二惯量系统谐振在线抑制及相位补偿

廖政斌, 王泽飞, 祝 珊

(1 湖北工业大学太阳能高效利用及储能运行控制湖北省重点实验室，湖北 武汉 430068 2 国网湖北省咸宁市咸安区供电公司，湖北 咸宁 437000)

在交流伺服系统中，机械传动装置被用来将电机的力矩传递给负载，以实现负载跟随电机同步转动。在实际工程应用中，机械传动装置一般使用联轴器、皮带轮、滚珠丝杠等[1-2]，而这些传动机构刚性较差，为柔性传动机构，传动效果没有刚性机构理想，通常会在系统中引发机械谐振。针对交流伺服系统谐振抑制，文献[3]提出极点配置法，通过对极点进行配置使系统的谐振频率点和反谐振频率点相互抵消来抑制系统谐振；文献[4]提出转速误差补偿法，通过设计状态观测器，观测电机转速并与电机反馈转速作差，将得到的差值通过低通滤波器和高通滤波器处理后作为转速补偿，以此达到抑制系统谐振；文献[5]提出负载转矩观测器，将负载转矩观测值反馈到系统中，相当于改变电机转子侧的转动惯量，寻找合适的负载惯量比来达到抑制谐振的作用；这两种方法对系统参数有一定要求。因此采用自适应陷波滤波器对系统谐振频率点的幅值进行抑制，并针对相位滞后的问题采用一种相位补偿的方法减小相位后，提高系统带宽频率，改善系统的响应速度。

1 交流伺服系统谐振产生原理

1.1 交流伺服系统二惯量模型建立

伺服系统由伺服电机、惯性负载和传动轴组成。在实际应用中，电机与负载间的传动轴并非总是刚性连接，系统中存在一定的非线性因素，考虑到弹性连接对系统的性能影响，将此时的机械系统等价于二惯性系统。图1为二惯性系统的简化模型[6-7]。

图1 二惯量系统机械模型

图1中Tm为电机电磁转矩，Tl为负载转矩，ωm为电机转动惯量，ωl为负载的转动惯量，Ks为传动轴的耦合刚度系数，Bm为电机侧阻尼系数，Bl为负载侧阻尼系数，Ts为传动轴的扭转转矩，Jm为电机的转动惯量，Jl为负载的转动惯量。

根据力学平衡关系，可以建立系统的微分方程组如下：

(1)

式(1)中，Ts为传动轴形变扭矩，θm为电机转轴的位置，θl为负载转轴的位置。

对于简化的二惯量系统，根据系统的微分方程组可以画出系统的结构框图[8](图2)。

图2 二惯量系统的结构图

根据图2可以推导出电机转速ωm和负载转速ωl到电磁转矩Tm间的传递函数，传递函数如下：

(2)

(3)

系统中的阻尼系数很小，可以忽略不计，所以式(2)和式(3)中的Bl=Bm=0。可得：

从而可以得到考虑弹性传动装置的电流环和转速环双环闭环控制系统框图(图3)。

图3 转速环系统控制框图

图中外环为转速环，对电机转速ωm进行闭环控制。ASR为转速环PI调节器，调节器输出为电流指令；ACR为电流环调节器，输出为电压指令；Ks为逆变器的比例系数；Ts为时间常数。

1.2 机械谐振的产生原因

式(2)、(3)传递函数左边项可以视为一个惯性环节，右边项可以视为一个二阶振荡环节，也是引起系统振荡的原因。

对比式(2)和式(3)可以发现其振荡环节的不同，式(2)中的传递函数包含了一对共轭极点和一对共轭零点；式(3)中的传递函数中存在一对共轭极点。正是由于弹性负载接入系统后引入了共轭零极点，才对电机和负载的转速响应有严重的影响，给控制带来了麻烦。所以抑制伺服系统谐振的关键在于将共轭零极点的影响降到最低[8]。

