地磁模型构建仿真及匹配特征量的选择

彭 飞，熊 凌，陈 洋

（1.武汉科技大学 机器人与智能系统研究院，武汉430081；2.武汉科技大学 信息科学与工程学院，武汉430081）

地磁场是由地球内部液态铁的流动，以及地球内部和外部的电流体系，所产生的各种磁场组合叠加而产生的[1-2]。 近些年，随着地磁场模型、地磁测量设备、地磁信息处理技术等研究的不断发展，使得地磁匹配导航技术逐渐成为导航技术研究领域热点之一。 目前，地磁匹配导航技术的研究主要集中在匹配算法上，对于匹配导航基准图的研究则较少，但一些具有代表性的地磁匹配算法，如TERCOM 算法[3-4]、ICCP 算法[5-6]为基础的地磁导航算法等都是基于地磁图的匹配定位方法。 因此，在地磁匹配导航技术的研究中，地磁基准图的构建具有重大意义。

地磁基准图的构建主要有模型法和实测法2种。 前者主要用于地磁场性质的研究，而高精度地磁图的构建主要依赖后者[7-8]。 国际地磁参考场（IGRF）是用来描述地球的主磁场及其变化的地磁模型。 该模型自1900 年开始，每5 年进行一次更新换代，迄今为止已更新到第13 代，IGRF13 的相关系数也于2019 年12 月发布。 在此，主要利用IGRF13 的相关系数来构建地磁基准图，并对地磁分量进行分析，选择适用于地磁导航的地磁信息。

1 地磁场模型构建及分析

1.1 地磁场模型构建

地磁场是一个矢量场，是一个空间与时间相关的函数[9-10]。可以采用图1 所示的空间坐标系来表示地磁场各要素之间的相互关系及其空间分布特点。

图1 地磁场元素结构Fig.1 Structure of geomagnetic elements

在该坐标系中，地理北向、地理东向和垂直向下为该空间坐标系的正方向，这3 个方向的分量分别记为X，Y，Z。 此外，地磁场中还有其他几个要素：总磁场强度F，水平强度H，磁偏角D 和磁倾角I。

在这地磁场七要素中，只要知道3 个相互独立的要素，就可以求其余的要素，它们的几何关系为

19 世纪30 年代高斯理论问世以来， 许多学者利用不同数量、不同类型的地磁资料，对地球磁场做了不同阶数的球谐分析。 直到1968 年，在华盛顿召开的“地球磁场的描述”座谈会上正式提出了全球地磁场模型；国际地磁学和高空物理学协会的世界地磁测量部以及协会执行委员会也先后对1965.0 国际地磁参考场给出了承认[11]。 地磁场的球谐模式即是用球谐分析法来描述地球主磁场及其长期变化的分布。

由高斯球谐分析可得，表示地磁场磁位的球谐函数为

其中

式中：a 为参考球体半径， 通常为地球平均半径，一般取a=6371.2 km；r 为参考球体中心至球表面或表面以上空间中的计算点的距离；h 为距离球面的高度；λ，θ 分别为球冠坐标系中的经度、纬度；，为施密特的标准化球谐系数又称高斯系数；n 为截止阶，根据最新的IGRF13 系数，截断阶数n=13，当n=m=13 时，系数总数为195 个；（cosθ）为n 阶m 次的缔合Legendre 函数。球冠谐系数（cosθ）的数学表达式为

式中：Kmax为球冠谐分析的截断阶数；X，Y，Z 分别为地磁场的北向分量、东向分量和垂直分量。

根据以上公式，并结合IGRF13 的相关系数，可以得到一个自建的全球地磁场模型，并将某一个点的地理坐标、距离地面的高度数据和时间信息带入到地磁场模型中，从而计算出地磁场的各个分量信息。

这样，通过多次代入相关区域的坐标信息，就可以得到多个散点处的地磁分量信息。 利用这些散点信息，就可以将试验区域内的各坐标点所对应的地磁场各分量绘制成地磁基准图。 为了以后与地磁传感器测量得到的实时图进行匹配做好导航，可以把地磁基准图预先分配一个储存区，并将根据地磁传感器测量得到的实时值所绘制的实时图，在匹配算法模块中，与预先存储在导航系统中的地磁基准图不断进行匹配。 地磁基准图生成如图2 所示。

