基于最优控制理论的车联网保险定价模型

亢男 蒋炜

摘 要： 车险市场长期受到道德风险与逆向选择的困扰。车载数据采集装置可以收集大量有关驾驶员驾驶行为与风险因素的信息，保险公司可基于驾驶行为与风险因子设定动态保费，从而缓解道德风险问题。同时，保险公司可根据观察到的风险因子减轻逆向选择问题。利用最优控制理论分析车联网背景下驾驶员与保险公司的最优决策，研究发现相比于传统车险产品，车联网保险能够在提高保险受益的情况下获取更大的市场份额，并有效诱导不同类型的投保驾驶员谨慎驾驶，从而提高社会交通安全福利。

关键词： 车联网保险;道德风险;逆向选择;最优控制;合同设计

中图分类号： F 224.11   文献标志码： A

Abstract： Vehicle insurance market has been chronically plagued by moral hazard and adverse selection problems. Vehicle-implemented devices can collect massive data containing information revealing driving behavior and risk factors， thus allowing firms to dynamically set premium based on information acquired and alleviate both the moral hazard and adverse selection problems. In this paper， an optimal control approach is proposed to analyze optimal decisions for both drivers and firms under Internet of Things setting. Analysis shows that vehicle insurances based on Internet of Things can cover a larger market share and therefore guarantee higher profit in comparison to traditional vehicle insurances. In addition， Internet of Things vehicle insurances can induce drivers of different types to exert efforts at efficient levels and therefore raise the social traffic safety.

Key words： internet of things vehicle insurance; moral hazard; adverse selection; optimal control; contract design

截至2019年6月15日，我国的民用汽车保有量已达3.35亿辆，位居世界第一名。作为占比非寿险保费收入85%的车险业务，其盈利状况直接影响着保险公司财产保险业务的盈利状况。在车险市场中，许多因素（如驾驶员年龄、职业、工作或家庭住址、已行驶里程等）会对事故发生概率产生影响，进而影响保险公司的收益。然而，当驾驶员出险时，保险公司往往难以获取驾驶员的驾驶水平与习惯、驾驶时间、驾驶地点等隐藏风险因素。保险公司与驾驶员之间的信息不对称引入了道德风险与逆向选择两大问题。

道德风险是指保险合同签订后，由于存在信息不对称，被保险方在追求自身利益最大化的过程中损害保险方利益的行为方式。例如驾驶员在与保险公司签订合同后，由于保险公司难以实时监控驾驶员的驾驶行为，驾驶员便存在不谨慎驾驶的行为动机，从而导致事故概率的提升。

逆向选择源于保险商在无法观测到用户风险类型的情况下难以对市场进行精确分割的问题。由于保险商难以确定用户的真实风险与安全驾驶所需付出的努力，其在设定保费时往往只能參考市场平均风险水平进行均一化定价。这时，由于风险水平低于市场均值的驾驶员更倾向于不购买保险，保险公司通常仅能与风险较高的驾驶员签订保险合同。

在市场存在逆向选择的情况下，保险合同难以覆盖整个市场，同时由于道德风险与市场竞争的存在，保险公司面临一种两难困境：提高保费会造成部分客户流失，而降低保费会使得盈利收入难以弥补出险费用支出，进而造成企业亏损。2018年，我国共有55家保险企业的车险产品承保规模过亿元，合计车险保费达到7799亿元，然而55家企业中仅有14家实现盈利，市场净承保利润仅为24.2亿元。如何缓解车险市场中严重的信息不对称，从而提高资源配置效率与社会福利，成了保险领域亟待解决的一大难题。

随着物联网技术的快速发展，新兴的车载传感器设备使得保险公司实时采集投保驾驶员的驾驶信息成为可能。例如美国的州立农场（State Farm）保险公司于2011年率先开展“InDrive”车联网保险项目。参与项目的投保人在同意装载车载设备后，保险公司能够实时采集用户的驾驶行为与习惯，从而对其驾驶风险进行推断。若用户的驾驶行为显示其为低风险用户，便可获得一定的保费折扣。随着我国商业车险费率逐步放开，平安财险、人保财险等企业也在部分省份开展了车联网保险实践。

