推理：让数学思考言而有据

强振宇

[摘要]推理是学生在数学学习中内隐性思维的主要形式，它包括直觉性的合情推理和逻辑性的演绎推理，其中合情推理又是学生推理的主要方式。教学“面积单位进率”时，通过鼓励学生观察、归纳、猜想、计算等活动，在情境中诱发合情推理，在多元表征中发展演绎思维，在拓展中合演互动，不断培养学生推理能力，帮助学生积累数学学习活动经验。

[关键词]推理能力;合情推理;演绎推理

[中图分类号]G623.5

[文献标识码]A

[文章编号]1007-9068（2020）23-0030-02

推理能力是《义务教育数学课程标准（2011年版）》的一个核心概念，“推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式”。学习数学就是学习推理，培养学生一定的推理能力是培育学生数学素养的重要内容。下面以“面积单位的进率”教学为例，谈谈培养推理能力贯穿在整个教学环节中的实践与思考。

一、基于现实：在情境中诱发合情推理

合情推理是指从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果。它不是凭空想象，而是根据一定的事实、情境，基于一定的知识经验做出的探索性的判断，是数学猜想，是一种创造性的思维活动。因此，在数学学习中，要给学生提供必要的数学事实，鼓励学生大胆提出猜想。

[教学片段1]

师：公园里有一块长方形草坪，从数学角度看草坪的介绍，缺了些什么？

生：介绍不完整，数字后面缺单位。

师（出示：米、分米、平方米）：请在括号里填上合适的单位。

师：米、分米，还有厘米，都是我们认识的长度单位。每相邻两个长度单位之间的进率是10。平方米、平方分米、平方厘米是我们刚学习的面积单位。对照长度单位，你们有什么问题？

生：面积单位有没有进率？

生。：每相邻两个面积单位之间的进率是多少？师：面积单位也有进率。这节课我们就一起研究“面积单位进率”。先猜一猜1平方分米等于多少平方厘米。

生4：1平方分米=10平方厘米。

生s：1平方分米=100平方厘米。

教学时有意识地创设问题情境，引导学生回忆所学的长度单位，启发学生主动想到面积单位之间的进率关系，把平面图形的学习经验迁移过来，激发学生“无疑有疑，有疑而思解”，达到“解疑而心悦”。唤起学生对面积单位进率的猜想，是顺应学生凭借“线”到“面”的直觉和经验做出的合情数学表达，消除多数学生对学习进率产生的困惑，自然引发学生合乎逻辑的主动学习。正如波利亚所言：“只要数学学习的过程稍能反映出数学的发明创造的话，那么就应当让猜测、合情推理占有适当的位置。

二、多元表征：在活动中发展演绎推理

《义务教育数学课程标准（2011年版）》强调通过多样化的活动培养学生的推理能力，提出：在观察、实验、验证等活动中，发展演绎推理，学生能进行有条理地思考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果，将内在的思维活动与外部的数学表达能力结合起来。因此，教师要立足教材，留足空间，引导学生通过观察、比较、计算、推理等多种活动，自主验证猜想进而发现相邻面积单位之间的进率。这样既发展学生的演绎推理能力，又激发学生的数学学习兴趣。

[教学片段2]

师：对于面积单位平方分米与平方厘米之间的进率，有说是10的，也有说是100的，这只是我们的猜想，要知道哪个猜想正确，需用事实说话。看，这是一个边长1分米的正方形，它的面积是多少？（1x1=1平方分米）如果用平方厘米做单位，你们有办法知道它的面积是多少平方厘米吗？比一比谁的方法多。

表征1（摆一摆）：用面积1平方厘米的小正方形摆。沿着横边一排可以摆10个，沿着竖边摆10排，共摆了10x10=100（個）。因此面积1平方分米就是100平方厘米。

