硅基超短微转子系统动力学分析和不平衡量试验测量方法研究

(中国航空发动机研究院，北京 101304)

1 引言

基于硅基微加工工艺的超微型燃气轮机具有体积小、质量轻和能量输出密度高等突出优点[1-2]，是一种替代微型化学电池的绝佳微型能源动力装置，具有广阔的军用和民用前景。为获得极高的能量输出密度，超微型燃气轮机的微转子一般需要在几十甚至上百万转每分的超高转速下实现稳定工作，微转子在整个工作转速范围内的动力特性及超高转速下旋转的稳定性，是影响超硅基微型燃气轮机工作性能的重要因素。受微加工工艺、微尺度效应及极端工作特性的影响，硅基微转子系统的动力学特性与常规转子存在较大差异，且常规转子的动平衡方法和不平衡量测量方法对于硅基超短微转子不再适用。因此，完善动力学分析模型开展微转子不平衡动力学分析及不平衡量的测量，对提高超微型燃气轮机的性能和安全性具有重要意义。

受微结构尺度及微转子高温、高转速等工作特性限制，硅基超短微转子一般采用气体轴承支承，因此，微转子不平衡动力学分析中包括微型气体轴承性能分析及其支承下的微转子动力特性分析两部分。国内外学者针对微型气体轴承性能及微转子-气体轴承动力特性的基本分析理论和分析模型的建立开展了大量研究[3-7]，其中大部分研究思路是基于宏观常规气体轴承流体力学和转子动力学分析理论和模型，同时考虑微尺度稀薄气体效应和温度效应等影响对分析模型进行修正，但此类方法分析较为笼统且未充分考虑硅基微转子及其气体轴承的结构特点和性能特点。MIT的Liu等[8]提出一种新的模型来分析微转子-空气轴承系统的动力学特性。该模型能够很直观地分析静压空气轴承的力学特性和微转子系统的动力学特性，如刚度、阻尼、固有频率、不平衡动力学响应及不稳定边界等，为微型空气轴承性能和微转子动力学特性的研究提供理论基础和试验依据，但尚未考虑微尺度稀薄气体效应和温度效应等的影响，需要进一步修正和完善。

受结构和尺度的限制，硅基超短微转子不平衡量的精确测量非常困难。MIT研究人员采用直接分析法和间接测量法两种方法对此类微转子不平衡量进行测量[7，9]。其中，直接分析法是基于硅深刻蚀工艺特性的几何特征的分析评估获得超微转子不平衡量；间接测量法是基于微转子动力学响应特性的不平衡量反推法，通过试验测得微转子超临界稳定偏心位移反推获得微转子不平衡量。另外一种常用的测量超微转子不平衡量的方法是基于共振原理的间接测量法，即通过测量超微转子及其支承系统临界转速下的振动响应值反推计算得到微转子不平衡量[10-11]。以上方法中，MIT的直接分析法严重受限于对工艺特点的知悉和掌控，操作较为复杂且分析精度不高。基于微转子不平衡动力学响应的间接测量法是目前测量超微转子不平衡量的常用方法，但存在以下缺点和难点：①振动偏心位移测量问题——硅基超短微转子轴向长度超小(毫米或微米量级)，难以采用常规的电/光学位移传感器对微转子振动偏心位移进行直接测量。②传感器安装问题——硅基超短微转子及其支承系统尺度微小，结构紧凑，传感器的安装和定位难度大。③振动响应测量的干扰问题——该问题主要针对接触式传感器，其测量的振动响应信号中不可避免地包括有其他环境振动干扰信号，增加了后期振动信号分析处理的复杂度和难度，同时也影响了测量精度。

针对上述问题，本文将超薄气膜润滑理论与Liu的微型气体轴承力学模型相结合，建模分析硅基微转子系统动力学特性，研究微型气体轴承供气特性与微转子动力学特性的内在联系，探讨建立硅基超短微转子不平衡量分析测量的理论和方法。

2 微转子-气体轴承系统不平衡动力学分析模型

2.1 微型静压径向气体轴承力学模型

本文所研究的硅基超短微转子-气体轴承系统的结构如图1所示。其中，微转子半径R、长度L和气体轴承初始间隙h，分别为1 000 μm、100 μm 和10 μm量级。其微型径向气体轴承通道内的气体流动包含由压差所产生的轴向流和切向流，以及由微转子旋转带动所产生的切向流，如图2 所示。由于工作状态的微型气体轴承间隙在1～20 μm 量级，对应的努森数在10-2～10-3量级，轴承微通道内的流动已处于滑移流动状态，且微转子大部分时间处于大偏心工作状态，因此在轴承微通道流动分析中引入Hsia的二阶速度滑移模型[12]，结合微转子-气体轴承的结构特征，分析可得微通道内轴向流和切向流的速度及流量公式。