本文在车联网保险的设定下基于最优控制理论搭建了驾驶员策略行为的理论框架，分析了不同类型的驾驶员在驾驶过程中的不同策略与现行传统车险在定价时面临的两难问题。进一步，本文基于车联网保险产品对信息不对称问题的削弱提出了一种保险公司基于其观测到的驾驶员动态风险信息对驾驶员进行动态返利的新型定价策略。结果表明，车联网保险产品相较于传统保险产品能够捕捉到更大的市场份额，从而提高保险公司的盈利能力。

1 文献综述

道德风险问题由Arrow于1963年在医疗保险领域提出，并指出道德风险是投保人受到保障后前后行为不一致的倾向。Arrow指出，对损失的不完全承保是缓解道德风险对企业利润负面影响的解决途径。之后，一系列实证文献如Cohen检验了驾驶员风险与其所选择保额之间的正相关性，即选择保额更高的驾驶员具有更高的出险风险，进而证明了车辆保险市场中道德风险的存在。我国学者赵萍在研究车险市场中的双重道德风险后指出保险公司只有加大审核力度与合同约束规范，才可对道德风险发生的概率进行约束，但此类约束措施并不会使保险公司的利益得到提升。对于当前保险公司普遍采用的成本共担模式（如对保费设置免赔额与部分赔偿等），Chandra等人的研究表明此类成本分担模式对保险公司的盈利提升效果十分有限。

逆向选择问题由Akerlof、Rothschild与Stiglitz提出，指出了由于双边信息不对称的存在，保险公司难以区分投保者的异质风险水平从而导致的市场低效率问题。我国学者张欢采用ASI分析法对社会保险中存在的逆向选择问题进行了实证研究。在车辆保险领域，Puelz与王珺等人利用实证分析方法验证了车险市场中存在逆向选择问题。为应对逆向选择问题，保险公司往往会依据驾驶员的个人资料（如性别、年龄、职业等）与历史交通安全记录对驾驶员进行风险画像与个性化保费调整，但Desyllas等人在2013年的实证研究中指出，此类个人信息与驾驶员事故概率相关性并不显著。

随着物联网技术的快速发展，保险公司可以通过保险协议约定在投保者汽车中安装一些智能车载设备，从而实时捕捉保险存续期内驾驶员的驾驶行为特征（如急刹车、急转弯、超速行驶等）与驾驶习惯（如高频活动区域、驾驶时间等），这大大降低了保险双方的信息不对称性。目前已有一系列文献对驾驶行为与驾驶风险之间的关系进行了实证研究，如Paefgne等人的研究表明实际驾驶里程与事故风险之间存在显著的正相关关系，而Soleymanian等人的研究结果表明急刹车等危险驾驶行为频率的降低能夠显著降低事故风险。我国学者高光远等人基于广义可加模型与核估计方法从驾驶员的驾驶行为中提取了费率厘定因子，并通过实证研究手段验证了基于驾驶行为的费率因子对事故率的显著影响。在车联网保险定价方面，刘蕙在5G通信的背景下对未来车联网保险的费率厘定和产品设计进行了展望。尽管现有文献对驾驶风险行为与出险频率的相关性进行了实证研究，但在车联网背景下的市场刻画与保险定价机制仍然有待研究。本文在物联网技术介入车辆保险的背景下，基于最优控制理论分析了驾驶员的理性决策行为，并以此为依据设计了一种在保险存续期内对购保者进行动态返利的车联网保险合同。分析结果表明，这种新型的车联网保险合同能够在获取更大市场份额的基础上提升保险公司利润，并有效引导全部投保者对自身驾驶行为进行控制，从而减少道路交通安全隐患。

2 被保险方决策模型

本章利用最优控制方法将策略型被保险方（车险背景下即投保驾驶员）在一段时期[0，T]内的决策过程建模为连续时间下的动态优化问题，策略型驾驶员会动态地对谨慎驾驶成本与驾驶风险进行权衡并选择施加最优控制。通过求解该优化问题，可以得到不同类型的被保险方所持有的保留价格。

