考虑不同边界条件下的水平井产能公式

邓 森，罗能强，杨思远

（1.大庆油田有限责任公司勘探开发研究院 黑龙江大庆163712；2.黑龙江省油层物理与渗流力学重点实验室黑龙江 大庆163712；3.大庆油田建设设计研究院 黑龙江 大庆163712）

水平井由于其贯穿油层的长度长，增大了与油藏的接触面积，大大提高了单井产量，在薄油藏和裂缝性油藏中得到广泛应用。 目前有关气顶底水油藏、气顶油藏、底水油藏水平井产能的研究较多［1-13］。范子菲把气顶底水油藏的顶界和底界分别看作恒压边界，利用扩散方程得到了无限大地层条件下气顶底水油藏水平井的产能公式［14］；范子菲把底水油藏顶界看作封闭边界，底界看作恒压边界，再利用保角变换和势函数理论得到了无限大地层条件下底水油藏的水平井产能公式［15］；Giger、Chaperon和陈元千分别推导出了底水和气顶油藏水平井临界产量计算公式［16-18］；袁淋和刘美佳分别推导出了气顶底水油藏水平井的临界产量计算公式［19-20］；吕爱民对气顶油藏水平井的最优垂向位置进行了研究［21］；王德龙则对气顶底水油藏水平井的最优位置进行了研究［22］。

许多产能公式的推导都是在地层为无限大条件下得出的，对于油藏左右边界为封闭边界条件下的情况研究较少，因此，本文利用势函数理论推导出了此种情况下水平井的产能公式。

1 气顶底水油藏水平井产能公式

假设油藏存在四个边界，A边界为油气界面，D边界和B边界为封闭边界，C边界为油水界面， 油藏厚度为h，BD距离为d，水平井距底水距离为ho，把A边界和C边界看作供给边界， 油气界面和油水界面均为恒压边界（见图1、图2）。 运用镜像反映方法，对4个边界进行映射，得到无限大平面内的3个无穷井排，井排由生产井和注水井组成，圆圈代表注水井，黑色点代表采油井 （见图3）， 生产井的纵坐标为2nh+ho， 注水井的纵坐标设为2nh-ho，n由-∞变为+∞，坐标系统设为zoy。

图1 油藏垂直剖面示意

图2 油藏俯视图

图3 气顶底水油藏水平井映射示意

地层中任意一点的势为

马斯凯特公式为

利用马斯凯特公式，式（1）可以转变为

在供给边界上取点（0，0）代入式（3），可得

在井壁上取点（0，ho-rw），代入式（3），得

则式（5）可以转换成

将式（6）转化成压力，并将q=Q/L代入可得

将式（7）转换成油藏工程实用单位，并考虑到油藏各向异性，可得

如果B、D边界不存在，即无限大地层，容易得到气顶底水油藏水平井的产能公式为

2 气顶油藏水平井产能公式

假设油藏存在四个边界，A边界为油气边界，B边界、C边界和D边界都为封闭边界， 油气界面为恒压边界。 运用镜像反映方法，对4个边界进行映射，得到无限大平面内的3个无穷井排， 井排由两类生产井和两类注水井组成（见图4），第一类生产井的纵坐标为4nh+ho，第二类生产井的纵坐标为4nh-ho，第一类注水井的纵坐标设为4nh-2h-ho，第二类注水井的纵坐标为4nh-2h+ho。

图4 气顶油藏水平井映射示意

地层中任意一点的势为

根据式（2），式（10）可以转换成

在供给边界上选点（0，h），代入式（11），得

容易得到

在井壁上选点（0，ho-rw），代入式（11），得

式（14）可以转化成

将式（15）转化成压力，并将q=Q/L代入可得

将式（16）转换成油藏工程实用单位，并考虑到油藏各向异性，可得

如果B、D边界不存在，即无限大地层，容易得到气顶油藏水平井的产能公式为

3 底水油藏水平井产能公式

假设油藏存在四个边界，A边界、B边界和D边界都为封闭边界，C边界为供给边界，运用镜像反映方法，对4个边界进行映射，得到无限大平面内的3个无穷井排，井排由两类生产井和两类注水井组成（见图5），第一类生产井的纵坐标为4nh+ho，第二类生产井的纵坐标为4nh+2h-ho；第一类注水井的纵坐标设4nh-ho，第二类注水井的纵坐标为4nh+2h+ho。

图5 底水油藏水平井映射示意

地层中任意一点的势为

由式（2）和式（19）可得

在供给边界上选点（0，0）代入式（20），可得

在井壁上选点（0，ho+rw）

对式（22）进行整理可得

将式（23）转换成压力，并将q=Q/L代入可得

转换成油藏工程实用单位，并考虑到油藏各向异性，可得

如果B、D边界不存在，即无限大地层，容易得到底水油藏水平井的产能公式为

4 油藏宽厚比对产能的影响

设某油藏厚度为100 m，孔隙度为0.2，水平渗透率为50×10-3μm2，垂直渗透率为50×10-3μm2，原油黏度为6.13 mPa·s，原油体积系数为1.031，原油相对密度为0.935，水平井距底界距离为50 m，水平井筒长度为400 m，井筒半径为0.05 m，生产压差为3 MPa。

根据不同类型油藏作出水平井产量的变化关系曲线，见图6～8。 从图6～8可以看出，左右封闭边界对水平井的产量是有影响的： 对于气顶底水油藏，当油藏宽度等于油藏厚度的2.36倍时， 存在左右封闭边界的水平井产量与不存在左右封闭边界的水平井产量是相等的，大于此值以后才可以忽略左右封闭边界的影响， 把此值称为油藏临界宽厚比，底水油藏和气顶油藏的临界宽厚比分别为3.69 和4.12。 为了研究不同油藏临界宽厚比与油藏厚度的关系，作出了油藏临界宽厚比与油藏厚度的变化关系曲线（见图9），从图9可以看出，随着油藏厚度的增加，油藏临界宽厚比有稍微降低的趋势，但是整体上变化不大。 气顶底水油藏的平均临界宽厚比为2.41，气顶油藏的平均临界宽厚比为4.17，底水油藏的平均临界宽厚比为3.76。

图6 气顶底水油藏水平井产量随油藏宽度变化曲线

图7 气顶油藏水平井产量随油藏宽度变化曲线

图8 底水油藏水平井产量随油藏宽度变化曲线

图9 油藏临界宽厚比随油藏厚度变化曲线

5 结论

（1）考虑左右封闭边界水平井的产能公式可以用于预测实际油藏的水平井产量，水平井距离边界较近时， 水平井产能的计算需要考虑边界的影响；距离较远时，水平井产能的计算可以忽略边界条件的影响，即可以看作是无限大地层条件下水平井产能的计算。

（2）考虑左右封闭边界的水平井产能公式也可用于预测水平井最优井距，当存在左右封闭边界水平井的产量与不存在左右封闭边界水平井的产量刚开始相等时，此时对应的油藏宽度即为水平井最优井距，油藏厚度对油藏临界宽厚比影响不大。