测定电池的电动势和内阻的实验图像与结果分析

魏 明

(贵州师范学院物理与电子科学学院，贵州 贵阳 550018)

1 实验模型与思路

测定电池的电动势和内阻作为物理实验中最重要的电学实验之一，是实验教学的重点与难点。该实验蕴含了闭合电路欧姆定律的应用以及电流表、电压表内阻对实验结果影响的分析，学生在学习中面对实际的实验问题与情景时，往往表现出不懂得如何进行实验误差分析、实验仪器选择与实验思路方法设计，尤其是不理解几种常见的实验思路方法之间的区别与联系，不理解在具体的实验中该如何选择。目前，一些物理教师为了提高实验教学效果做了许多探讨[1-2]，提出了“解析法”“图解法”“等效电源法”[3]“函数法”[4]“待定系数法”[5]等误差分析方法，有助于学生对该实验的理解。本文将在此基础上，全面系统深入地分析实验图像及其产生误差的原因，并从相对误差的角度深入分析几种常见实验思路方法的科学性、可行性以及彼此之间的联系和区别，以期学生能真正理解并根据实际实验情景正确选择实验仪器、设计实验思路，分析实验图像与结果。

从实验思路来看，该实验根据闭合电路的欧姆定律，通过改变电路中的电路元件及其连接方式，采用实验图像的形式分析和测量电池的电动势及内阻[6]，常见的实验模型如图1至图4所示。

图1 外接法电路图

图4 安阻法电路图

在图1、图2、图3、图4所示实验电路中，通过改变滑动变阻器或电阻箱的阻值从而获得多组电流表与电压表的实验数据，采用闭合电路的欧姆定律，即

图2 内接法电路图

图3 伏阻法电路图

U=-rI+E

(1)

其中U、I为电路的路端电压与干路电流，E、r为电池的电动势和内阻。根据图1、图2中的电压与电流关系，图3中的电压与电阻关系，图4中的电流与电阻关系建立二维坐标系，通过相应的实验图像获得电池的电动势和内阻。

2 实验结果比较与分析

2.1 电压表分流的实验图像与相对误差分析

2.1.1 外接法实验图像分析

在图1所示的外接法实验电路中，电流表相对电源处于电压表的外接之中。假设电源电动势的真实值和测量值分别为E真和E测，内阻的真实值和测量值分别为r真和r测，电压表和电流表的内阻分别为RV和RA。根据闭合电路的欧姆定律，可得电源电动势和内阻的测量值与真实值分别满足

U测=-r测I测+E测

(2)

U真=-r真I真+E真

(3)

根据(2)式函数关系，以电流为横轴、电压为纵轴建立二维坐标系，把电路测得的多组电流与电压数值进行描点作图，可得图5所示的实线图像。在图5中，当电流I测为零，即图1中安培表的示数为零时，电压表测得的电压为U测，根据(2)式可知U测等于E测。

图5 外接法U-I图

很明显，在图1电路图中，电压表的测量值始终为电路的路端电压真实值，即

U测=U真

(4)

由于电压表内阻的分流作用，电流表的测量值I测要小于电路的干路电流I真，即

(5)

因此，在同一电压下，I真要大于I测，并且随着电压U测逐渐减小，ΔI逐渐减小。当U测=0，即外电路短路，包括滑动变阻器、电压表与电流表的内阻都被短路时，ΔI=0，即

I测短=I真短

(6)

因此，可根据(3)(5)(6)式，结合图5中的U测-I测实线图像作出U真-I真虚线图像。

由(2)和(3)式的函数关系可知，图5中的实线图像与虚线图像在纵坐标轴上的截距分别为E测与E真，在横坐标轴上的截距分别为大小相等的I测短与I真短故可通过坐标轴上的截距计算出E测、E真、r测和r真，且大小关系为

E测

(7)

(8)

其中，E测与E真为纵轴上截距，I测短与I真短为横轴上的截距，r测和r真为图像斜率的绝对值。

2.1.2 伏阻法实验图像分析

同样，在图3所示的伏阻实验电路中，假设电源电动势的真实值和测量值分别为E真和E测，内阻的真实值和测量值分别为r真和r测，电压表的内阻为RV，电阻箱的实测电阻为R测，电路中的总外电阻为R真，根据闭合电路欧姆定律可得

(9)

(10)

分别对(9)式和(10)式进行数学变换可得

(11)

(12)

图图

同理，在图3电路图中，电压表的测量值U测始终等于电路的路端电压真实值U真，即

U测=U真

(13)

由于电压表内阻的分流作用，流过电阻箱电阻中的电流要小于电路中的干路电流，即

(14)

