挖掘隐含信息，确定“字母”的值

蔡支梅

求二次函数的解析式是中考的常见考查内容。二次函数的解析式有三种基本形式，分别为一般式、顶点式和交点式。根据二次函数图像上“点”的信息及其特征，选用合适的形式，运用待定系数法建立“方程（组）”模型，通过求解方程（组）确定“字母”的值，就达到了求解二次函数解析式的目的。若从问题中获取三个点的坐标信息，常常考虑选用一般式;若获取的信息中含有“顶点”的坐标信息，常常选用顶点式;若“点”的坐标信息中含有两个（x，0）的坐标形式，则考虑选用交点式。以上介绍的是一些解决常规问题的方式，在中考中，有时会出现非常规的“字母”求值问题，比如需要确定两个“字母”的值，却只提供了一个“点”的坐标信息，那如何确定二次函数的解析式呢？

已知抛物线y=ax2+bx+5的顶点坐标是（-1，4），则a=，b=。

【思路解析】此题考查用待定系数法确定二次函数解析式中字母的值，呈现的函数解析式形式为一般式，待确定的系数为字母a、b，已知条件为c=5，顶点坐标为（-1，4）。一般情况下，要求a、b的值，需要利用两个点的坐标建立关于a、b的两个方程，联立成方程组求解即可。而本题只给了一个点的坐标，根据常规思路是无法完成字母求值的。但我们发现所给点的坐标信息是特殊点（顶点），此时需要思考通过顶点能获取哪些隐含的信息。

因为二次函数y=ax2+bx+c（a=?0）的顶点坐标为（-2a，4a），此时b可获得一些重要的信息，比如-2a=4ac-b2-1，4a=4等。由此我们可以得到以下几种解法。

一、运用“顶点坐标公式”建立方程组

运用二次函数的顶点坐标公式，建立关于a、b的方程组，通过求解方程组确定字母a、b的值。

解法1：根据题意，得

二、运用“顶点式+一般式”建立方程

见到顶点，先使用二次函数的顶点式y=a（x-h）+k进行表达，再整理成二次函数的一般形式，对原题给出的一般式进行观察，两者进行比较，建立关于a、b的方程并求解。

解法2：因为二次函数的顶点是（-1，4），设二次函数的表达式为y=a·（x+1）2+4，

整理，得y=ax2+2ax+a+4，因为y=ax2+bx+5，

所以a+4=5，b=2a，

所以a=1，b=2。

三、运用“代入法+对称轴”建立方程组

把顶点坐标代入二次函数表达式，得到一个关于a、b的方程，此时还需要一个关于a、b的方程，怎么办？我们可以通过顶点的横坐标信息建构a、b的数量关系，即

解法3：把頂点（-1，4）代入原表达式，得a-b+5=4，

联立两个方程，得

【解后反思】通过此问题的几种解法，我们发现用待定系数法解决二次函数的系数（字母的值）问题时，既要学会根据问题中获取的“点”的信息，熟练使用二次函数的一般式、顶点式、交点式等常规形式建立“方程（组）模型”确定表达式，也要善于挖掘问题中的隐含信息，比如对称轴、最值等方面的信息，灵活运用待定系数法去解决“字母”值的问题。

（作者单位：江苏省苏州市相城经济技术开发区漕湖学校）