二自由度电液振动台冲击波形再现控制算法研究

吴智睿， 关广丰， 熊 伟， 王海涛

(大连海事大学 船舶与海洋工程学院， 辽宁 大连 116000)

引言

冲击是一种确定性、非周期性的瞬态振动，例如飞机的着陆、导弹的发射、电子设备的偶然掉落、汽车的碰撞等[1]，其危害尤为突出。对试件进行冲击测试是可靠性试验的重要组成部分。

电液振动台是大型结构件进行冲击振动环境模拟的关键设备。控制系统是多轴电液振动台的核心技术。电液振动台控制系统由伺服控制和振动控制组成，伺服控制系统用于实现振动台加速度控制,提高系统阻尼，改善系统的稳定性，提高系统频宽。 常用的伺服控制技术包括三状态控制、自适应控制和自抗扰控制等[2]。但伺服控制无法使系统幅频特性稳定在0线上,因而对于冲击振动这种短时瞬态的振动，无法精确地再现冲击波。

振动控制系统通过迭代方法修正伺服系统的驱动信号，减小响应信号与参考信号之间的偏差。20世纪70年代到90年代初，美国Sandia国家实验室SMALLWOOD的团队[3-4]全面阐述了振动控制的理论和算法，提出了冲击响应谱(SRS)的迭代计算方法，并且还给出了驱动信号的反馈修正算法。随后美国Synergistic Technology Incorporated(STI)公司用数字系统完善了多激励器的正弦、随机、冲击等振动试验控制系统[5]；UNDERWOOD等[6]提出采用自适应控制算法进行正弦振动模拟实验。STEWART等[7-8]利用单轴电液振动台进行了爆炸冲击模拟试验。但这一时期的振动台控制系统主要采用离线迭代的控制方法，离线迭代采用的是牛顿算法，牛顿算法需要实时计算阻抗的逆，但系统阻抗是实时变化的，所以无法跟踪系统频率特性的变化，导致系统控制精度不够。

为提高多自由度冲击波再现控制精度，本研究在传统的多轴波形再现算法基础上提出基于BFGS算法的优化算法的多自由度冲击波形再现控制方法。BFGS算法是拟牛顿法的一种，是BROYDEN、FLETCHER、GOLDFARB、SHANNO 4位学者所研究，并以名字首字母命名的，是用正定矩阵替代牛顿法中的海森矩阵的方法。本研究首先简介二自由度电液振动台系统，然后给出了BFGS算法的基本原理，并推导基于BFGS算法的驱动谱迭代公式，设计波形再现控制算法。最后，通过仿真结果验证基于BFGS算法的波形再现控制算法的有效性。

1 二自由度电液振动台简介

本研究的二自由度电液振动台结构示意图如图1所示。4个液压激振器作为驱动件通过上下虎克铰支座分别与振动台的上下平台连接，上平台通过大虎克铰与支座相连，上平台可绕大虎克铰中心做二自由度转动，分别是绕x轴的rx自由度和绕y轴的ry自由度。

图1 二自由度电液振动台结构示意图

振动台具体结构尺寸及元件参数，可参考文献[9]。文献[10]详细介绍了图1所示两轴电液振动台的伺服控制系统及其实现方式。

2 波形再现控制系统设计

波形再现控制系统的原理是根据系统的频率特性，对输入信号进行循环补偿校正，最终使系统输出的响应信号与参考信号在一定误差允许范围内。

设系统输入的时域信号为D(t)，输出的时域信号为C(t)，频响函数为H(f)；D(t)经傅里叶变换转化为频域驱动谱D(f)；C(t)经傅里叶变换转化为频域响应频谱C(f)，C(f)=H(f)D(f)；参考信号为R(t)；R(t)经傅里叶变换转化为频域参考谱R(f)；误差谱为E(f)，E(f)=R(f)-C(f)；阻抗为Z(f)，Z(f)=H-1(f)。

传统波形再现控制算法中驱动谱D(f)的迭代公式为：

Dn+1(f)=Dn(f)+βZ(f)(R(f)-Cn(f))

(1)

式中，β—— 修正系数，无量纲

Dn(f) —— 迭代第n次的驱动谱

n—— 迭代次数

式中，Z(f)由H(f)初值确定， 在迭代过程中并不更新。实际系统中，频响函数是一直在变化的，所以利用上述驱动谱更新公式来控制系统，会出现较大误差，多次迭代后更会出现直接发散的情况。

基于拟牛顿方法实时更新系统阻抗，有利于提高波形再现的控制精度。波形再现的目标是使得系统响应谱与参考谱之间的误差谱尽可能小。可以以此设定目标函数，其中驱动谱D(f)为自变量。

F[D(f)]=||R(f)-H(f)D(f)||2

(2)

根据牛顿法推导出系统驱动迭代公式为[11]：

Dn+1(f)=Dn(f)+βTn(f)(R(f)-Cn(f))

(3)

式中，Tn(f)为广义阻抗。对比式(1)和式(3)可知，Tn(f)代替了传统阻抗Z(f)。利用BFGS拟牛顿算法对Tn(f)进行迭代更新。BFGS算法迭代公式为[12]:

(4)