表征2（量一量）：用直尺量正方形的边长，边长是10厘米。因此这个正方形的面积也就是10x10=100（平方厘米）。

表征3（换算）：正方形的边长是1分米，因为1分米=10厘米，所以这个正方形也就是边长10厘米的正方形，面积是10x10=100（平方厘米）。

师：老师要为你们点赞。你们用了不同的数学方法得到相同的结果，那就是边长1分米的正方形面积.是1平方分米，也就是100平方厘米。

师：谁能很快说出1平方米=（）平方分米？

生：正方形的边长是1米，面积是1平方米。因为1米=10分米，所以这个正方形也就是边长10分米的正方形，正方形面积10x10=100（平方分米）。

师：老师这里就有一个边长1米的正方形，它的面积就是1平方米。我们一起用面积单位1平方分米的小正方形摆一摆，沿横边一排可以摆10个，沿竖边摆这样的10排，一共就可以摆10x10=100（个）。因此面积1平方米就是100平方分米。

师：面积单位从大到小排列是平方米、平方分米、平方厘米，通过刚才的研究，能发现什么？

生：相邻两个面积单位之间的进率是100。

师：相邻两个长度单位之间的进率是多少？与相邻两个面积单位之间的进率相比，要注意什么？

学生联系相邻的两个长度单位之间的进率，对相邻两个面积单位平方分米、平方厘米之间的进率进行猜测后，教师就放手让学生进行操作交流，鼓励学生用自己的方法、学习经验来证明进率关系。结果，学生有的根据长方形和正方形面积公式推导，有的想到摆的方法，有的想到量边长计算面积，还有的想到直接将1分米换算成10厘米进行面积计算。这些方法不仅有助于学生确信一个事实“1平方分米=100平方厘米”，更重要的学生在主动探索1平方分米等于多少平方厘米过程中，演绎推理过程有理有据，可视可感，不同思维程度的学生能找到不同的表征方式，从而增加了合情推理结论的“可靠性”。同时，这对接下来类比迁移推理学习1平方米等于多少平方分米也十分有利。

三、迁移延伸：在拓展中合演互动

数学发现过程是一个不断提出猜想、验证猜想的过程，是合情推理和演绎推理相辅相成、相互为用的过程。合情推理为演绎推理确定目标和方向，演绎推理为合情推理提供保障。教师不但要学生能够大胆猜想探索新知的合情推理，更要小心验证、仔细论证的演绎推理，让学生积累数学活动经验，提升数学素养。

[教学片段3]

师：相邻两个面积单位之间的进率是100，那面积单位平方米与平方厘米之间又有怎样的关系？

生：面积单位平方米到平方分米进率是100，平方分米到平方厘米又是100，所以面积单位平方米到平方厘米进率肯定不是100了，是100個100，就是10000。

生2：1平方米=10000平方厘米。正方形的边长是1米，面积是1平方米。因为1米=100厘米，所以这个正方形也就是边长100厘米的正方形，正方形面积为100x100=10000平方厘米。

师：对着面积1平方米的正方形，一起想象100个100是什么意思。

生g：就是100个100平方厘米的小正方形。

师：对！要注意平方米与平方厘米之间的关系不是100。现在我们知道了1平方分米是等于100平方厘米。如果用100个1平方厘米的小正方形摆成一行是什么图形？面积是多少？图形的长是多少？宽是多少？

为了防止学生的思维定式和探索欲望的下降，拓展延伸阶段分别提出了两个现实的、富有挑战性的数学问题，进一步激发学生的推理和思考。学生利用合情推理发现的结论“1平方米=100平方分米，1平方分米=100平方厘米，得出1平方米=10000平方厘米”是一个典型的三段式推理。学生将1米换算成100厘米进行面积的计算，对着面积1平方米的正方形一起想象，又增加了演绎推理结果的正确性，合情演绎有根有据。“摆成的是一个长1米、宽1厘米的长方形，面积是100平方厘米”，再次呈现长度与面积之间测量的对应关系及二维空间观念的培养，帮助学生进一步明晰“形变面积不变”的面积二维计算道理。

史宁中教授认为：实施智慧教育就是要重视过程的教学，而推理的过程就是其中的一个方面。作为数学课程标准十大核心概念之一的“推理能力”，教师要时刻针对教学内容精心设计引发思考的数学问题，巧妙设计学习环节，充分尊重学生，安排好各种学生活动，让学生展现思维，感悟道理、规律和方法，逐步到达推理能力的培养目标——言必有据，合乎逻辑。

（责编 金铃）