图1 三层硅片结构的微转子-气体轴承系统横截面示意图Fig.1 Cross section of the micro rotor-bearing system

图2 微型气体轴承通道流动状态示意图Fig.2 Flows in the micro journal bearing

(1)压差导致的轴向流

(2)压差导致的切向流

(3)微转子旋转带动的切向流

式中：u为气体流速，q为气体流量，p为气体压力，μ为气体动力黏度系数，λ为平均分子自由程，ω为微转子转速，z、θ、r分别代表轴向、周向和径向。

微型径向气体轴承的基本结构及参数如图3所示。其中，B为轴承几何中心，O为转子中心，C为转子质心，ε为偏心位移，a为不平衡量，hb0为轴承几何中心与转子中心重合时的轴承初始间隙，hb(θ)=hb0-εcosθ为偏心状态下的轴承间隙。本文所研究的径向静压气体轴承采用中部气缝供气，其横截面形状及尺寸参数如图4 所示。其中，Lf、hf分别为供气通道的长度和宽度，Lb、hb分别为微型气体轴承间隙的长度和宽度。外部气流在0点处以p0压力供入，经供气通道进入轴承间隙形成高压气膜层，最后从轴承上下出气端(4点)流出。

图3 微型径向气体轴承基本结构Fig.3 Typical structure parameters of the micro gas journal bearing

图4 微型径向气体轴承横截面结构示意Fig.4 Cross section of the micro journal bearing

采用Liu 等[8]提出的超短微型静压径向气体轴承分析模型，对微型径向气体轴承的力学性能进行分析。该分析模型将微型气体轴承的作用力分为由外部供给的高压气流所产生的静压力Fhs，由微转子高速旋转带动气流运动产生的动压力Fhd，以及由微转子平动导致的阻尼力Fdp三项。下面分别从微型气体轴承的静压力、动压力和阻尼力的产生原理出发，根据具体的轴承结构及考虑滑移流动的轴承微通道流动特性，推导建立微型径向气体力学分析公式。

式中：q(θ)为外部供气压差产生的单位角度气体流量；p3(θ)为图4中点3处的压力；ρ为气体密度；Δp为轴承的供气压差；γe为入口流动损失系数，对于直角边缘入口流动损失系数为1.5；γt为拐弯流动总压损失系数，取值1.3[13]。

(2)动压力公式

(3)阻尼力矢量表达公式

式中：vε、vβ分别为微转子平动速度vr在图3 中ε和β方向的分量，Cε、Cβ分别为ε和β方向的阻尼系数。

2.2 微转子不平衡动力学响应分析模型

微转子旋转过程中承受的作用力包括不平衡量导致的周期激励力，以及微型气体轴承产生的静压力、动压力和阻尼力(图5)。以微转子为研究对象，建立转子几何中心在旋转坐标系下的动力学方程：

为便于研究，设定旋转坐标系的x轴方向与微转子的偏心ε方向重合，则系统方程中的X可表示为X=ε+x，Y可表示为Y=y，x和y为微转子中心处的不稳定微小扰动量。因此，结合微型气体轴承静压力、动压力、阻尼力的定义和分析，公式(21)可分解出仅包含ε的稳定旋转运动部分：

由于微转子转速等于临界转速ωN时将得到极限偏心位移εp，结合公式(23)可知，当公式右侧第一项为零时可得到极限偏心位移，因而临界转速和极限偏心位移满足以下公式：

图5 微转子受力示意图Fig.5 Forces work on the micro rotor

由此可得临界转速计算公式为：

将式(26)代入式(25)，即可得到不平衡量和极限偏心位移之间的计算关系式：

3 系统供气特性与不平衡动力学响应分析

3.1 微型气体轴承供气特性分析

由公式(8)及相关公式可知，对于确定结构参数的微转子-气体轴承系统，气体轴承的供气流量仅与轴承的供气压差和微转子的偏心位移有关。因此，当轴承的供气压差恒定时，供气流量和微转子偏心位移之间的关系将唯一确定，如图6所示。

图6 气体轴承供气流量与微转子偏心率的对应关系Fig.6 Gas bearing mass flow rate as functions of rotor eccentricity

3.2 微转子不平衡动力学响应分析

根据公式(23)可得到微转子不同转速所对应的偏心位移及微转子稳态响应曲线(图7)。对于结构尺寸参数确定的微转子-气体轴承系统，其稳态响应仅与气体轴承的供气压差和不平衡量相关。

