从“抽象”到“具体”并不难

施长燕 黄荷燕

在函数版块的学习中，同学们总是困扰于其抽象思维的要求而对很多问题望而却步，甚至连一些耳熟能详的题型也往往不能得分，在运用反比例函数的增减性以及结合图像求取值范围时也会出現一些失误。现将同学们在学习过程中常见的错误进行分析，以做到有效预防。

一、掌握性质

例1对于反比例函数y=-2，下列说法不正确的是（）。

A.图像分布在第二、四象限

B.当x>0时，y随x的增大而增大

C.图像经过点（1，-2）

D.若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图像上，且x1

【错因分析】有同学选择B项，主要认为k=-2<0，根据反比例函数的性质就认为y随x的增大而增大，条件x>0给得多余了，这是对“x>0”这样的条件理解不仔细、不深入。其实当x>0时，只需考虑第四象限内的图像。

解：A.k=-2<0，∴它的图像在第二、四象限，故本选项说法正确;

B.k=-2<0，当x>0时，y随x的增大而增大，故本选项说法正确;

C.∵-21=-2，∴点（1，-2）在它的图像上，故本选项说法正确;

D.点A（x1，y1）、B（x2、y2）都在反比例函数

y=-2x的图像上，若x1

<0y2;若0

在利用反比例函数概念解决问题时，有的同学会忽略反比例函数y=kx中自变量x的取值范围这个条件，从而解答错误。

二、把握图像直观性例2已知点A（-3，y1）、B（-2，y2）、C（3，ky3）都在反比例函数y=x（k>0）的图像上，则y1、y2、y3的大小关系为。

【错因分析】有同学的答案为y10时，y随x的增大而减小）比较出函数值的大小。

解：反比例函数的增减性有别于一次函数的增减性，要落实到每一个象限内讨论，即分x>0与x<0两种情况。本题因为k>0，所以图像在一、三象限。在每个象限内，y随x的增大而减小，y20，所以正确答案为y2

三、理解k的几何意义

例3如图2，反比例函数y=kx的图像经过矩形OABC的边AB的中点E，与边BC相交于点F，连接OF。点F是BC的中点吗？

【错因分析】部分同学由于对函数y=kx中的系数k的几何意义没有理解到位，忽视了“数”与“形”之间的联系，故而连解决问题的思路都没有找到。也有同学没能抓住点E、B、F三个坐标之间的关联，出现错误性判断。解法一：设中点E的坐标为（t，k），根据题意得点B的坐标为（t，2k），点F的坐标为t（1t，2k），所以点F是BC的中点。

此解法以“坐标”之间的关联为主，即从“数”的层面去解决问题。其实本题也可以从“形”的角度做出推断。

解法二：连接OB，∵E是AB中点，∴S△AOEkk=S△BOE=2。∵S△COF=2，S△AOB=S△COB，∴S△COF11=2S△COB，∴CF=2CB。即F是BC的中点。

四、综合运用

例4如图3，两个边长分别为a、b（a>b）的正方形连在一起，三点C、B、F在同一直线上，反比例函数y=kx在第一象限的图像经过小正方形右下顶点E。若OB2-BE2=8，则k的值是（）。

A.3

B.4

C.5

D.45

【错因分析】在双曲线与其他几何图形相结合的问题中，通过已知条件求比例系数k，往往都是利用几何图形的性质提炼出等量关系，求出图像上某点的坐标，然后利用xy=k这一本质解决问题的。在上述问题中，有的同学看到“OB2-BE2=8”这一条件，惯性思维立刻联想到勾股定理，然而这里虽有∠OBE=90°，但OB又不能成为△OBE的斜边，于是就陷入了困局。

【正确解答】我们不妨换个思路，把等式的左边看成单纯的平方差公式，根据正方形的性质可以得到OB=2OA=2AB，EB=2DE=2BD，代入原式得到（OA+DE）（AB-BD）=4。设E点坐标为（x，y），进而得到xy=4，据此可得k=4。故选B。

通过以上几个问题的解决，同学们有没有对“抽象”的函数问题又增添了几分自信呢？其实函数问题并没有我们想象得那么难，同学们只要牢牢掌握它们的基本概念和性质，多借助函数图像，灵活运用好数形结合思想，敢于联想，敢于尝试，就一定能把问题顺利解决，在“函数”这个天地中自由地翱翔！

（作者单位：江苏省常熟市滨江实验中学，江南大学附属实验中学）