2.1 模型假设

假设1：出险事件服从一速率为λ（t）的非齐次泊松过程，在初始时刻驾驶员的出险速率为λi。为简化分析，假设驾驶员单次出险的货币损失期望值为一常数D。

解释：由于出险事件为一计数过程，其速率受到驾驶员谨慎驾驶等因素的影响，参照Gallego等人的模型设定，将其建模为非齐次泊松过程。

假设2：驾驶员的效用函数由两部分构成：由出险或购买保险带来的货币支出Cm与谨慎驾驶所引入的控制成本Cu。施加u单位的控制所引入的控制成本为Cu=12 ku2，其中k为控制边际成本系数。

解释：驾驶员对谨慎驾驶所做出的控制存在成本，本文遵循Basu与Rao等人的模型设定，将其建模为二次函数形式。在此设定下，驾驶员谨慎驾驶引入的边际成本随着控制力度的增加递增。

假设3：驾驶员对于出险造成的经济损失是损失厌恶的，即对于无保险情形Cam=γCm，其中γ>1为驾驶员的损失厌恶系数。

解释：Jindal等人的研究显示保险领域中被保险人的损失厌恶现象普遍存在，考虑到事故会为驾驶员带来除金钱损失之外的负效用，本文遵循Wang等人的设定，对事故引入的损失添加损失厌恶系数。

假设4：驾驶员的驾驶风险λ（t）与其所施加控制u满足微分方程：dλ=-u（λ-λ）dt，其中λ为事故风险下限。

解释：根据Taniguchi等人的研究，驾驶风险与驾驶员所施加控制存在负反馈关系，且控制力度越大，驾驶风险下降越显著，因此我们将出险速率与控制力度之间在连续时间内的动态关系建模为以上的微分方程结构。考虑到驾驶过程会引入驾驶行为无法控制的外部风险因素，此处设置λ为事故风险下限，表示社会行车事故率的最小值。

2.2 无保险时驾驶员的控制决策

基于上一小节中的模型假设，将驾驶员未购买保险时在时期[0，T]内最小化期望总成本的优化问题建模为一决策变量为控制力度u的连续时间最优控制问题：

若驾驶员在时期[0～T]内不施加任何控制，则由于控制变量u=0，其风险水平为初值λi不变，在时间T内其所面临的期望成本为Cu=γλiTD。

策略型驾驶员会对Ca与Cu进行比较，若Ca

命题 1：随着控制成本k的增加，受控驾驶成本Ca递增。

证明：Cak=2T2（λi-λ）γDk-32[2（λi-λ）γD+2（λi-λ）γDk]2>0，对于k≥0，故Ca随k单调增加，证毕。

命题2：对于 γ，T，D，λi，λ>0，k*，使得k

证明：施加控制时，需保证Ca

4kTT2k（λi-λ）γD+2k（λi-λ）γD<（λi-λ）γDT。可以解得：当且仅当k

命题1与2表明，驾驶员的驾驶成本为一关于控制成本k的分段单调增函数，当其控制成本k     基于本章得到的驾驶员最优控制策略，可知策略型驾驶员会基于其自身损失厌恶程度与谨慎驾驶成本决定是否在驾驶过程中进行风险控制，当控制成本与期望事故支出之和小于无控制状态下的期望支出时，驾驶员选择施加控制，反之则不施加控制。基于驾驶员中的这一决策异质性，我们可将整个市场分割为AM（会施加控制的驾驶员构成的子市场）部分与PM（无控制行为的驾驶员构成的子市场）部分。

3 传统车险产品与车联网车险产品对比分析

本节基于上一节的分析结果对传统车险设定下与车联网车险设定下风险中性的寡头垄断保险公司的合同设计分别加以讨论，为简化分析并凸显车联网技术革新对信息不对称现象的削弱效果，本章对全额理赔保险合同设计加以讨论。分析表明，车联网车险产品能够覆盖更广泛的市场群体并有效抑制逆向选择与道德风险现象，从而在提升保险公司盈利水平的同时，引导更多驾驶员谨慎驾驶，从而提升社会交通安全水平。

3.1 传统车险合同设计

在传统车险的设定下，由于保险合同签订前保险公司难以获取投保人的风险类型等私有信息，合同签订后保险公司也难以在保期内及时获取与投保者驾驶行为相关的信息，保险公司在设计合同时面临逆向选择与道德风险问题。由于驾驶行为不受保险公司监控，在签订合同之后所有的驾驶员都不会施加控制，理性的保险公司在设定保费时会考虑放弃AM子市场的驾驶员而收取PM子市场中的驾驶员的保留价格Cu=γλiTD，则保险公司每份合同的期望利润为π0=（γ-1）λiTD。