图2 地磁基准图计算流程Fig.2 Calculation flow chart of geomagnetic reference map

1.2 模型的准确性分析

在线WMM 2020 模型由美国国家海洋和大气管理局（NOAA）提供，主要预测2020—2024 年5 年间地磁场主成分的变化。

在此，利用在线WMM 2020 模型数据与自建模型进行比较，分析自建模型的准确性。 2 组模型的地磁总分量F 和地向分量Z 的图像对比如图3，图4所示，日期为2020 年1 月1 日，区域为经度110°E～112°E，纬度10°N～12°N，离散点间隔为0.1°，海拔0 m。

图3 地磁总量F 分布图Fig.3 Distribution map of total geomagnetism F

图4 地向分量Z 分布图Fig.4 Distribution map of ground component Z

由图可见自建模型与在线WMM 2020 模型的仿真图像变化趋势较为一致。

在此从数值的角度来分析自建模型与在线WMM 2020 模型的相关性，设定以下指标作为模型准确性的参考：

1）均值 为反映数据集中趋势的一项指标。 其计算公式为

式中：aij为m×n 的矩阵A 中的值。

2）标准差 主要强调组内个体间的离散程度。其具体的计算公式为

3）皮尔逊相关系数

相关系数是反映变量之间相关关系密切程度的统计指标。 着重研究线性的单相关系数，取值范围在［-1，+1］之间。 对于相关系数的大小所表示的意义，目前在统计学界尚不一致，但通常是按表1认为的。

表1 相关系数与相关程度的关系Tab.1 Relationship between correlation coefficient and correlation degree

对于具有相同维度的矩阵A 和B，皮尔逊给出二维相关系数分析，计算公式为

将经度110°E～112°E，纬度10°N～12°N，步长为0.1°，网格数为21×21，海拔0 m 的南海某区域的地磁场信息，与在线网站地磁计算器上的数据进行比较，以验证自建模型的准确性。 自建模型、在线数据的均值和标准差分别见表2，表3；自建模型与在线WMM 2020 模型的相关度见表4。

表2 自建模型各分量均值和标准差Tab.2 Mean value and standard deviation of each component of self built model

表3 在线WMM 2020 各分量均值和标准差Tab.3 Mean value and standard deviation of each component of online WMM 2020

表4 自建模型与在线WMM 2020 各分量相关系数Tab.4 Correlation coefficient between self-built model and online WMM 2020

在选定的试验区域内，相同点的各地磁分量的最小差和最大差见表5。

表5 自建模型与在线WMM 2020 模型的极差Tab.5 Range between self-built model and online WMM 2020

由表2 和表3 可知，在选定试验区域内，自建模型与WMM 2020 模型的均值和标准差较为接近，表明自建模型与在线WMM 2020 模型在试验区域内的分布较为一致。 由表4 可知，自建模型与在线WMM 2020 模型高度相关， 具有很强的正相关性。由表5 可知在试验范围内自建模型与在线WMM 2020 模型偏差较小。

为了更准确地分析自建模型与在线WMM 2020 模型的差别， 定义了均值偏差ηE和标准差偏差ησ这2 个指标。 其数值的计算方法为

地磁各分量偏差值计算结果见表6。

表6 自建模型与在线WMM 2020 模型的均值偏差与标准差偏差Tab.6 Mean deviation and standard deviation between self-built model and online WMM 2020

由表6 可知， 以在线模型为标准作为参考，自建模型的均值和标准差与在线模型的数据相当接近；均值偏差百分比最大的地磁分量为地向分量Z，为2.346%；标准差偏差值百分比最大的地磁分量为北向分量X，为1.688%；各分量的相关系数均大于0.999，证明所选区域的自建模型与在线WMM 2020模型有很强的正相关。

综上分析，通过图像和数据都验证了自建模型与在线WMM 2020 模型十分相似，从而验证了自建模型的准确性。

2 地磁场分量分析

因为地磁基准图的特征信息决定了后续设计地磁匹配的方法，并且特征信息对地磁匹配概率、定位精度等有关指标具有较大影响，所以需要对影响地磁基准图匹配性能的特征信息进行综合分析[12-13]。

