一道市场经济类函数应用题的探究

王洪波

“数学源于生活，又服务于生活。”建立函数模型、运用函数知识解决生活中的实际问题是中考热点题型。要解决该类问题，我们需要先明确解题思路，再联想相应的函数基础知识。本文以2019年湖北省十堰市中考试卷第23题为例，与同学们一起探讨初中数学函数应用问题的解题策略。

某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼，其进价为18元/kg。设第x天的销售价格为y（元/kg），销售量为m（kg）。该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律。1当1≤x≤30时，y=40;当31≤x≤50时，y与x满足一次函数关系，且当x=36时，y=37，当x=44时，y=33。2m与x的关系为m=5x+50。

（1）当31≤x≤50时，y与x的关系式为;

（2）x为多少时，当天的销售利润W（元）最大？最大利润为多少？

（3）若超市希望第31天到第35天的日销售利润W（元）随x的增大而增大，则需要在当天销售价格的基础上涨a元/kg，求a的最小值。

【思路探究】本题是典型的通过构建不同函数模型解答销售利润的问题。

第（1）问比较简单，我们可以直接建构一次函数模型，依據题意，利用待定系数法，易得出当31≤x≤50时，y与x的关系式为y=-12x+55。

第（2）问，我们可以根据销售利润=销售量×（售价-进价），列出每天的销售利润W（元）与销售价y（元/kg）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润。当销售的时间x（天）的范围不同时，销售价格y（元/kg）也不同，因此要分类讨论。因为销售利润W=m?（y-18），当1≤x≤30时，y=40，W=（40-18）（?5x+50），所以W是x的一次函数;当31≤x≤50时，因为m与x的关系为m=5x+50，所以得到W是x的二次函数。我们需要分别建立一次函数、二次函数模型求最值。

第（3）问是要使第31天到第35天的日销售利润W（元）随x的增大而增b大，则二次函数的对称轴-2a≥35，求得ba即可。我们通常利用对称轴x=-2a来研究含参数的二次函数的性质问题，这样计算会相对简便。

【解题过程】（1）根据题意，当x=36时，y=37，当x=44时，y=33。当31≤x≤50

当1≤x≤30时，

∵W随x增大而增大，

∴当x=30时，取最大值W=30×110+1100=4400。

当31≤x≤50时，W=-52x2+160x+1850=-2（x-32）2+4410。

∵-2<0，

∴当x=32时，W取得最大值，此时W=4410。

综上所述，x为32时，当天的销售利润W（元）最大，最大利润为4410元。

∵第31天到第35天的日销售利润W（元）随x的增大而增大，

得a≥3。

故a的最小值为3。

【解后反思】函数应用题非常重视对函数综合应用能力的考查。本题涉及初中阶段多个函数相关概念或性质、思想方法，如一次函数、二次函数的最值分析与应用、分类讨论等。熟练掌握待定系数法求函数解析式、由利润的相等关系列出解析式、根据函数图像性质求出最值是解题关键，这也是解决此类问题的主要策略。其中我们特别要注意的是，在分类时应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）。

（作者单位：江苏省南京市鼓楼实验中学）