利用数学建模方法解析几个物理问题

[关    键   词]  数学建模方法;物理问题;物理素养

[中图分类号]  G712 [文献标志码]  A   [文章编号]  2096-0603（2020）02-0230-02

数学不仅是解决物理问题的工具，数学方法更是物理学研究方法之一。下面通过对中职物理几个具体问题的解析，让大家来体会数学建模这个物理素养的重要性。

一、函数模型

函数模型就是建立所求量或所研究量与已知量或决定量之间的函数关系，然后运用函数的运算或性质进行运算或判断。这是物理解题中最常用的数学模型，一般用来解决最值问题或变量问题比较方便。

例1 一辆汽车在十字路口等候红绿灯，当绿灯亮时汽车以3 m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6 m/s的速度匀速驶来，从后边赶过汽车。（1）求汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？最远距离是多少？（2）何时再次相遇？

二、三角模型

涉及位移、速度、加速度、力等矢量的问题，可以用三角形法则画出矢量三角形，运用三角形的构成条件、三角函数的定义、正弦定理和余弦定理、点到直线的距离等几何知识进行解析。

例2 如图1所示，用细绳AB悬吊一质量为m的物体，现在AB中的某点O处再结一细绳，用力F拉细绳，使细绳的AO部分偏离竖直方向的夹角为θ后保持不动，则F的最小值是多少？

解析：以O点为研究对象，则它在拉力FAO、拉力FBO=mg和拉力F作用下处于静止平衡三个力矢量，构成封闭三角形。由于拉力FBO大小和方向都不变，拉力FAO方向不变。根据“点到直线的距离垂线最短”知，当F方向与AO垂直时，F最小为F=mg sinθ.

三、图像模型

图像模型就是在平面直角坐标系中建立起有某种关系的物理量间的关系图像，利用图像与坐标轴围成的面积、图像与坐标轴的交点和图像间的交点的物理意义进行分析和求解。这类问题求解时，定性画出图像是关键。

例3 如图2，两光滑斜面的总长度相等，高度也相同，两球由静止从顶端滑下，若球在右图斜面上的转折处无能量损失，则两球谁先滑至底端？

解析：两斜面光滑且高度相等，根据机械能守恒定律，两球滑至底端时的速率相等。b球在c点之前的加速度（斜率）大于a球的加速度（斜率），在c点之后的加速度（斜率）小于a球加速度（斜率）。又因为两球下滑的路程相等，故两个图像下的面积相等。这样，作出速度—时间图像草图如图2所示。由图可观察到：tb

四、一元二次方程模型

一元二次方程模型，就是使题中涉及的已知量和未知量构成一个一元二次方程，利用解根的判别式或韦达定理进行求解或分析。

例4 竖直上抛的物体，分别在t1秒末和t2秒末两次通过空中某一点，求该点离地面的高度和抛出时的速度。（不计空气阻力）

五、不等式模型

所謂不等式模型，就是根据题意或解题要求，就所求量和题中已知量建立不等式，通过对不等式或不等式组的求解和分析，完成对物理问题的求解。

例5 如图3-（a）所示，用一水平力F使一个质量为m的物体静止于倾角为θ的斜面上，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求水平力F的大小？

六、圆与切线模型

对物体受三个共点力作用，其中两个力是变化的这类问题，小船渡河问题等，可建立圆与切线模型，对原物理问题进行分析求解.

例6 用绝缘细线悬挂一质量为m，带电量为+q的小球，竖直平面内有场强为E、方向不定的匀强电场，且qE

分析与求解：由于小球处于静止状态，因此，所受重力mg、电场力qE、细线拉力T三力平衡，三力构成封闭三角形。三力中，重力mg大小、方向均不变;电场力大小不变，但方向不定，对应不同方向的电场力;细线拉力的董小、方向均不同。如图4所示，以表示重力的矢量末端为圆心、表示电场力矢量大小qE为半径做圆。由图4容易观察到，当拉力矢量T与圆相切时，细线与竖直方向的夹角最大。这个最大夹角为θ=arsinqE/mg。根据同角的余角相等、正电荷受力方向与电场强度同方向的知识可知，电场强度方向与水平方向的夹角大小也是θ，即电场强度沿与水平方向成θ=arsinqE/mg角斜向上时，细线与竖直方向有最大夹角。

编辑 冯永霞

作者简介：高收茂（1964—），男，陕西西安人，理学学士，高级讲师，研究方向：职业教育的数学与物理教学。