在地磁匹配中，匹配特征量的选择是指：考虑地磁场特征量在较长时间内变化的稳定程度、短期时间内变化的影响程度、地磁特征量与地理坐标位置的相关程度和相关特征，以及现有地磁传感器的性能指标等因素，从7 个地磁场分量中选取某一个特征量或者多个特征量作为地磁基准图匹配时特征量。

据此，在选择匹配特征量时应重点考虑：准则1地磁特征量在较长时期内（如1a）的稳定程度；准则2地磁特征量受到短期变化（如磁暴等）的影响程度；准则3地磁特征量的变化与地理位置的相关程度；准则4地磁测量设备的测量精度；准则5匹配区域的特征信息。作为匹配准则，准则3—准则5 是进行地磁匹配的关键， 准则1 和准则2 是为提高地磁匹配的概率和精度而采取的细化措施。

首先，在所有的地磁特征量中，当匹配探测区域位于地磁场南北极或者地磁赤道附近时，磁偏角D 和磁倾角I 的变化才比较明显[14-15]。根据特征量选择的准则3 和准则4，应先排除选取磁偏角D 和磁倾角I 这2 个角度类特征量，然后从5 个强度类特征量中选取匹配特征量。

在此所选取的研究对象为位于我国南海10°～12°N，110°～120°E 的区域， 以0.1°为间隔的21×21的网格区域。 试验数据均为海拔高为0 m 的地磁数据。 在网格区域内，分别沿西-东、南-北、西南-东北、西北-东南4 个方向，依据自建模型的相关数据计算各点的地磁分量（F，H，X，Y，Z），并进行比较分析。 在此匹配特征量的选择结果是适用于试验中的具体区域的。

由于数据均为相邻变化值，为便于分析，所有数值均取其绝对值，单位为nT。 依据自建模型4 个方向相邻坐标的地磁各分量变化情况如图5 所示。

图5 四个方向上各分量的变化Fig.5 Variation of components in four directions

由图5 可见，在所研究的10°～12°N，110°～120°E低纬度区域内，除了在南-北方向上特征量F，H 和X 的相邻点的地磁差值大致相同外， 在其余3 个方向上特征量Z 的相邻点的地磁差值明显高于其它特征量。根据特征量选取准则3，在试验区域内可以选择特征量Z 作为地磁匹配的特征量（接近南-北方向上，也可选择F 作为匹配特征量）。 若将经纬度信息转化为地理距离信息， 在10°～12°N，110°～120°E区域0.1°的间隔可粗略换算为11 km， 以Z 分量的地磁变化差值计算， 西-东方向上的地磁变化率约为16 nT/km，西南-东北和西北-东南方向上的地磁变化率约为11 nT/km，而常用的磁通门传感器的精度为0.1 nT， 可以得知在较小范围内Z 分量的地磁变化可以被探测到，证明了在试验区域内选择Z 分量作为特征量的可靠性。

经过验证，在此所选定的区域内，以不同的经纬度间隔或者以在线WMM 2020 模型为基础进行研究时，得到的结论依然相同。 （因篇幅有限，不再列出相关试验数据表格和图像）

通过分析各纬度区域的地磁数据，得出以下结论：①高纬度地区 在西-东方向上，Y 分量变化明显；在南-北方向上，H 分量变化明显。 ②中纬度地区 在西-东方向和南-北方向上，Z 分量变化明显。③低纬度地区 在西-东方向上，Z 分量变化明显；在南-北方向上，F，H 和X 分量变化较大。

3 结语

在此主要分析了地磁场模型的建立与准确度，分析了适用于地磁匹配的地磁特征量。 在分析自建模型与在线WMM 2020 模型的相似程度方面，主要引入了均值、标准差和皮尔逊相关系数3 个参考指标，定义了均值偏差量和标准值偏差量2 个指标，更深入地分析了自建模型与在线WMM 2020 模型的相似程度。 结果证明了自建模型与在线WMM 2020模型具有高度正相关性。 因此在研究地磁匹配时，将自建模型与在线WMM 2020 模型作为基本场均具可行性。 在分析适用于地磁匹配的地磁特征量时， 主要考虑了地磁场的梯度变化这一特征，分析了高、中、低纬度的地磁特征量变化，并得到初步结论。