在传统车险合同设定下，保险公司为规避投保者的道德风险问题，会选择将保费设置在控制成本较高的客户群体的保留价格Cu上，并赚取正的期望利润。但在此合同下，保险公司将流失控制成本较低的客户群体，市场中逆向选择问题依然存在。同时，在传统车险合同下PM子市场的驾驶员不会对其驾驶行为施加控制，社会交通风险从而维持不变。

3.2 车联网背景下的车险合同设计

在车联网保险设定下，保险公司可通过车载传感器实时接收驾驶员的驾驶行为数据从而分析驾驶风险。通过实时接收并分析驾驶员驾驶行为数据，驾驶员对安全行车所施加的控制u（t）成为投保驾驶员与保险公司的公有信息。我们考虑保险商的如下合同：在合同签订初期，保险双方约定被保险人缴纳初始保费P，保险公司基于其在保期内观测到的控制状态u（t）对投保人按照r（u（t））進行返利。返利机制r（u（t））在合同签订时约定，此时策略型投保人会选择控制策略使得其保期内期望成本最小。

我们提出一种旨在激励驾驶员安全驾驶的线性返利策略，内容如下：合同签订时，投保者向保险公司报告自身控制成本k并依据合同约定保险公司支付初始保费P，此后保险公司根据保险存续期内观察到的投保者驾驶控制行为u（t）按照 r（u（t） ）=bu（t）对投保者进行返利，其中b为一非负常数且在保险合同签订时确定。

其中：Ca、Cu分别为投保者在无保险情况下施加与不施加驾驶控制时的驾驶成本;约束P-b2T2k≤min{Ca，Cu}表明对决策变量P、b的选取应当保证合同下投保者的期望成本小于其保留价格。为最大化自身期望利润πf，保险公司会选取P=b2T2k+min{Ca，Cu}，即将保险合同价格设置在投保者的保留价格上。最后一个约束表明保险公司提供的合同将为其带来非负的期望收益，若某份合同为保险公司带来的期望收益为负值，则公司选择不出售该合同。

结论1：在线性返利合同中，存在唯一的b*>0使得保险公司期望利润πf最大。

证明：将 P=b2 T2k+min{Ca，Cu}代入πf，得到πf=min{Ca，Cu}-Dλ）T-Dkb（λi-λ）1-e-bkT+b2 T2Dk。πf对b的一阶偏导数为πfb=-Dk（λi-λ）-b-21-e-Tkb+b-1Tk e-Tk b-Tkb，πf对b的二阶偏导数为2πfb2=-Dk（λi-λ）2b-3-2b-3 e-Tk b+2 Tkb-2 e-Tk b-Tk2 b-1 e-Tk b

-Tk。考虑eTk b在b=0处的泰勒展开式：eTk b=1+ Tk b+T22k2b2+o（b）>1-Tk b+T22k2b2，其中o（b）为b的高阶小量。由此可得到2b-3-2b-3e-Tkb+2Tkb-2e-Tk b-Tk2 b-1e-Tkb=2[eTk b-（1-Tkb+T22k2b2）]b3 eTk b>0，从而2πfb2<0，即πf为b的严格凹函数。

当b→0+时，可求得极限limb→0+πfb=T2D（λi-λ）2k>0;而b→+∞时，πfb→-∞。由πfb的单调性与连续性可知，存在唯一的b*>0使得πf取得全局最大值。

结论1表明在线性返利的保险合同下，保险企业总能够找到一个最优的返利费率b*>0使得保险公司的期望利润高于不返利的情况。在最优返利的情况下，保险公司通过返利机制激励投保者在驾驶过程中施加某种程度的控制从而降低公司承担的潜在事故损失。下面我们将证明相对于传统车险合同，线性返利的车联网保险合同能够获得更大的市场份额。

引理 1：πf中g（k，b）=-Dkb（λi-λ）1-e-bkT+b2 T2Dk部分关于参数b的最大值g（k，b*）关于k单调递减。

证明：πfb=gb=-Dk（λi-λ2b-3-2b-3 e-Tk b+2Tkb-2e-Tk b-Tk2 b-1e-Tk b-Tk=0时，g（k，b）取得最大值。此时，根据一阶条件在最大值处如下等式成立：e-Tk b*=D（λi-λ）k2-Tb*3D（λi-λ）k（k+Tb*）。将此等式代入函数g（k，b）对k的一阶偏导数：gk=D（λi-λ）bk+bTke-Tk b-1+Tb22k2得到gk|b=b*=-Tb*22k2<0。证毕。

