产能利用率定律及应用-以Zara全球物流配送中心为例

林 兵，林宇辰，张西林

（1.江苏师范大学 商学院，江苏 徐州 221116；2.苏州大学文正学院，江苏 苏州 215104）

1 引言

物流或后勤学（logistics）一般认为是从军事后勤发展而来，出现在二战前后的美国[2]，随着一些著名数学家与经济学家把最新的运筹学工具，如线性规划、动态规划、马尔科夫决策分析等应用于解决运输/资源分配、库存控制、装备/设备零部件维修更换等问题，极大地促进了物流学科的发展。20世纪90年代，从生产运作管理发展出一个新领域，即供应链管理，相应地，物料需求计划系统（Materials Requirement Planning,MRP）也发展成包含供应链管理的企业资源计划系统（Enterprise Resource Planning,ERP），但核心仍然是库存/生产计划模块，所以生产运作管理是物流与供应链管理的理论基础。我们可以把物流与供应链看作是生产运作系统，从运作管理角度研究如何提高物流与供应链管理效率，比如物流配送中心的运营效率。

运作管理学科的理论基础是一些基本原理，如Little’s Law、产能利用率定律（the Capacity Utilization Law）、风险共担原理（Principle of Risk Pooling），等。这些原理是提高制造系统、服务系统、物流与供应链系统运营效率的准则。本文将重点讨论产能利用率定律，并以Zara物流配送中心为例具体说明该定律的应用。

日常生活中，城市马路交通是一个能说明产能利用排队系统很好的例子。马路可看作是服务器，车辆行走看作是对马路的需求，车辆行走在马路上看作是车辆被马路服务，马路产能就是服务车辆多少的能力。上、下班高峰期间，需求增大，而马路产能有限，因而，马路上车辆队伍变长，每辆车等待时间也变长，这时马路的产能利用率很大（即道路上车辆拥挤不堪），极端情况下，利用率可接近100%，即马路上排满了车辆。这时，只有当所有车辆严格采取同一速度前进，才不会发生追尾，但这在现实生活中根本不可能，因为很难让车辆协调一致，也不能保证不发生意外，也就是说，马路上总是存在不确定与可变因素（variability）。关于variability的详细讨论可参考文献[6]。

与马路交通一样，生产/服务系统、物流与供应链系统也同样存在大量variability，这使得我们不可能达到对产能的100%利用，这与人们平常认知相左。运作管理的一个主要任务就是应对生产运作系统中的variability，其中产能利用是应对variability的重要手段。

应对variability，运作管理主要有两类方法，一类是主动降低法，例如日本丰田汽车的准时化（Justin-Time,JIT）制就注重平滑生产（production smoothing）和标准化工作流程，从而可大大降低variability；另一种是缓冲法，即采用库存、产能和时间来缓冲variability，其中库存方法为大家所熟知。产能缓冲法也被丰田汽车所采用，如丰田改传统的3班每班8小时工作制为2班（8+4）小时工作制，两班制中，每班中的8小时用于生产，剩下的4小时用于机器维护，而当生产需求较大时也可用来安排生产，这4小时就是产能缓冲。又如平日上班正常30分钟可到单位，某日因需参加单位一个重要会议，我们一般会提前15分钟出发，以防交通堵塞或其他意外，这15分钟就是时间缓冲。库存、产能和时间这三种缓冲可综合运用以应对variability。

2 产能与利用率

据Hopp and Spearman[6]的定义，产能是最大通过率（throughput）。而通过率是指单位时间的通过量，如每天顾客量、每月销货成本、每年毕业学生数等。而系统利用率=需求速率/生产速率，这里生产速率就是系统产能。一个运作系统由许多流程（process）组成，而系统产能是由众多流程产能确定，其中瓶颈决定了整个系统的产能，而瓶颈是系统中利用率最高的流程。因此，发现系统瓶颈也就等于找到了系统产能。

下面以排队系统（随机系统可反映variability）为例来分析产能及产能利用率。在使用排队系统对运作系统进行数学建模的文献中，一般把生产/服务率（μ）当作产能，需求到达率记作λ，而排队系统利用率ρ=λ/μ。为保证排队系统稳定性，要求λ严格小于 μ，即利用率ρ小于1。类似地，运作系统的需求率也要严格小于系统产能。

3 利用率定律

按Hopp and Spearman[6]的定义，利用率定律是指：在制品库存（Work-in-Process,简写为WIP）和流程时间（Cycle Time，简写为CT）将随利用率的增长呈现出极度非线性增长。