由上式可以得出二惯量系统的反谐振频率ωar和谐振频率ωr分别为：

其中R=Jl/Jm，R为负载惯量比。由式(3)可知负载惯量比与电机和负载的转动惯量有关，谐振频率ωr与传动轴的刚度系数和负载惯量比有关，减小惯量比R，使谐振频率和反谐振频率更加接近，有利于二惯量系统的谐振抑制。电机与负载侧的谐振方程bode图见图4。

图4 谐振方程bode图

分析图4，从幅频特性可以看出系统在谐振频率处的幅值增益最大，而在反谐振频率处的幅值增益最小，有明显的波峰和波谷。在谐振频率处高增益的幅值会降低系统的稳定裕度，所以需要抑制谐振处的峰值。

2 机械谐振在线抑制及相位补偿

由上文分析可知，二惯量系统的机械谐振发生在特定的频率点上。在该频率点上，系统的幅值增益会迅速上升出现一个峰值，为了抑制系统的谐振，则需在该频率点处减小系统幅值[9]。本文采取自适应陷波滤波器对机械谐振频率进行补偿，抑制谐振的产生。

2.1 陷波滤波器设计

本文使用一种二阶IIR陷波器设计方法，该陷波器的传递函数如下：

该陷波器形式简单，参数少，只有ρ和α两个参数。参数α决定陷波频率α=-2cos(ω0)；参数ρ决定陷波器衰减带宽BW=(1-ρ)π，ω0(rad)为归一化的陷波频率；BW(rad)为3dB的衰减带宽；ρ(0<ρ<1)越接近1，陷波器的衰减带宽就越窄，并且其陷波深度也越小。这两个参数之间没有耦合，互不影响。

图5 陷波滤波器的频率响应

图5可以看出，只在陷波频率点上的幅值频率特性出现衰减，且在陷波频率点处的相位出现滞后；陷波滤波器的带宽越宽，引起的相位滞后越大，系统的响应越慢。

2.2 谐振点辨识

由上分析可知，陷波滤波器的设计需要知道系统的谐振频率点，本文采用按频率抽取法快速傅里叶变换，通过蝶形算法原理完成信号的分析，得到系统的频率特性，从而可知系统的谐振频率点[10]。具体方法如下：

图6 蝶形算法运算单元

对于有限长非周期序列x[n]，序列x[n]与其傅里叶频谱X[k]的关系如下：

由此得到单个快速傅里叶变换运算单元表达式为：

快速傅里叶运算的结果为信号序列x[n]的频谱X[k]，但此时的频谱序列需要倒序排列放置，根据香农采样定理，如果信号的频谱最高频率为fmax，为了保证频谱分析结果不发生频谱混叠，采样频率fs应大于最高频率fmax的2倍，变换后的频谱X[k]点数为N，则X0至X[N/2]表示[0,fs/2]频率区间内的信号离散频谱。其中幅值增益最大对应的频率点为系统的谐振频率点。

加入谐振点在线检测和陷波滤波器环节后，交流伺服系统的控制框图见图7。

图7 自适应陷波滤波器抑制系统谐振框图

图7中，对转速误差进行快速傅里叶分析(FFT)得到系统的频谱图，在系统频谱图中找出系统的谐振频率点，再将陷波滤波器串联到速度环中，对速度调节器输出的电流进行滤波处理，抑制电流波动，进而对电磁转矩产生抑制，从而达到抑制系统谐振的效果。

2.3 相位滞后补偿原理

由于陷波滤波器的串入会给系统带来相位的滞后，为解决这一问题，本文考虑使用一种对速度指令重构的方法(图8)。

图8 相位滞后补偿转速环控制框图

图8中的虚线框内为相位滞后补偿方法，通过加入一个补偿环节，补偿系数Kcpm，微分通过补偿系数环节起作用，使得系统在瞬态过程加快速度响应；而在稳态过程中，由于微分不起作用，补偿系数也失去了作用。为保证补偿前后的速度给定无静差，因此补偿系数需满足一定的条件。

