一种基于固定截距多元线性回归的涡轮叶片冷却效果经验公式推导方法

吕 颂，郑旭东，曹智顺，张联合

(中国航发沈阳发动机研究所强度试验研究室，沈阳 110015)

随着航空发动机推重比的增加，涡轮的进口温度也随之上升，据相关资料显示，推重比10级发动机的涡轮进口温度已达到1 850～1 950 K，推重比15级发动机的涡轮进口温度将达到2 200～2 300 K[1-6]。如此高的温度等级将对涡轮叶片的内部冷却结构形式提出更为严格苛刻的要求。影响涡轮叶片冷却性能的因素有多个，常见的为燃气与冷气温度比、冷气与燃气流量比、燃气雷诺数、燃气落压比及气膜孔偏角等。中国相关研究人员分别从数值模拟[7-11]及试验验证[12-13]的角度对各因素的影响情况进行了对比分析，并通过对试验数据进行回归分析拟合出合适的经验公式。不过目前大多数经验公式的拟合方法均为单因素回归分析方法，未考虑到多种因素同时作用的结果，这与客观事实不相符。

在回归分析中，有两个或两个以上的因素，称为多元回归。关于这方面的研究已有大量报道[14-16]。在中国，多元线性回归分析方法已应用到多个领域，如石油行业[17]、地质勘察行业[18]、民航交管行业[19]。特别是在航空发动机整机振动方面也有应用[20]，但在其地面零部件试验条件下的应用还是空白。选取对涡轮叶片冷却性能诸多影响因素中最为常见的3个因素(冷气与燃气流量比KG、燃气与冷气温比KT和燃气雷诺数Reg)，展示了一种更适用的固定截距多元线性回归分析方法，填补了相关研究领域的空白。

1 冷却效果试验经验公式理论基础

涡轮叶片的气膜冷却准则可以表示为

(1)

θ=f(Reg,KT,KG)

(2)

实际的工程试验研究中采用控制变量的方式开展，即在保证其他设计点参数不变的前提下，分别改变温比KT、流量比KG及燃气雷诺数Reg获得相关试验条件下的数据点，再进行经验公式拟合及回归分析。

2 回归分析的理论基础

回归分析法是在方差分析法的基础上发展起来的，是指利用数据统计原理，对大量统计数据进行数学处理，并确定因变量与某些自变量的相关关系，建立一个相关性较好的回归方差，即函数表达式，并加以外推，用于预测今后因变量变化的分析方法。一般分为单因素回归分析(一元回归分析)和多因素回归分析(多元回归分析)，其最终目标就是利用(偏)最小二乘法给出残差平方和最小的拟合公式。

2.1 单因素非线性回归分析

单因素非线性回归分析(一元非线性回归分析)的理论基础如下，假设曲线回归模型的非线性目标函数为

y=f(x)

(3)

式(3)中：x为因素变量；y为响应变量。

通过某种数学变化式(4)使之线性化为一元线性函数式(5)，继而利用线性最小二乘法估计出参数a和b。

(4)

v=a+bu

(5)

式中：v为响应变量的线性变换函数；u为因素变量的线性变换函数。

用一元线性回归方程式(6)来描述v与u间的统计规律性，然后再用逆变换式(7)还原为目标函数形式的非线性回归方程。

(6)

(7)

2.2 多元线性回归分析

多元线性回归分析的理论基础如下：设随机变量与一组(k个)变量x1,x2,…,xk有关系式：

y=β0+β1x1+…+βkxk+ε

(8)

式(8)中：β0,β1,…,βk为未知参数；ε为随机项，服从正态分布N(0,σ2)。如果(y1;x11,x21,…,xk1)，(y2;x12,x22,…,xk2)，…,(yn;x1n,x2n,…,xkn)是一个容量为n的样本，则有：

(9)

式(9)中：β0,β1,…,βk为未知参数；ε1,ε2…,εn为随机项，服从正态分布N(0,σ2)。

(10)

3 固定截距多元线性回归分析公式推导

在多元线性回归分析理论基础上，发展了一种固定截距多元线性回归分析方法。为便于理解，以涡轮叶片冷却效果试验经验公式为例进行推导。工程上其一般形式为

(11)

式(11)中：A为系数，对式(1)进行线性化得:

lnθ=lnA+αlnKG+βlnKT+γlnReg

(12)

试验中得到的数据点空间分布如图1所示，从图1中可以看出，3条数据线均经过设计状态数据点，即三次试验均在设计状态下进行了采样。因此对其取平均值得到的设计状态处的试验数据相对于其他试验数据更加准确，因此有理由认为拟合出的经验公式应经过设计状态处试验数据点。