(15)

E测

(16)

r测

(17)

2.1.3 电压表分流产生的相对误差分析

从上述分析可知，通过图1、图3电路图测得的电流电压值作出的图5、图6所示图像可以得到电池电动势和内阻，充分说明了这种思路方法是可行的。但是这种思路方法是否科学、可靠，显然还需加以论证。倘若(7)(8)(16)和(17)式的测量值要比真实值小得太多，纵然这种思路方法可行也是不可取的。因此，可以通过推证E测和r测的相对误差来加以论证和分析。

把(4)和(5)式带入(3)式，(13)和(15)式代入(12)式分别可得

(18)

(19)

比较(18)式和(2)式，(19)式和(11)式可得到相同的结果，即

(20)

(21)

由(20)和(21)式可以看出，由于外接法和伏阻法都受电压表分流作用的影响，两种方法分别测得的电池电动势和内阻的测量值不仅相同，而且都比真实值要小，同时与通过实验图像得出的(7)式、(8)式、(16)式和(17)式的大小关系一致。如果用δE与δr分别表示电池电动势和内阻测量值的相对误差，则

(22)

显然，要使相对误差很小，就必选满足电池内阻远远小于电压表内阻条件。即

r真≪RV

(23)

一般情况下，由于电池的内阻较电压表的内阻小很多，满足(23)式的关系，故电动势和内阻测量值的相对误差很小，测量值比较可靠，而且电池内阻相对电压表内阻越小，相对误差就越小，若取相对误差小于等于0.1%，则可得

(24)

很明显，实验室常用电池的内阻与电压表的内阻大小关系完全可以满足(24)式，故而用外接法与伏阻测电池电动势和内阻的思路方法不仅可行而且科学可靠。假设在电压表内阻RV已知情况下，还可以根据(20)和(21)式，得出通过图5、图6中真实值的虚线图像计算出的r真和E真，即

(25)

(26)

因此，在电压表外阻RV已知情况下，采用外接法和伏阻法测定电池的电动势和内阻，既可根据图5、图6测量值的实线图像，通过(25)式和(26)式求出E真和r真，又可直接根据图5、图6真实值的虚线图像求出E真和r真。

2.2 电流表分压的实验图像与相对误差分析

2.2.1 内接法实验图像分析

在图2所示的内接法实验电路中，电流表相对滑动变阻器处于电压表的内接之中。同样假设电源电动势的真实值和测量值分别为E真和E测，内阻的真实值和测量值分别为r真和r测，电压表和电流表的内阻分别为RV和RA。同样根据闭合电路的欧姆定律可得与(2)式和(3)式一样结果，即

U测=-r测I测+E测

(27)

U真=-r真I真+E真

(28)

根据(27)式函数关系，同样以电流为横轴、电压为纵轴建立二维坐标系，把电路测得的多组电流电压数值进行描点作图，可得图7所示的实线图像。在图7中，当电流I测为零，即图2中安培表的示数为零时，电压表测得的电压为U测，根据(27)式可知U测等于E测。

图7 内接法U-I图

很明显，在图2电路图中，电流表的测量值始终为电路的干路电流真实值，即

I测=I真

(29)

由于电流表内阻的分压作用，电压表的测量值U测要小于电路的路端电压U真，即

ΔU=U真-U测=UA=I测RA

(30)

因此，在同一电流下，U真要大于U测，并且随着电流I测逐渐减小时，ΔU逐渐减小。当I测=0时，ΔU=0，即外电路断路时，电流表内阻和电池内阻上都没有分压，再结合(27)和(28)式得

E测=E真

(31)

因此，可根据(28)(30)(31)式，结合图7中的U测-I测实线图像作出U真-I真虚线图像。

由(27)和(28)式的函数关系可知，图7中的实线图像与虚线图像在纵坐标轴上的截距为大小相等的E测与E真，在横坐标轴上的截距分别为I测与I真，故可通过坐标轴上的截距计算出E测、E真、r测和r真，且大小关系为

E测=E真

(32)

(33)

其中，E测与E真为纵轴上截距，I测与I真为横轴上的截距，r测和r真为图像斜率的绝对值。

2.2.2 安阻法实验图像分析

同样，在图4所示的安阻实验电路中，同样假设电源电动势的真实值和测量值分别为E真和E测，内阻的真实值和测量值分别为r真和r测，电流表的内阻为RA，电阻箱的实测电阻为R测，电路中的外电路总电阻为R真，根据闭合电路欧姆定律可得

U测=I测R测=-I测r测+E测

(34)

U真=I真R真=-I真r真+E真

(35)

