基于改进条件边缘乘积法的桥梁系统地震易损性分析方法

冯 煜

(中铁第一勘察设计院集团有限公司，陕西 西安 710043)

0 引言

桥梁是由多种不同类型的构件按照一定的逻辑关系组成的复杂结构系统。有研究表明[1]，在对桥梁进行易损性分析时，采用构件易损性曲线并不能准确反映桥梁作为一个系统整体的抗震性能。事实上，当地震发生时，桥梁系统中不同类型的构件相互作用，往往会增大桥梁整体的失效概率，以往采用单一构件易损性曲线来代表整体易损性往往会高估桥梁抗震性能。因此，从结构抗震安全角度出发，开展桥梁系统易损性研究十分必要。

目前，各国学者对于桥梁结构系统易损性方面做了大量研究。Choi等[2-3]采用一阶界限法对算例桥梁进行桥梁系统易损性分析，然而，由于该算法计算原理的缺陷，导致得到的系统易损性曲线区间过宽，不具备一定的工程实用价值。Pan等[4]和李立峰等[5]在研究桥梁地震易损性时，采用近似的二阶界限法建立了桥梁的系统易损性曲线。二阶界限法由于考虑了桥梁不同类型构件失效模式间的相关性，较一阶界限法更能准确预测桥梁系统失效概率。Shinozuka等[6]利用震后桥梁损伤数据，采用极大似然估计法形成了桥梁系统易损性曲线。Gardoni等[7]利用现有的模型和实测数据，提出一种基于构件概率地震需求模型的贝叶斯方法，结合桥墩承载力模型来评估系统易损性。钟剑等[8]提出了利用蒙特卡洛法，同时考虑各构件地震响应相关系的桥梁系统易损性分析方法。宋帅等[9]考虑了构件地震需求相关性，引入混合Copula函数，提出了桥梁系统易损性分析新方法。

总体而言，对于桥梁系统失效概率的计算方法主要分为两类：区间估计法和点估计法。区间估计法是求出系统失效概率的上、下界，而点估计法是求出系统失效概率具体值。常用的区间估计法包括一阶界限法和二阶界限法；点估计法有直接数值积分法、边界法和近似数值计算法等。然而，对于各种不同系统易损性分析方法在工程使用过程中，仍具有一定限度适用性，如何选择快速、合理、准确建立桥梁系统易损性曲线方法，仍具有一定的研究空间。

因此，本研究以一座国内常见的中小跨径预应力混凝土连续梁为研究对象，首先采用OpenSees软件建立有限元模型；然后根据桥梁所处的场地类型，随机选取100条地震波，建立了构件(桥墩和支座)易损性曲线；分别采用区间估计法、改进的条件边缘乘积法建立了算例桥梁系统易损性曲线。将两种不同方法形成的桥梁系统易损性曲线进行对比，显示出改进的条件边缘乘积法的优越性。

1 系统易损性分析方法

桥梁作为一个大型结构来说，由于其构造的复杂性，想要准确获取其系统失效概率往往是不可能的。工程中，常用的做法是将其简化成易于分析的并联体系、串联体系和混联体系。而在以往的桥梁系统易损性分析中，将桥梁系统简化为串联体系。虽然从结构力学角度看，这种假定不合理，但是从桥梁使用功能角度以及实际产生的后果来看，是合理的。因此，本研究在对算例桥梁进行系统易损性分析时，采用串联体系模型。

1.1 区间估计法

(1)一阶界限法

1967年Cornell[10]提出的串联体系结构失效概率：

(1)

式中，Psys为结构系统失效概率；Pi为第i个构件失效概率；n为失效模式数。由此可以看出，一阶界限法不考虑构件失效模式间的相关性，保守地将系统中所有构件失效和某一构件失效概率最大值分别作为上限值和下限值。

(2)二阶界限法

为了弥补一阶界限法的不足，Ditlevsen等[11]在1979年提出了二阶界限估计法，如式(2)所示：

(2)

式中，P1为单个构件失效概率；Pi为第i个构件失效概率；Pij为第i个和第j个构件同时失效的概率，可用Pij=Pr(Fi∩Fj)表示。与一阶界限法相比，二阶界限法考虑结构系统不同失效模式间的相关性，得到的上、下界区间较窄。值得注意的是，有研究表明[12]，构件失效模式排列对于系统失效概率有较大影响，为了尽可能缩小区间范围，建议按照构件失效概率由大到小的顺序进行排列即可。

1.2 条件边缘乘积法(PCM法)

目前，对于结构系统可靠性分析，往往采用一阶可靠度方法的基本原理来进行，其核心为对多维正态积分Φn(β,ρ)的求解，其表达式如下：

(3)