图1 试验数据点空间分布

假设通过取平均值得到的设计状态试验数据点为(KG1,KT1,Reg1;θ1)，将其代入式(12)可得式(13):

lnθ1=lnA+αlnKG1+βlnKT1+γlnReg1

(13)

对式(13)变形可得：

lnA=lnθ1-αlnKG1-βlnKT1-γlnReg1

(14)

将式(14)代入式(12)，整理可得：

lnθ=lnθ1+α(lnKG-lnKG1)+β(lnKT-lnKT1)+γ(lnReg-lnReg1)

(15)

按照式(10)的形式利用偏最小二乘法求出各幂参数的估计值：

(16)

式(16)中：固定截距为设计状态试验数据平均冷却效果的对数值lnθ1。

4 回归分析应用结果对比

以某涡轮叶片冷却效果试验为例，该试验包括变流量比-冷效关系试验(试验1)、变温比-冷效关系试验(试验2)与变主流雷诺数-冷效关系试验(试验3)。每个试验过程中均设置8个特定工况状态，得到试验1中8个工况下的流量比与冷却效果数据概率密度分布如图2、图3所示，试验2中8个工况下的温比与冷却效果数据概率密度分布如图4、图5所示，试验3中8个工况下的雷诺数与冷却效果数据概率密度分布如图6、图7所示。

图2 试验1中流量比数据概率密度分布

图3 试验1中冷却效果数据概率密度分布

图5 试验2中冷却效果数据概率密度分布

从图2～图7可以看出，流量比参数、温比参数、雷诺数参数及冷却效果参数等测量值的分布均近似为正态分布，故可以应用回归分析的方法进行数据分析操作。

图7 试验3中冷却效果概率密度分布

4.1 单因素非线性回归分析应用

该种方法是分别对试验1、试验2和试验3进行单因素非线性回归得到幂参数，在将设计点参数代入式(11)中求得系数A，操作如下。

试验1得到的拟合公式，如式(17)所示：

(17)

其方差分析如表1所示。

表1 试验1中方差分析

试验2得到的拟合公式，如式(18)所示:

(18)

其方差分析如表2所示。

表2 试验2中方差分析

试验3得到的拟合公式，如式(19)所示:

(19)

其方差分析如表3所示。

表3 试验3中方差分析

因此该方法得到的冷却效果综合经验公式:

(20)

4.2 常规多元线性回归分析应用

该方法是对试验1、试验2和试验3下所有的数据参数同时进行常规多元线性回归得到幂参数和系数，该方法得到的冷却效果综合经验公式如式(21)，相关回归分析结果如表4所示。

表4 常规多元线性回归分析结果

(21)

4.3 固定截距多元线性回归分析应用

该方法是保证拟合公式经过设计点数据的前提下，对试验1、试验2和试验3下所有的数据参数同时进行固定截距的多元线性回归得到幂参数和系数，该方法得到的冷却效果综合经验公式如式(22)所示：

(22)

相关回归分析结果如表5所示。

表5 固定截距多元线性回归分析结果

4.4 各方法对比

单因素回归分析方法没有全面考虑3个因素同时作用下对冷却效果参数的影响，无法进行综合的方差分析，因此其拟合公式可信度较差，不建议采用。

常规多元线性回归分析方法与固定截距多元线性回归分析方法都综合考虑了3个因素同时作用下对冷却效果参数的影响，不过考虑到试验方法、设计状态数据与其他状态数据相比的准确程度及状态数据点在空间中的分布情况(图1)，显然后者方法更适用。从分析结果来看运用固定截距方法虽然残差平方和稍高，但确定系数R更高，公式拟合结果更令人满意。

对比表4、表5中t的绝对值还可以发现，两种回归分析方法下3个因素对冷却效果的影响程度排序不同，固定截距方法分析的结果与实际情况符合程度更高。

5 结论

通过三种回归方法的对比分析，得到以下结论。

(1)对于涡轮叶片冷却效果试验的经验公式拟合与回归分析来说，提出的基于固定截距的多元线性回归分析方法更适合于现阶段的试验方法，其分析拟合结果更可靠，更符合实际情况。

(2)从分析结果来看，3个因素对冷却效果的影响程度从大到小依次为流量比KG、温比KT、燃气雷诺数Reg。

(3)在对试验数据进行回归分析及经验公式拟合的过程中，若某一个或某几个状态数据点的准确程度相当可靠，则可以采用该固定截距的多元线性回归分析方法进行分析。