“八方联系，集腋成裘”

罗花花

【摘  要】以初三“四点共圆”的知识点为例，浅谈数学模型和划归为一的思想在给予优秀学生引导时的重要性，感受掌握基础内容后的数学的发散思维和挖掘深化过程对解题有事半功倍的效果。

【关键词】初中数学;难题;思维;联系

因材施教，分层教学是现在教育的新趋势新方向。我们不仅要关心基础教学，还需要有技巧地面对开发尖子生地教学，使其更具有更高的逻辑思维，辩证思维，以及创新等能力。作为一名一线教师不仅要思考学困生的基础提高，更要思考对于尖子生的引领，深入探索，拓展衍生等技巧。现以初三“四点共圆”的知识点为例，浅谈数学模型和划归为一的思想在给予优秀学生引导时的重要性，同时也感受掌握基础内容后的数学的发散思维和挖掘深化过程对于尖子生的提高也有事半功倍的效果！

一、划归为一

在初三的“四点共圆‘的深入探讨中，首先提出四点共圆的三种必备条件，并以图形模型的方式加以巩固提炼：

1.如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆;2.如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆;3.若这个四边形的一边同侧的两个张角相等，那么这四点共圆.

二、建立模型

三、巩固应用

利用这样两个基本模型，解决一系列的角度转化。

练习1：将Rt△ABC绕点直角顶点C逆时针旋转90°后得到△ABC，AB的延长线与AB交于点D，连接DC，求∠ADC的度数.

分析：通过旋转角相等模型一的应用，将要求∠ADC转化为∠AAC，再利用等腰直角△AAC解决角的度数。

还可以转化动点问题的位置状态，从而根据位置状态确定线段长度的取值，比如：

练习2：如图，Rt△ABC绕直角顶点C旋转任意角度得到△A‘BC，直线AA，BB交于点M，（1）求证：AA⊥BB

（2）连接CM，当AB=2，则线段CM的最大值为

分析：通过旋转角相等模型二的应用，确定了A，C，B，M共圆，而Rt△ABC斜边AB即为圆的直径，因此点M就在圆周上运动，从而确定了CM最大值位置就是当CM是直径的时候。

不仅如此，深度练习也是必要的，对于用四点共圆来解决角度转化和动点位置所引起的线段长度变化。

四、思考发散

作为当堂课的学习者，老师可以引导学生进行发散延伸，比如：“四点共圆”的优势还体现在其它地方吗？

五、挖掘探索

以“四点共圆”作为解题手段，这种情况不仅题目多，而且结论变幻莫测，尖子生可自我挖掘，小组合作探索。四点共圆大体上归纳为如下方面：

（1）证角相等，（如上练习1和练习2）

（2）证线垂直

例：（第26届IMO第五题）⊙O过△ABC顶点A，C，且与AB BC交于K，N（K与N不同）.△ABC 外接圆和△BKN外接圆相交于B和 M.求证：∠BMO=90°.

分析：这道国际数学竞赛题，曾使许多选手望而却步.其实，只要把握已知条件和图形特点，借助“四点共圆”，问题是不难解决的. 连接OC，OK，MC，MK，延长BM到G.易得∠GMC=∠BAC=∠BNK=∠BMK.而∠COK=2·∠BAC=∠GMC+∠BMK=180°-∠CMK，∴∠COK+∠CMK=180°？C，O，K，M四点共圆. 在这个圆中，由OC=OK？，OC=OK，∠OMC=∠OMK. 但∠GMC=∠故∠BMO=90°

（3）判断图形形状

六、衍生回归

四点共圆有这么多的优势，此时老师需要引领尖子生回归“四点共圆”本质，那么作为当堂课的学习者，可以思考第二个问题：四点共圆仅仅在旋转模型中出现吗？

把上面练习题中的全等三角形，改成相似的三角形，仍处于类旋转的状态，那么“四点共圆”的模型仍然成立吗？

思考第三个问题————“四点共圆”除了用角的关系作为判断依据，还有没有其他方法？

所以作为分层教学的组织者，我們应该逐渐从埋头“教”转变为关心“学生如何学以磨砺高效课堂”，如何指导“学生学习方法和思维的触碰点”的研究上。通过数学学习以获得思维，情感发展体验的凝练。

因此对于尖子生的教学不禁要用三级跨越来描述——一题多解，多解归一，多提归一。还应“八方联系，漫江碧透”，在心底问题情境中，用具有实质性联系的数学知识之间产生活跃的联想，迁移，类比，转化等智力活动及创新思维。