为了更清楚地说明利用率定律，下面用M/M/1排队系统来描述一个生产运作系统。此时在制品库存WIP就是系统队伍长度L，相应的公式[5]为：

通过变换可得：

由式（2）可知，WIP或L是利用率ρ的函数，对ρ分别求一、二阶导数，得：

由上，一阶导数大于0意味着WIP随利用率升高而增加，且当利用率趋于100%时WIP将趋于无限大；二阶导数大于0意味着WIP随利用率升高而加速增长，且当利用率趋于100%时增长速率也趋于无限大。在制品库存与利用率的非线性关系如图1所示。

图1 在制品库存与利用率的非线性关系（生产率/产能为10的M/M/1模型）

同样，流程时间（Cycle Time，CT）对应于M/M/1中的系统逗留时间为W：

由式（3）可得：

在式（4）中，把 μ固定，让ρ只随λ变动，并对ρ求一、二阶导数，得：

所以，如同上面关于在制品库存讨论的结果一样，流程时间也是随利用率的增长呈现出极度非线性增长。也可对式（3）做如此变换，

在式（5）中，把λ固定，让ρ只随 μ变动，并对ρ求一、二阶导数，得：

同样，流程时间还是随利用率的增长呈现出极度非线性增长。综上分析，我们得到了前述利用率定律的结论。

4 拓展后的利用率定律

由图1中WIP和ρ的非线性关系（即利用率定律），显而易见使用率越小越好，这意味着WIP会很少。要使使用率越来越小，对给定需求率λ来说，意味着需不断增大产能 μ，导致最优产能是无限大（利用率趋于0而WIP为0），这不符合实际情况。所以即使我们预测或估计出需求率，利用率定律也不能帮助确定最佳产能。那到底遗漏了什么呢？

做管理决策往往需考虑各种管理目标及相应成本。现实生活中，生产资源是有限的，而管理决策就是在权衡（trade-off）各种目标及相应成本。而前面利用率定律忽略了成本问题。因此，只有同时考虑该生产运作系统的两个主要成本，即在制品库存持有费用和产能运营费用，才会形成权衡，即：增加产能会增加运营费用，但同时会减少在制品库存，从而降低库存费用；另一方向，减少产能降低运营费用，但会增加在制品库存，导致库存费用上升。

继续考虑前面的M/M/1生产运作系统，令单位时间、单位在制品库存持有费用为Ch，单位时间、单位产能的运营费用为Co。已知需求率λ，我们来确定最优生产率（产能）μ，当然，由条件知是在 μ大于λ的范围寻找。为简化分析，设库存持有费用和运营费用都是线性的，有：

式（6）中第一项是单位时间内在制品库存持有费用，第二项是单位时间内系统产能运营成本，目标是将单位时间内平均总费用C最小化。对μ分别求一、二阶导数，得：

上面一阶导数无法判断正负，二阶导数很明显大于0，因为条件要求 μ大于λ。二阶导数为正，意味着式（6）存在唯一最小值。令一阶导数为0，得到最优产能：

由以上分析可知，对任意给定需求率λ，最优生产率（产能）μ是确定的，而任何理性的决策者都会选择 μ*，这也意味着对每一需求率λ，都有最优产能使用率ρ*=λ/μ*。下面将ρ*看作λ的函数作进一步分析，得到：

很明显由式（9）可知，最优使用率ρ*随λ增加而增大，结果如图2所示。这一结论对我们设计运作系统的产能很有启发。

图2 采用最优产能情况下的需求率（λ）与利用率（ρ）关系

再对式（9）做变换，可得：

对于在制品库存，有：

再对λ求二阶导数，可得：

我们看到，在制品库存会随λ增加而增加，但增加速率会不断减小。再把式（10）代入式（11），得：

对比式（2）可知，式（12）中的WIP仍随最优使用率ρ*非线性增长，符合利用率定律。同样也可把选择μ*后的系统逗留时间（W）或流程时间（CT）看作λ的函数，得：

由式（13）可知，流程时间CT随λ增加而减少，这一结果与人们直觉相反，需求率增大，意味着等待和服务时间也会变长。原因是随λ增加，μ*也相应地增加了，从而使流程时间减少。继续把式（10）代入式（13），可得：

由式（14）可知，流程时间CT随ρ*增加而减少，而不是非线性增长，不再符合利用率定律。总结：拓展后的产能利用率定律应包括没有考虑成本的一般利用率定律和考虑成本的拓展定律两种情况；一般利用率定律结论如前所述，而拓展定律告诉我们，当同时考虑产能运营费用和库存持有费用后，可找到两种费用的最佳权衡，即最优产能/生产率 μ*，而任何一个理性决策者都会选择最优产能；最优产能μ*和最优使用率ρ*都会随λ增加而增加，在制品库存WIP也会随λ增加而增加，但增加速率会减小；物料系统逗留时间或流程时间CT会随λ增加而减少；WIP仍随ρ*非线性增长，符合利用率定律，但CT随ρ*增加而减少，不再符合利用率定律。

