不确定指数O-U过程下几何平均亚式期权定价

刘兆鹏

(宿州学院 数学与统计学院，安徽 宿州 234000)

亚式期权是一种强路径依赖期权，其收益取决于期权合约存续期内标的资产价格的平均值；由于亚式期权可以规避到期前市场操纵所带来的风险，因此成为最受欢迎的奇异期权之一.

在Black-Scholes模型的假设下，很多学者展开了对亚式期权定价的研究，具体结果可以参看文献[1]～[3].然而，在现实的金融市场中，由于信息不对称，投资者无法获得足够的数据来解决投资选择的问题，他们更愿意依靠以往的经验来做出自己的决定，因此信度在金融决策中起到非常重要的作用.为了理性描述信度问题，2007年刘宝锭提出了不确定理论.基于股价波动遵循不确定微分方程的假设，Liu[4]开始了不确定金融的研究，建立了不确定股票模型并推导出欧式期权定价公式.此后，许多学者致力于不确定性理论框架下的金融问题研究.例如，Zhang和Liu[5]研究了不确定金融市场下几何亚式期权定价问题；Su和Chen[6]推导出了不确定金融市场的亚式期权定价公式；Sun和Yao[7]研究了不确定均值回复模型下的亚式期权定价问题；Wang和Chen[8]在带有浮动利率的不确定股票模型下获得了亚式期权定价公式等.

本文基于不确定理论,采用不确定指数O-U过程模拟股票，研究几何平均亚式期权定价问题，推导出几何平均亚式期权定价公式，并讨论了不确定期权定价公式的一些数学性质，给出一些数值算例.

1 不确定理论

不确定性理论已经成为公理数学的一个分支，用来处理主观信念的程度.本节将介绍不确定变量和不确定微分方程的一些基本概念和定理.

定义1[4,9]L是非空集合(全集)Γ上的一个σ代数，集函数M：L→[0,1]称为不确定测度，如果满足如下公理：

公理1:(规范性) 对于全集Γ，有M{Γ}=1.

公理2:(对偶性) 对于任何事件Λ，有M{Λ}+M{ΛC}=1.

公理4:(乘积公理) (Γk,Lk,Mk)是不确定空间，k=1，2，…乘积不确定测度M为乘积σ代数L1×L2×…上的一个不确定测度，满足

其中Λk是从Lk中任意选取的事件.

定义2[10]ξ为不确定变量，ξ的期望定义如下

其中上式右端的积分至少一个是有限的.

引理1[9]ξ是具有不确定分布Φ的不确定变量.若它的期望存在，则

引理2[10]ξ是具有正则不确定分布Φ的不确定变量，则

定义3[11](Γ,L,M)为不确定空间，T是全序集(时间).一个不确定过程是从T×(Γ,L,M)到实数集的函数Xt(γ)，使得在任意时刻t对于任意一个Borel集B,{Xt∈B}都是一个事件.

定义4[4]不确定过程Ct如果满足以下条件，则Ct被称为典范Liu过程：

(i)C0=0而且几乎所有的样本轨道是Lipschitz连续的；

(ii)Ct是平稳独立增量过程；

(iii)每一个增量Cs+t-Ct都是期望为0，方差为t2的正态不确定变量.即典范Liu过程的正态不确定分布和正态逆不确定分布分别是

定义5[4]若Ct典范Liu过程,f和g是两个给定函数，则

dXt=f(t,Xt)dt+g(t,Xt)dCt，

称为不确定微分方程.

定义6[12]α是一个实数(0<α<1)，不确定微分方程

dXt=f(t,Xt)dt+g(t,Xt)dCt，

的解，其中Φ-1(α)是标准正态逆不确定分布，即

dXt=f(t,Xt)dt+g(t,Xt)dCt

Liu[9]指出X1t，X2t，…，Xnt是独立的，如果对于任意的正整数k和任意时刻t1,t2,…,tk，不确定向量ξi=(Xit1,Xit2,…,Xitk)，i=1,2,…,n是独立的.

引理4[13]假设X1t，X2t，…，Xnt是独立的不确定过程，如果函数f(x1,x2,…,xn)对x1,x2,…,xm是严格递增的，对xm+1,xm+2,…,xm+n是严格递减的，则不确定过程Xt=f(X1t,X2t,…,Xnt)有α轨道

2 不确定环境下几何平均亚式期权定价

文献[14]提出了不确定指数O-U模型：

(1)

其中r为无风险利率，Bt为债券价格，c>0，σ>0是股票价格波动率，μ是常数，Ct是典范Liu过程.模型(1)是具有非线性均值回复特征的不确定股票模型，是对文献[5]的推广和改进.股价遵循不确定指数O-U过程，避免了传统对数正态分布中股票价格随时间单向变化的限制，因此股票模型(1)更符合实际金融市场.本文基于股票模型(1)，分别考虑几何平均亚式看涨期权及亚式看跌期权，股票价格为Xt，执行价格为K，到期日为T.

定理1设股票价格过程Xt满足模型(1)，执行价格为K，到期日为T，则几何平均亚式看涨期权的价格为

其中

证明：由定义2可知，通过解常微分方程

可以得到不确定微分方程

dXt=μ(1-clnXt)Xtdt+σXtdCt的α-轨道为

有α-轨道

根据定义8，由引理 2 和引理 3，可以得到几何平均亚式看涨期权的价格是

由定理1的结果可知，对于股票价格过程Xt满足模型(1)，执行价格为K，到期日为T，则几何平均亚式看涨期权的价格为fc具有以下性质：

1.fc关于执行价格K是递减函数；

2.fc关于无风险利率r是递减函数；

3.fc关于股票的初始价格X0是递增函数.

定理2设股票价格过程Xt满足模型(1)，执行价格为K，到期日为T，则几何平均亚式看跌期权的价格为

其中

证明：由定理1可知，不确定微分方程

dXt=μ(1-clnXt)Xtdt+σXtdCt

的α-轨道为

因为

根据定义8，由引理2和引理3，可以得到几何平均亚式看涨期权的价格是

由定理2的结果可知，对于股票价格过程Xt满足模型(1)，执行价格为K，到期日为T，则几何平均亚式看跌期权的价格为fp具有以下性质：

1.fp关于执行价格K是递增函数；

2.fp关于无风险利率r是递减函数；

3.fp关于股票的初始价格X0是递减函数.

3 结 论

研究了不确定金融市场下几何平均亚式期权定价问题.假设股票价格遵循不确定指数Ornstein-Uhlenbeck过程，运用α-轨道方法，推导了几何平均亚式看涨期权和看跌期权的定价公式.同时，讨论了这些公式的一些性质，并给出数值算例.