式中，n为失效模式数；βi为第i个失效模式对应的可靠度指标，i=(1,…,n)；ρ=[ρij]n×n为失效模式相关系数矩阵；y为n维相关的标准正态随机向量。

目前，对于Φn(β,ρ)的求解主要有直接数值积分法、边界法和近似法。直接积分法的计算精度最高，但是当失效模式大于5时[13]，计算效率很低；边界法由于原理简单在实际工程中运用较多，但遇到失效模式较多且不同模式间相关性较强时，得不到合理的区间范围，且不适用于并联体系[14-15]。条件边缘乘积法(PCM法)作为近似法的一种，由于其计算精度较高，且易于实施等特点，非常适合在工程中运用。

PCM法由Pandey基于条件概率理论的基本思想提出，计算表达式如下：

P(X1≤β1)≈Φ[βn|(n-1)]×Φ[β(n-1)|(n-2)]×…×

(4)

式中,βk|(k-1)为条件正态分位数。在计算过程中，每计算一次将获得新的条件正态分位数βi|k和相关系数矩阵ρij|k，作为下一步计算输入，其表达式如下：

(5)

(6)

式中，k=1,…,n-1;i,j=k+1,…,n；Ak|(k-1)和Bk|(k-1)可由式(7)～(8)计算：

Ak|(k-1)=φ(βk|(k-1))/Φ(βk|(k-1))，

(7)

Bk|(k-1)=Ak|(k-1)[βk|(k-1)+Ak|(k-1)]。

(8)

在完成(n-1)次计算后，利用式(4)即可得到的Φn(β,ρ)计算结果，即完成PCM法的计算流程。

1.3 改进的条件边缘乘积法(Improved PCM Method)

从PCM法计算流程中不难发现，若构件可靠度指标βk|(k-1)较大时，Φ(βk|(k-1))趋于0且Φ(βk|(k-1))趋于1，那么Ak|(k-1)和Bk|(k-1)趋于0。导致Φn(β，ρ)≈Φ(βn)×Φ(βn-1)×…×Φ(β1)，即当构件可靠度指标较大时，Φn(β,ρ)近似解可按不考虑构件失效模式间的相关性进行计算。从而导致高估结构系统失效概率。因此，为提高PCM法的计算精度，Yuan和Pandey对条件正态分位数βi|k计算方法进行改进[16]：

βi|k=Φ-1

(9)

Φ[-βi|(k-1),-βk(k-1);ρik|(k-1)]≈Φ(ci|k)Φ(ck|(k-1))，

(10)

ci|k=[-βi|(k-1)+ρik|(k-1)Dk|(k-1)]/

(11)

Dk|(k-1)=Φ[ck|(k-1)]/Φ[ck|(k-1)]，

(12)

ck|(k-1)=-βk(k-1)。

(13)

式(9)～(13)即改进的条件边缘乘积法的计算流程。通过利用Matlab编制计算程序即可得到结构系统失效概率。

2 有限元模型

本算例选择国内常见多跨预应力混凝土连续T梁，跨径布置3×30 m，桥面宽8 m，梁高2 m，上部结构如图1所示。桥墩为双柱式圆墩，墩径为1.5 m，墩高12.5 m，采用HRB335钢筋，截面纵向配筋率为0.8%，配箍率0.4%。主梁采用C50混凝土，桥墩采用C40混凝土。连续墩采用板式橡胶支座其规格为GJZ250×350×63，橡胶层厚度为50 mm；过渡墩处支座采用聚四氟滑板支座。桥位所处场地为Ⅱ类，抗震设防烈度为8度，设计地震分组为第1组，设计基本地震加速度为0.2g。

本研究采用OpenSees建立有限元分析模型，根据文献[5]，算例桥梁上部结构采用弹性梁单元模拟，桥墩采用弹塑性纤维单元模拟，自重及二期恒载以附加质量形式均布在弹性梁单元上；算例桥梁中，混凝土本构模型采用Kent-Scott-Park 应力-应变关系；钢筋采用Giuffre-Menegotto-Pinto 模型；支座采用Elastomeric Bearing单元模拟。需要指出的是，算例桥梁基础位于坚实的基岩之上，为简化分析，本算例不考虑桩土效应，假定墩底固结。桥型布置图及力学模型如图1所示。

图1 桥型布置及力学模型(单位：m)Fig.1 Layout of bridge type and mechanical model (unit: m)

3 地震动选择

本研究根据算例桥梁所处的场地类型，以及抗震设计要求，同时以20 km断层距作为区分远场和近场界限[17]，从PEER强震数据库中选取了50条远场地震波，地震动反应谱特性如图2所示。对于地震动强度指标的选择，本研究选择地震峰值加速度(PGA)，为了使地震动输入样本覆盖更广，对50条地震波进行调幅处理，调幅后的50条地震波频数分布如图3所示。为简化分析，仅研究桥梁在纵向地震作用下桥梁结构响应。

