决策下传统渠道需求和电子渠道需求的影响如图15～图18所示。由图11～图18可见，随着时间的推移，双渠道供应链电子渠道和传统渠道的需求都是增加的，而且最后趋于稳定值；另外，无论是在集中决策下还是在分散决策下，电子渠道和传统渠道的需求总与广告的延时时间正相关，即在某一个时刻t，随着广告延时时间的延长，双渠道供应链各个渠道的需求总是增大的，这与推论1和推论4的结论一致。因为当广告发生延时效应时，制造商和零售商会向市场投入更多广告，广告投入量的增加一方面会增加产品商誉，使渠道需求量变大，另一方面也会直接刺激渠道的需求。

4.5 分散决策下的广告分担率

本节给出分担率与广告延时时间的关系图，如图19所示。由图19可见，全国性广告延时时间对分担率没有影响，地方性广告延时时间对分担率有负向影响，即随着地方性广告延时时间的增大，分担率逐渐减小。这与推论4的结论一致。

5 结束语

本文针对双渠道供应链中制造商的全国性广告和零售商的地方性广告影响商誉时都存在一定的延时时间问题，在已有文献的基础上构建了延时效应的动态合作广告模型，比较了分散和集中两种决策模式下制造商和零售商的最优广告投入水平、品牌商誉、双渠道供应链的总体利润、电子渠道需求和传统渠道需求，并分析了延时时间对双渠道供应链成员的广告投入水平、电子和传统两个渠道的需求、分散决策下最优分担率的影响，得到以下结论：

(1)对于制造商和零售商的最优广告投入、品牌商誉，以及电子和传统两个渠道的需求而言，集中决策总是高于分散决策下对应的值，但是双渠道供应链在集中决策下的总利润并不一定高于分散决策，这与以往的结论不同，利润的高低与全国性广告和地方性广告的延时时间有关。

(2)在分散决策下，当全国性广告延时时间增加时，制造商的最优利润降低，零售商的最优利润增加；当地方性广告延时时间增加时，制造商的最优利润增加，零售商的最优利润减少。然而，对于分散决策下双渠道供应链的整体利润来说，当延时时间相对较小时，供应链总利润随延时时间的增大而增大；当延时时间较长时，供应链总利润随延时时间的增大而减小。

(3)无论在集中决策还是分散决策下，制造商的全国性广告与全国性广告延时时间正相关，地方性广告延时时间能够有效刺激零售商增加地方性广告投入，但是当地方性广告延时时间延长时，制造商参与零售商地方性广告投入的意愿降低。

(4)两种决策下，品牌商誉、电子渠道需求和传统渠道需求均随时间递增，且逐渐趋于一个稳定值。与地方性广告延时时间对品牌商誉和两个渠道需求的影响相比，全国性广告延时时间的影响更大。

本文进一步揭示，在双渠道供应链中，当制造商和零售商的广告延时时间均较小时，集中决策优于分散决策，这与以往文献中的结论一致，此时可以忽略延时效应对双渠道供应链的影响；然而当延时时间至少有一个较大时，结论与以往文献相反，此时分散决策优于集中决策，因此广告的延时效应能够忽略。在现实中，作为供应链的主导者，制造商可以根据供应链中广告延时时间的长短选择集中决策还是分散决策。另外，文献[21]得到分担率与延时时间无关，但是本文得出分担率与地方性广告延时时间负相关，这是因为本文在文献[21]的基础上将延时效应引入双渠道，并假设地方性广告具有延时效应，这也说明地方性广告的延时效应是不可忽略的。今后可以进一步从以下两个方面进行深入研究：①考虑渠道需求直接受广告延时效应影响时双渠道供应链的动态合作广告问题；②进一步将广告延时效应推广到多个制造商和多个零售商的供应链。