结论2：带线性返利的车联网保险合同能够覆盖整个PM子市场并取得比传统车险合同更大的期望利润

证明：由性质2可知，当k≥k*=γDT2（λi-λ）2时，投保者的保留价格为Cu=γλiTD，此时保险公司的利润函数为πf=γλiTD-DλT-Dkb（λi-λ）1-e-bk T+b2T2Dk，由结论1可知存在一个最优的b*>0使得πf最大化。当b→0+时，由于Dkb（λi-λ）1-e-bkT+b2T2Dk→D（λi-λ）T，πf→（γ-1）λiTD。当保险公司对PM子市场的投保者停止返利时，线性返利合同逐渐退化为传统车险合同，此时由于πf（b*）>πf（0+）>0，保险公司可以用带线性返利的车险合同获取全部的PM子市场份额并取得相对于传统车险合同更大的期望利润，证毕。

结论2表明带线性返利的车联网保险合同能够在保证不流失PM子市场的基础上取得比传统车险产品更大的期望利润。同时，由于带返利的合同激励PM子市场的投保者施加=bk的驾驶控制率，社会交通安全福利得到了提升。

结论3：带线性返利的车险合同可根据γλ TD与λiTD的相对关系覆盖整个或者一部分AM子市场。

证明：由于在k=k*时带返利的合同的期望利润严格大于传统合同，可得g（k*，b*）>-（λi-λ）DT。当0≤kg（k*，b*）>-（λi-λ）DT。由于0≤k<λitd，则存在一个常数，0<0;若γλ TD≥λiTD，则对于任意k∈[0，k*），πf>0成立。即带线性返利的车险合同可以在确保覆盖整个PM子市场的基础上，根据γλ TD与λiTD的相对关系覆盖整个或者一部分AM子市场，证毕。

车联网技术的引入不仅削弱了道德风险对保险公司带来的潜在不利影响，更使得逆向选择问题得到缓解。由于投保者控制行为u（t）对于保险公司成了可观测信息，保险公司可在保险存续期内对投保者所申报的个人信息k进行后验。若其实际的控制力度偏离，那么保险企业便可反推出其真实控制成本信息=b*（k）并在保期结束时对其增加违约费用d=max{0，C（）-C（k）}，其中C（x）代表无保险情况下边际控制成本为x的驾驶员的保留价格。

在违约费用机制的引入下，投保者若未如实申报其控制边际成本信息则将面临一个大小为L=max{0，b*2 （k）2k-b*2（k）2}的或有损失。在此情况下，保险公司的利润将不会受到投保者信息申报真实性的影响，而隐瞒真实的驾驶类型对于投保者也变得无利可图。再考虑到对自身社會信用造成的或有额外风险，投保者在申报信息时会选择真实反映自身风险的控制成本。

相对于传统车险合同为规避道德风险选择放弃AM子市场，带线性返利的车险合同对这部分市场完成了部分或全部覆盖，从而缓解了传统车险产品所面临的扩大市场规模与暴露在道德风险下的两难局面。由于带线性返利的车险合同在PM子市场中可获取更高的预期利润的同时，在AM子市场中获取正的预期利润，因此这种新型的车险合同相对于传统车险合同具备更强的盈利能力。同时，由于带有返利机制的车险合同使得隐藏自身风险控制成本在经济上变得无利可图，投保者倾向于真实申报个人信息，从而削弱了逆向选择的不利影响。

4 数值算例

前文讨论了寡头垄断的保险市场下传统车险与车联网保险合同对保险公司盈利能力与市场份额和社会总体交通安全水平的影响，证明了车联网保险合同具备更全面的市场覆盖功能与更强的盈利能力。由于模型中重要参数的求解涉及超越方程因此难以求取解析解，本章通过数值仿真的方法对模型中的主要性质与结论进行分析与说明。