同一轴承供气压差情况下，不平衡量增大将导致微转子振动加剧，极限偏心率增大(图8)；相同不平衡量情况下，轴承供气压差对微转子临界转速和极限偏心率均有明显影响，如图9所示，随着供气压差的增加，微转子的临界转速和极限偏心率均增大。由公式(27)可知，对于确定结构的微转子-气体轴承系统，当气体轴承的供气压差保持恒定时，微转子的不平衡量与极限偏心率之间存在着唯一的对应关系，如图10所示。

图7 典型微转子-气体轴承系统的稳态响应曲线Fig.7 Typical rotor dynamic response curve of the rotor-bearing system

图8 不同不平衡量下的微转子动力学响应曲线Fig.8 Dynamic response curve with different unbalance

图9 不同供气压差下的微转子振动响应曲线Fig.9 Dynamic response curve with different supply pressure

4 微转子不平衡量测量原理和方法

图10 微转子极限偏心率与不平衡量的对应关系Fig.10 Micro rotor peak eccentricity as functions of unbalance

由微型气体轴承供气特性分析和微转子不平衡动力学响应分析结果，可得微转子不平衡量测量的反推原理和共振原理。对于确定结构尺寸参数的微转子-气体轴承系统，恒定的轴承供气压差下：微型气体轴承的供气流量与微转子偏心位移之间存在唯一对应关系，通过试验监测供气流量可反推获得微转子偏心位移；微转子不平衡量与微转子过临界转速时的微转子极限偏心率之间存在着唯一的对应关系，根据微转子共振偏心位移即可反推获得微转子的不平衡量。

基于以上原理，对于硅基超短微转子不平衡量测量，可根据图11所示的方法流程实现。通过微型气体轴承和微转子系统动力学分析，掌握不同轴承供气压力下轴承供气流量与微转子偏心位移、微转子不平衡量与极限偏心位移、轴承供气压力与微转子临界转速等参数之间的关系。根据微转子系统动力特性分析结果，选定恰当的轴承供气压力px开展微转子-气体轴承系统动力响应测量试验，试验装置如图12所示。试验中，利用高精度压力测控器实现气体轴承供气压力的精确控制，利用高精度流量测控器对气体轴承供气流量进行精确监测，利用光纤位移传感器间接测量微转子转速，通过增加微型涡轮驱动气流压力实现微转子的加速旋转，测得在px下轴承供气流量与微转子转速的关系曲线-ω。分析获得px下的气体轴承极限供气流量p，根据px下的轴承供气流量与微转子偏心位移之间的对应关系确定极限偏心位移，最后根据px下的微转子极限偏心位移和不平衡量之间的对应关系即可反推确定微转子的不平衡量。

图11 不平衡量分析和测量流程Fig.11 Flow chart of unbalance analysis and measurement

图12 硅基超短微转子不平衡量测量系统示意图Fig.12 Silicon based ultra-short micro rotor unbalance measuring system

5 结论

根据超短微型径向气体轴承微通道内的滑移流动分析，结合硅基超短微转子-气体轴承系统的超小长径比结构特点，推导了考虑稀薄气体效应的超短微型径向气体轴承气体动力学模型和微转子不平衡响应分析模型，开展了微型气体轴承供气特性和微转子不平衡动力学响应分析。主要研究结果为：

(1)对于确定结构参数的硅基超短微转子-气体轴承系统，在恒定轴承供气压力下，微型气体轴承的供气流量与微转子偏心位移存在唯一确定的关系，微转子共振极限偏心位移与不平衡量之间也存在唯一确定的关系；微转子的稳态响应仅与气体轴承的供气压差和不平衡量相关，微转子的临界转速和极限振动偏心位移与供气压力正相关。

(2)提出一种超短微转子不平衡量的试验测量分析方法。该方法可通过调节轴承供气压力改变支承刚度和阻尼，从而调整和控制临界转速和过临界转速时的振动响应，避免测量时转速过高或振动响应过大；通过监测轴承供气流量实现微转子偏心位移的间接测量，解决了径向振动位移监测装置在超短微转子系统中遇到的测量和安装问题，以及位移传感器和加速度传感器在测量过程中存在的环境振动干扰问题。

(3)由于该不平衡量试验测量方法的分析精度不仅受测量仪器的影响，同时还受微型气体轴承分析模型和微转子动力学分析模型精度的限制。因此，完善并提高分析模型精度，同时开展相关试验验证，将是下一步研究工作的重点。