以上结论对物流管理有很大的启示。首先，我们对利用率定律的拓展分析符合物流战略设计的一些基本思想，如采用系统总成本思想（total cost concept）、成本均衡分析（trade-off analysis）及合并运输（shipment consolidation）策略等[1]。拓展分析从运作系统总体考虑在制品库存费用和产能运营费用，由于这两种费用在管理目标上相冲突，所以通过权衡，对任意需求率，理论上都可找到最佳产能/生产率。进一步分析也显示，合并（增加）需求率，如合并运输需求，可提升系统的利用率，缩短物料在系统中的逗留时间，而在制品库存只是减速增加（不会出现一般利用率定律所描述的加速增加）。

在具体如何使用利用率定律方面，我们认为，拓展的结论可以从理论上指导我们设计运作系统的产能/生产率，而原有的一般定律是在确定产能后，根据具体情况再对需求率及利用率进行适当调节。下面我们以物流配送中心的产能设计及运营管理来说明利用率定律的应用。

5 产能利用率定律在Zara全球物流配送中心的应用

物流是供应链的一部分，常常会在供应链中扮演重要角色，例如Zara全球物流配送中心就是其供应链的核心枢纽。世界著名快时尚服装品牌Zara是西班牙Inditex集团下属的旗舰品牌，凭借着“快速、时尚、平价”的快时尚理念，从西班牙拉科鲁尼亚当地的一家小店铺发展成为当今世界著名时尚服装品牌。Zara的成功受到了学术界与业界的广泛关注，众多学者把Zara编成了教学案例，新闻媒体也对其广泛报道。Zara商业模式的成功除了依靠快速反应（Quick Response,QR）和准时化（Just-in-Time,JIT）生产，还在于它的双供应链布局，即Zara的欧洲供应链用于生产时尚服装而亚洲供应链用于生产基本款服装。这种根据产品特性“量身定制”的双供应链既需相互独立又存在相互关联[3]，而Zara双供应链的一个重要连接点就是其全球物流配送中心。

Zara供应链有两个主要物流配送中心，分别位于西班牙本土的Arteixo和Zaragoza，它们定期接收制作好的成衣，每周两次向世界各地上千家Zara门店进行直接配送。在Zaragoza物流中心建成之前，Zara所有物料与成衣产品都经过位于总部拉科鲁尼亚附近的Arteixo物流配送中心[4]。Zara全球物流配送中心（如图3所示）会接收从欧洲和亚洲供应商运来的布料或外包生产的成衣，其中未染色布料还会在自有工厂根据需求先染色再裁剪，裁剪料将会运送到位于总部附近的400多家协作商进行缝制工作，缝制好的成衣再运回物流中心。一般来讲，成衣在物流中心逗留8小时后就被配送出去，欧洲门店一般24小时收到订货，远东和北美一般要2-3天。门店如有未售出的衣服，可退还物流中心，等待再次配送到其他门店。

图3 Zara全球物流配送中心

由图3可见，Zara全球物流配送中心在其供应链中起着核心纽带作用。Arteixo物流中心有5层楼，5万平方米，配备了最先进的物流自动化系统及1 200名员工。在2001年6月虽然该中心仅使用了50%的物流产能，但Zara仍要花费1亿欧元在Zaragoza建造另一家物流中心[4]。其原因在我们了解了产能利用率定律后就显而易见了。如图1所示，产能是单位时间处理10个，产能利用率50%意味着需求率是5个，而在制品库存是5/(10-5)=1个，流程时间是1/(10-5)=0.2个单位时间。所以Zara保有大量空闲产能正是为了能以最低库存量进行快速配送，实现其JIT和快速反应运作模式。

另外，Zara让所有物流汇集到物流配送中心，体现了拓展后的利用率定律。汇集物流需求相应地增大了需求率，最优利用率也会随之温和增加（如图2所示），这意味着物流中心产能会尽可能得到利用；另一方面，汇集物流需求只是让在制品库存缓速增加，即需求率线性增长，而在制品库存只是以相应的根号速率增长；最后增加需求率却带来物料在物流中心的流程时间缩短，这应该是物流管理者最期望的结果。

6 结论

利用排队论的M/M/1模型对运作管理的基本原理产能利用率定律进行了分析，并在考虑成本的情况下拓展了原有定律。拓展后的利用率定律应包括不考虑成本的一般情况和考虑成本后的拓展情况。对原有定律进行拓展是基于物流系统总成本思想与成本均衡分析，以及体现规模经济效应的物流合并运输策略。同时我们也看到Zara全球物流配送中心在设计及运营上很好地体现了产能利用率定律。

如何在现实运作管理中使用该定律，我们给出的建议是，首先利用拓展定律帮助确定合适的系统产能；产能一旦决定后，做大的调整往往会很困难，这时需根据不同行业不同企业具体情况，依据一般定律对需求率进行调节，调整到自己认为合适的利用率。