首先考虑对比传统车险与车联网保险合同的盈利能力，在此我们取损失厌恶系数γ=1.2，保险存续期T=1（年），单次事故平均损失D=5000（元），无控制下的行车事故率λi=1（次/年），行车事故率下界λ=0.1（次/年），则在此参数下AM与PM子市场的临界点k*=2700。我们考虑市场总体中每个个体的驾驶控制成本参数k取值范围为[0，5400]。带有线性返利的车联网保险合同与传统保险合同在k∈[0，5400]的区间内期望利润随k变化的曲线如图1所示。

图1显示，传统合同的利润曲线为阶跃型，在AM子市场中传统合同由于定价高于所有投保者保留价格，故期望利润为0，而在PM子市场中可获取π1=（γ-1）λiTD=1000元/份的期望利润。线性返利车险合同的利润曲线根据参数k的取值分为三部分：当0

其次，考虑线性返利合同对PM子市场投保者驾驶风险的影响。我们采用数值方法计算得到对应不同参数k的最优返利费率b*，计算其期望事故损失DλT+kb*（λi-λ）1-e-b*k T并与传统合同下的驾驶风险进行对比，结果如图2所示。

以上数值算例表明，线性返利合同可通过设置合理的返利费率，在扩大市场覆盖率的同时，增加保险公司期望利润，并引导在传统合同下不对驾驶行为进行控制的投保人谨慎驾驶，从而降低了社会交通安全风险。

5 结论与展望

本文以最优控制理论为基础，研究了策略型车险投保者在无保险情形下的控制行为，在此基础上设计了基于车联网保险的车险合同并与传统车险合同进行了对比分析，以下为主要结论：

驾驶员的谨慎驾驶成本会影响驾驶员对驾驶行为的控制决策，对于已知的时间区间与平均事故费用，存在可以解析形式表示的驾驶控制边际成本的阈值，控制边际成本低于此阈值的驾驶员会在驾驶期间施加合理的控制以最小化期望驾驶成本，控制边际成本高于此阈值的驾驶员则不会施加控制以降低行车风险，市场从而被分割为由施加控制与不施加控制的驾驶员群体所组成的子市场，分别用AM与PM表示。

由于传统车险合同面临信息不对称问题，保险公司为规避道德风险往往会将保费水平设定在不施加控制的子市场的保留价格上。这将带来两大弊端：首先，保险公司由于流失部分客户，利润水平降低;其次，谨慎駕驶的客户群体反而不受到保险产品的保障，市场中存在严重的逆向选择现象。信息不对称使得道德风险与逆向选择两大问题难以被同时消除，当保险公司期望通过降低保费以获取更大的市场份额时，由于其难以观测合约签订后投保者的行为，所以很可能由于暴露在投保者的道德风险倾向中而面临亏损。

由于车联网技术能够使驾驶员的驾驶信息从驾驶员的私有信息转化为保险公司与驾驶员之间的公有信息，保险公司可基于投保者的实时风险状态设计“固定初始费率+动态返利”形式的线性返利车险合同。本文证明，此类合同能够基于对投保者行为的反馈控制引导不同类型的投保者施加与自身类型相匹配的控制力度，从而同时缓解逆向选择与道德风险问题。此外，由于基于车联网的车险合同能够通过不同的收费水平吸引不同类型的投保者，这种差异化定价的模式相较于传统车险合同能够为保险公司带来更多的期望利润。在如今车险产品日趋同质化、竞争日益激烈的背景下，掌握车联网技术并设计个性化车险合同有利于保险公司定位更广阔的需求市场，从而避免进入激烈的价格竞争，这对业务线条较为精专、资金实力相对薄弱的中小型保险企业尤其具有启发性。

本文丰富与细化了车联网保险产品设计这一热点问题的研究内容，揭示了车联网技术在缓解保险市场中的逆向选择与道德风险问题上所起到的关键作用，并设计了车联网背景下的线性返利车险合同。研究结果表明车联网保险产品在提升保险公司利润与优化保险市场资源配置两方面均可起到积极作用，为保险企业的新产品研发与设计提供了思路与依据。考虑到保险市场中参与者的多样性与复杂性，本文研究尚不够全面，如保险公司对驾驶员风险信息的推断可能存在延迟或噪声，掌握车联网技术的保险企业与传统保险企业的竞争行为等问题尚待进一步研究。

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