分别对(34)式和(35)式进行数学变换可得

(36)

(37)

图图

同理，在图4电路图中，电流表的测量值I测始终等于电路的干路电流真实值I真，即

I测=I真

(38)

由于电流表内阻的分压作用，电阻箱电阻两端的电压U测要小于电路中的路端电压U真，即

ΔU=U真-U测=I测(R真-R测)

(39)

因此，在同一电流I下，U真要大于U测，R真要大于R测，且

R真-R测=(RA+R测)-RA=RA

(40)

E测=E真

(41)

r测>r真

(42)

2.2.3 电流表分压产生的相对误差分析

同样，要分析与论证通过图2、图4电路图作出的图7、图8所示得到电池电动势和内阻的思路方法不仅可行而且科学可靠，还需按上述思路进行相对误差推正与分析。

把(29)和(30)式带入(28)式，(38)和(40)式代入(37)式分别可得

U测=-(r真+RA)I测+E真

(43)

(44)

比较(43)式和(27)式，(44)式和(36)式可得到相同的结果，即

r测=RA+r真

(45)

E测=E真

(46)

由(45)和(46)式可以看出，由于内接法和安阻法都受电流表分压作用的影响，其电池内阻的测量值分别相同，都比真实值要大，电动势的测量值分别相同且与真实值相等，同时与通过实验图像得出的(32)(33)(41)和(42)式的大小关系一致。如果同样用δE与δr分别表示电池电动势和内阻测量值的相对误差，则

(47)

(48)

显然，电池电动势的相对误差为零，要使内阻的相对误差也很小，就必须满足电池内阻远远大于电流表内阻的条件。即

r真≫RA

(49)

很明显，实验室常用的电池内阻与电流表的大小关系很难满足(49)式，故采用内接法与安阻法测得的内阻误差比用外接法与伏阻法测得的误差要大很多。如果在误差要求不高的情况下，用内接法与安阻法测量电池的电动势和内阻也是可行的。假设在电流表内阻RA已知情况下，通过图7、图8真实值的虚线图像得出的r真与通过(45)式得出的r真大小相同，即

r真=r测-RA

(50)

因此，在电流表内阻RA已知情况下，采用内接法和安阻法测定电池的电动势和内阻，既可根据图7、图8测量值的实线图求出E真，再结合(50)式求出r真，也可直接根据图7、图8真实值的虚线图像求出E真、r真。

3 结论

为了促进学生深度学习与理解，根据几种常见的实验模型与思路，全面深入地分析了实验图像的内涵与误差本质，并从相对误差的角度比较和分析了这几种常见实验模型与思路方法的本质、区别及其相互间的联系，为学生选择实验仪器、设计实验思路提供了依据。

(1)如果实验的相对误差要求很小，就必须采用图1外接法和图3伏阻法进行实验；如果实验的相对误差要求不是很小，要优先选择图1外接法和图3伏阻法进行实验，但也可以选择图2内接法和图4安阻法进行实验。

(2)采用图1外接法与图3伏阻法进行实验，虽然实验仪器、实验方法和实验图像不尽相同，但实验本质却完全一样，都是由于受到电压表分流的影响，使得通过实验图像测得的实验结果完全相同，即测得的电池内阻大小、电动势大小及其相应的相对误差大小分别相同，且测量值比真实值都要小。因此，在实际的实验情景中，可根据具体的实验仪器、条件与要求选择和设计相应的实验思路与方案。

(3)采用图2内接法与图4安阻法进行实验，虽然实验仪器、实验思路和实验图像不尽相同，但实验本质却完全一样，都是由于受到电流表分压的影响，使得通过实验图像测得的实验结果也完全相同，即测得的电池内阻大小、电动势大小及其相应的相对误差大小分别相同，且电动势的测量值与真实值相等，电池内阻的测量值比真实值要大。因此，在实际的实验情景中，可根据具体的实验仪器、条件与要求选择和设计相应的实验思路与方案。

(4)如果在RV或RA已知的情况下，采用图1外接法、图2内接法、图3伏阻法和图4安阻法进行实验，可通过相应的测量值实线图像作出真实值的虚线图像，从而获得电池的E真和r真；如果在RV或RA未知的情况下，可通过内接法或安阻法对应的图7、图8测量值实线图像求出E测，即可得出E真，因E测等于E真。然后再通过外接法的图5测量值图像求出I测短，因I测短等于I真短，故可利用图5真实值的虚线图像斜率绝对值求出r真。因此，在实际的实验情景中，可根据具体的实验仪器、条件与要求选择和设计相应的实验思路与方案。