基于“STEM”理念下的“最速降线”探究

张金州

(长兴县太湖高级中学 浙江 湖州 313100)

1 概念的提出

“STEM”是科学(Science)，技术(Technology)，工程(Engineering)，数学(Mathematics)4门学科英文首字母的缩写，其中科学在于认识世界、解释自然界的客观规律；技术和工程则是在尊重自然规律的基础上改造世界、实现对自然界的控制和利用、解决经济和社会发展过程中遇到的难题；数学则作为技术与工程学科的基础工具.

意大利科学家伽利略在1630年提出一个分析学的基本问题——“一个质点在重力作用下，从一个给定点到不在它垂直下方的另一点，如果不计摩擦力，问沿着什么曲线滑下所需时间最短.”尽管伽利略自己给出了“该曲线为圆”的错误答案，但是却为问题的解决指明了方向.在1696年瑞士数学家约翰·伯努利再次提出这个“最速降线”的问题并给出了正确解答，他还拿这个问题向其他数学家提出了公开挑战.最后牛顿、莱布尼兹、洛必达和伯努利家族的成员等解决了这个问题，求出的“最速降线”为旋轮线.

目前在中学阶段关于“最速降线”的问题仅为“谁先达到斜面底端”的简单问题求解与一些简单应用说明，而更高层次的研究与论述主要集中在“数学物理方法”层面，即仅在物理知识层面采用数学知识的阐述，这些阐述往往过于复杂，需要相当的数学知识才能有较为深刻的认识，而鲜有更系统性的分析以适应更多学习层次的论述.本文将从“STEM”理论的角度对“最速降线”问题进行探究.

2 基于“S”与“M”的分析

1696年，贝塞大学的伯努利提出了以下问题：如图1所示，在竖直平面内给定两点A和B，要寻找路径AMB，使得质点以最短的时间滑过该路径，假定质点的加速度仅仅来自重力作用，这就是有名的“最速降线”问题.通过数学物理方法得到其方程为

图1 最速降线问题示意图

x=a(θ-sinθ)y=a(1-cosθ)

(1)

式(1)即为“最速降线”问题的解，质点只在重力作用下沿此线下滑的速度最快、用时最短.其推导过程就不在这里推导了.

从科学与数学角度进行的分析与推导极为成功的获得了“最速降线”，但正处在中学阶段的普通学生将难以理解，因此，有必要将该问题进行合理简化的分析.

3 基于“S”与“M”的简化模型分析

“最速降线”的求解对于中学生来说要求较高，知识综合性较强，特别是其中涉及的数学运算；因此有必要将分析进行简化，成为一般学习能力的学生都可以探究分析的内容.现结合伯努利的思维方式和斯涅耳定律以寻求较为简化的模型分析[1].

如图2建立坐标系，设A为坐标原点，B点坐标为(C，H)，若用几个平行于x轴的带状区域将这一区域分成若干个小区域．小区域足够小，以至于物体在每个区域中的运动近似是匀速运动．根据机械能守恒定律，物体经过此区域时，其速度为

图2 “最速降线”简化模型

(2)

经不同区域的速度不同，从A到B运动的过程中速度是越来越大的．物体途经两个区域时速度不同，如图3所示.物体在区域Ⅰ中的运动的速度为v1，在区域Ⅱ中的运动的速度为v2．

图3 “最速降线”物体运动过程中的速度区域划分

由几何关系可得

(3)

该结论与光的折射对应的斯涅耳定律是一致的.光入射到不同介质的界面上发生折射时，入射光和折射光位于同一个平面上，并且光在介质中传播的速度v与界面法线的夹角α满足如下关系

根据上述的相关特点便可以求“最速降线”方程了．如图4所示，设物体从A到B运动过程中任一位置纵坐标y对应的速度为v，v与y轴方向的夹角为α,与x轴方向的夹角为φ，则y′=tanφ，因而

图4 物体运动过程中任一位置的速度分析

(4)

将式(2)～(4)联立可得

故y(1+y′2)=C，这就是旋轮线的微分方程.

将该微分方程转换为参数方程，上式可变为

令y=csin2φ，则

dx=c(1-cos 2φ)dφ

x=a(θ-sinθ)y=a(1-cosθ)

同样得到了“最速降线”的方程.

通过更加简化的推理分析模式，中学生基本上能用目前所学知识分析并理解“最速降线”问题，这有利于提高学生的认知.

4 基于“T”的验证

“最速降线”模型分析后还得通过技术手段进行验证，该验证从两个方面进行，即计算软件的验证和实验仪器的验证.

4.1 基于“T”的计算验证

沿着各曲线下滑的时间求解较为复杂，可以借助于一些专业的工具软件进行计算，本次计算采用的是Mathematica软件进行求解，在计算时间的程序编写中，引用文献程序，对方程进行求解[2].程序如下：

(1)由摆线可得沿摆线C1下滑的时间

如图1，从A(0,0)点运动到B(x1，y1)，以下运动的A，B点相同，其中重力加速度取g=9.8 m/s2.