图2 50条未调幅地震动反应谱特性Fig.2 Response spectra characteristics of 50 unmodulated ground motions

图3 50条地震动峰值加速度分布Fig.3 Distribution of 50 peak ground accelerations (PGA) of ground motions

4 桥梁系统易损性分析

4.1 易损性基本理论

地震易损性是指结构在不同强度地震作用下，发生某一特定损伤时的超越概率，采用式(14)表示：

(14)

式中，Sd为结构需求；Sc为结构能力；IM为地震动参数(PGA)。

根据相关研究表明[18]，结构地震需求和能力均服从对数正态分布，如式(15)所示：

ln(Sd)=lna+bln(IM)，

(15)

式中，a,b为回归常数，可通过最小二乘回归分析得到。结合式(14)可得易损性函数：

(16)

4.2 桥梁构件损伤指标的确定

易损性分析中，通常将结构破坏过程用4种状态来描述：轻微损伤、中等损伤、严重损伤和完全破坏。本研究根据相关文献研究成果[5]，考虑了桥墩、板式橡胶支座和聚四氟滑板支座的损伤，损伤指标分别采用墩柱相对位移延性比、位移延性比和相对位移来表示，如表1所示。

表1 桥梁构件损伤指标Tab.1 Damage indicators of bridge components

4.3 桥梁构件易损性曲线

本研究采用OpenSees对算例桥梁进行50次非线性时程分析，记录相关构件的地震响应。根据式(15)回归出各个构件概率地震需求模型(PSDM)，同时根据式(16)形成构件易损性曲线。

由图4可知，不同类型的桥梁构件在4种损伤状态中，其失效概率不同程度上随地震动强度参数PGA的增大而增大。与桥墩结构相比，支座在地震作用下更容易遭到破坏，尤其是聚四氟滑动支座，板式橡胶支座介于桥墩与聚四氟滑动支座之间。

图4 桥梁构件易损性曲线Fig.4 Vulnerability curves of bridge components

4.4 桥梁系统易损性曲线

本研究采用串联模型进行分析，即桥梁系统中的任一构件在地震作用下发生某种损伤状态时，即认为桥梁系统同样发生相同等级的损伤破坏。因此，串联模型中的各结构构件重要性权重相同。基于前文桥梁构件易损性分析结果，本研究采用改进的条件边缘乘积法对算例桥梁进行系统易损性分析。

图5为改进条件边缘乘积法形成的桥梁系统易损性曲线，为了对比区间估计法，也一并绘于同一图中。

图5 桥梁系统易损性曲线Fig.5 Vulnerability curves of bridge system

通过将图5与图4进行对比发现，桥梁系统失效概率高于单一构件失效概率，由此可以看出，以往的以单一构件易损性来评估桥梁抗震性能是不合适的。采用一阶界限法得到的桥梁系统易损性曲线区间较大，从而无法准确给出桥梁系统失效概率；二阶界限估计法，考虑了桥梁构件间失效模式的相关性，可以进一步缩小失效概率区间的范围，但是有研究表明[19]，采用该方法计算结构系统失效概率，得到的系统失效概率易受到各失效模式排列顺序以及相关性的影响。本研究采用二阶界限法时，按图4中桥梁构件失效概率从大到小的顺序排列，与一阶界限法相比，失效概率区间小了很多，但是这种方法计算十分不稳定，常常会出现二阶下限失效概率比一阶下限失效概率还要低的情况。

本研究采用的改进条件边缘乘积法形成的桥梁系统易损性曲线介于区间估计法的上、下界之间，同时由于考虑了桥梁系统各构件间失效模式间的相关性，本研究采用的方法更靠近一阶界限法下界和二阶界限法的上界，与二阶界限法形成的系统易损性曲线相比，该法更加稳定，因此，采用改进条件边缘乘积法建立的桥梁系统易损性曲线是准确的，可以在工程中推广运用。

5 结论

本研究以1座三跨预应力混凝土有连续T梁桥为例，采用改进条件边缘乘积法进行了桥梁系统易损性分析，主要得到以下结论：

(1)工程中常用的区间估计法与PCM法都是基于构件易损性曲线来建立结构系统易损性曲线。

(2)在同一地震动强度下，桥梁系统高于单一构件失效概率；区间估计法由于概念简单，实施方便，被广泛地运用，但是由于一阶界限法得到的区间范围较大以及二阶界限法计算结果不稳定等原因，给实际工程运用带来困扰。

(3)本研究采用的改进条件边缘乘积法，由于较好的计算精度以及稳定性，适用于不同结构类型，无需考虑多种失效模式排列顺序及各相关系数的大小，因此适合在考虑多种失效模式下的桥梁系统易损性分析。