由上式可知，速度误差由陷波滤波器的参数决定。k1为陷波滤波器的陷波宽度；k2为陷波滤波器的陷波深度；ω0为陷波频率。在系统稳定状态下，即s=0，为保证速度误差为0，可得下式：

3 仿真实验

3.1 谐振抑制仿真结果

在Matlab/Simulink软件中，对永磁同步电机伺服系统进行仿真实验电机参数：电机额定电流为6 A；额定转速为2000 r/min；额定转矩为5 N·m；定子电阻为3.15 Ω、定子电感为0.0085 H；定子磁链为0.175 Wb；电机极对数为4对极、转动惯量为0.008 kg·m2；传动轴的弹性系数为50 N·m/rad；负载惯量为0.0008 kg·m2。

系统给定速度是周期为2 s, 幅值为1000 r/min的方波信号，在2.1 s时刻陷波滤波器起作用。得到波形见图9。

图9 系统谐振抑制仿真

图9a为电机侧转速响应图，在2.1 s时刻加入陷波滤波器系统转速会产生跳动，随后转速波动幅度减小直至平稳；图9b为负载侧转速响应图，由于系统谐振的存在，滤波前负载侧转速响应波动较大，处于非正常运行状态，2.1 s进行滤波，负载侧转速波动减小直至平稳状态；图9c为电磁转矩响应图，滤波后的电磁转矩波动明显减小。图9a和图9b中可以看出滤波后的转速响应明显变慢，速度环带宽减小，严重影响系统的快速性；图9d为陷波前后转速误差的频谱图，可以看出谐振点频率为42 Hz，陷波前的谐振点幅值达到789 dB，经过陷波滤波后谐振点幅值降至78 dB。

3.2 相位补偿仿真结果

在Simulink中，速度给定为1个周期幅值为1000 r/min的方波信号，在电机启动时刻陷波滤波器开始作用。图10为使用陷波滤波器带来系统相位滞后的补偿前后转速波形图。

图10 相位补偿后系统谐振抑制仿真

由图10可知，加入相位补偿环节后不仅对系统谐振有抑制作用，而且改进后的方法比单纯使用陷波滤波器的相位滞后小，改善了系统的带宽频率，提高了其响应速度；改进后的转速响应均提升了0.9 s左右。

以上仿真是从时域的角度分析系统相位滞后补偿问题，从频域的角度分析系统相位滞后，可以通过分析系统的闭环截止频率大小，闭环截止频率越大,系统的瞬态响应速度越快。向系统转速给定幅值一定的正弦激励，通过改变激励的频率，直至幅值衰减为最大值的0.707倍，此时激励的频率为系统电流环的带宽频率(亦称截止频率)。

在Simulink仿真软件中，速度输入幅值为1A的正弦激励，通过改变激励的频率分别得到刚性系统、二惯量系统、加入自适应陷波滤波器的二惯量系统及相位补偿后系统的带宽频率如图11。

图11 不同系统下的激励与响应

图11的a、b、c、d中转速输入正弦激励的频率分别为722 Hz、627 Hz、557 Hz、589 Hz，可知刚性系统的带宽最大，系统响应最快；二惯量系统次之；加入陷波滤波器后的二惯量系统带宽有所下降；经过相位补偿后的系统带宽在原有的基础上有一定的增加。

4 结论

笔者对包含弹性装置的伺服驱动系统进行研究，分析了系统谐振产生的原理及其对系统带来的影响。介绍了一种自适应陷波滤波器的设计原理，通过设计合理的陷波滤波器对系统谐振进行抑制。仿真试验表明，陷波滤波器能有效地抑制系统的机械谐振，但同时会给系统带来相位滞后的问题。针对该问题，采用一种相位补偿的方法，有效的减小了系统相位滞后，提高系统的带宽，改善系统响应速度，并通过仿真验证了其有效性。