式中，Bn，Bn+1分别表示第n次和第n+1次迭代矩阵；Sn为迭代步长；Yn为梯度差。文献[13]证明了BFGS算法具有全局收敛性。二自由度电液振动台系统是非线性系统，对于非线性系统，BFGS算法局部超线性收敛。

(5)

(6)

式中，I为单位矩阵。由于本系统中涉及迭代的矩阵中含有复数，所以只需将算法里的迭代公式中的转置换成共轭转置。

将Tn(f)带入式(6)中可得到Tn(f)的迭代公式为:

(7)

式中,Sn=Dn+1(f)-Dn(f)

3 仿真模型搭建

图2所示为冲击波形再现优化算法模型。其中“Tn(f)迭代”模块用于实现式(7)；“驱动谱迭代”模块用于实现式(3)；FFT表示傅里叶变换；IFFT表示逆傅里叶变换。“伺服控制系统”模块参考文献[10]。

图2 冲击波形再现控制优化算法模型

4 仿真分析

4.1 仿真参数

通过rx和ry二自由度的冲击波再现仿真，检验BFGS算法的有效性。rx和ry二自由度参考冲击波形加速度如式(8)所示：

(8)

分别采用传统的波形再现控制方法和基于BFGS的优化算法进行冲击波再现。参考冲击波峰值加速度为1 rad/s2，脉冲宽度为50 ms，缓冲波形最大加速度为0.2 rad/s2，缓冲带宽度为两侧各100 ms。

4.2 冲击波再现控制算法指标分析

BFGS算法是自适应算法的一种，其优点是不用手动调节许多参数，跟迭代算法一样，其精度受算法本身的收敛性和收敛速度影响。冲击试验时系统频率特性发生变化，频率特性变化速度大小会影响系统跟踪误差，系统频率特性变化要比算法收敛速度慢，算法的收敛速度越快，收敛精度越高，系统的跟踪误差就越小。

常用的波形再现误差计算公式为[10]：

(9)

由式(9)可知，e值越小，波形再现的效果越好。

除式(9)所示峰值误差外，对于冲击波形，文献[14]给出一种专用于冲击波再现控制的指标。对于单轴试验系统，冲击波形在其主要冲击波时间段内，确保系统的真实响应波形控制在参考波形的±20%容差限内；对于多轴试验系统，可参考单轴试验系统。

本研究同时采用上述两个指标，衡量冲击波再现控制精度。

4.3 仿真结果

分别给出仅采用伺服控制算法、传统波形再现算法和基于BFGS算法的波形再现控制算法三种情况下的冲击波再现曲线。

对负载进行冲击试验时，一般要求负载在规定的冲击曲线容差限内进行有限的冲击次数。每次冲击试验的曲线效果类似，研究仅需给出典型的1个周期冲击波形即可。为了显示清晰，只选取波形在3.8～4.3 s内的波形再现仿真结果。

图3所示为仅采用伺服控制仿真曲线，响应波形在大部分时段超出了参考波形±20%容差限。rx自由度最大误差为81%，ry自由度最大误差为30%。可知，仅采用伺服控制，无法实现参考冲击波的高精度再现。

图3 仅采用伺服控制时冲击波再现曲线

为了验证BFGS波形再现算法的有效性，利用增益突变，模拟实际系统在冲击测试中出现的频率特性改变。在第4次迭代后调节系统增益，rx自由度增益由1.2变为1.5；ry自由度增益由0.4变为0.5。图4和图5所示为第3次迭代后，传统算法和BFGS优化算法仿真曲线，传统算法大部分时间段在容差限内，而BFGS算法全部时间段在容差限内；图6和图7为第25次迭代后，传统算法和BFGS优化算法仿真曲线，传统算法响应超出了容差限，BFGS算法响应在容差限内; 表1给出了图4～图7仿真曲线中冲击波再现的最大误差值。由表1可知，传统算法在系统发生突变前后的误差较BFGS算法的误差都大，25次迭代后，传统算法出现很大误差，BFGS优化算法误差较小，满足±20%容差限冲击试验标准。

图4 传统算法第3次迭代后波形再现曲线

图5 BFGS算法第3次迭代后波形再现曲线

图6 传统算法第25次迭代后波形再现曲线

图7 BFGS算法第25次迭代后波形再现曲线

表1 rx, ry自由度冲击波形时域最大误差

图8所示为系统时域波形振幅最大误差。第4次迭代后系统增益发生突变，传统算法中rx自由度和ry自由度误差都在15次迭代后大于150%，且还有不断上升的趋势，系统趋于发散；而BFGS算法在突变之后，rx自由度和ry自由度误差虽有所增加，但都控制在参考波形的±20%容差限之内，驱动信号收敛，算法具有良好的稳定性。

图8 时域波形振幅最大误差

5 结论

针对传统控制方法受负载特性变化等因素的影响不能保证参考冲击波形的再现精度，提出了基于BFGS算法的波形再现控制策略，实时更新时变系统的广义阻抗。

基于MATLAB/Simulink平台建立二自由度电液振动台的模型，设计BFGS算法的波形再现控制器，利用增益突变，模拟实际系统频率特性的变化，测试BFGS算法有效性。仿真结果表明,BFGS算法可有效的提升系统冲击波形再现的控制精度。

本研究提出的算法不仅适用于二自由度冲击波再现系统，亦可推广应用于多自由度随机波形再现控制系统。