(β即为摆线中转过的圆心角)

编辑Mathematica程序如下：

g=9.8；x1=Input[]；y1=Input[]；

Print["x1="x1,",","y1=",y1]

t=FindRoot[(θ-sin[θ])/(1-cos[θ])=x1/y1,{θ,Pi}]；

β=θ/.t；

a=x1/(β-Sin[θ])/.t；

T1=Sqrt[a/g]*β；

Print["β=",β]

Print["a=",a]

Print["T1=",T1]

运行该程序，先后输入x1=9，y1=4，程序运行结果为：

β=3.67631689，a=2.15006463，T1=1.72197031

(2)质点沿直线C2下滑的时间

在上面的程序后面添加两条命令：

T2=Sqrt[2*(x1^2+y1^2)/g/y1]；

Print["T2=",T2]

运行该程序，先后输入x1=9，y1=4，程序运行结果为：T2=2.22463

(3)质点沿圆弧C3下滑的时间

圆弧过A(0,0)，B(x1,y1).则圆的参数方程C3(圆心应在x轴上)：

得

在上面的程序后面添加两条命令：

T3=Sqrt[(x1^2+y1^2)/2/g/x1]*Integrate

[1/Sqrt[u*(1+u^2)],{u,y1/x1,+}]；

Print["T3=",T3]

运行该程序，先后输入x1=9，y1=4，程序运行结果为：T3=1.77911

(4)质点沿抛物线C4下滑的时间

在上面的程序后面添加两条命令：

T4=Sqrt[2/g]/y1^2*Integrate[Sqrt[4*

x1^2*v^4+y1^4],{v,0,Sqrt[y1]}]；

Print["T4=",T4]

运行该程序，先后输入x1=9，y1=4，程序运行结果为：T4=1.78157.

综合以上数据得如表1所示.

表1 曲线及对应时间

由表1可知，T1

4.2 基于“T”的实验验证

理论分析后，还得通过实验进行验证.为此，准备了2个实验装置：科技馆的实验装置与自制实验装置.

科技馆的实验装置采用的是东莞市科学技术博物馆中的实验装置，其中有直线、最速降线、圆弧3条轨道和3个实验小球，如图5所示.实验时同时释放3个小球，通过录像记录慢速微调回放得到到达末端点所用时间，记录在表2中.

图5 科技馆的实验装置

表2 小球沿轨道运动的时间

由表2可知，小球3条轨道用时最少的是“最速降线”，其次是圆弧，用时最长的是直线；尽管“最速降线”用时最短，但非常接近圆弧用时.

在如图6所示的自制仪器实验现象中，依然可以观察到沿“最速降线”运动时间最短的情况(图6为手机慢拍模式截屏的情景).

图6 自制实验仪器

基于技术的计算软件和实验仪器两个方面的实际验证，可以发现质点沿着“最速降线”运动所用时间最短，这不仅直观，也更有说服力.

5 基于“E”的推广与拓展

生活中还有许多现象与“最速降线”有关，尽管有些不是直观的“最速降线”，但原理实际上是类似的.

5.1 “最速降线”应用在我国古代建筑中的大屋顶

“最速降线”在建筑中也有着美妙的应用.我国古建筑中的“大屋顶”，从侧面看上去，“等腰三角形”的两腰不是线段，而是两段“最速降线”.按照这样的原理设计，在夏日暴雨时，可以使落在屋顶上的雨水，以最快的速度流走，从而对房屋起到保护的作用，如图7所示.还有一些逃生系统都有类似的设计.

图7 我国古代建筑中的大屋顶

5.2 “最速降线”还可以应用于影视厅或报告厅

在影视厅或报告厅，经常会为前边观众遮挡住自己的视线而苦恼.显然，场内的观众都在朝台上看，如果场内地面不做成前低后高的坡度模式，那么前边观众必然会遮挡后面观众的视线，这也可以根据需要采用“最速降线”的情景模式进行分析与演算，从而满足各方面的需要而设计出最佳的座椅安排如图8所示[3].

图8 “最速降线”应用于座椅安排演示图

5.3 “最速降线”规尺上的应用

杨秉烈先生发明了一种玩具叫做繁花曲线规，它由一套彩色塑料齿轮组成.一个大齿轮是环状的，牙齿做在里面；几个小齿轮的牙齿做在外面，小齿轮内部有一些小圆孔和几个其他形状的、较大的孔.使用时左手按住大齿轮，在大齿轮里放一只小齿轮，把笔尖插进小齿轮的某一个孔里，让小齿轮紧贴大齿轮内壁滚动，这时笔尖就会在纸上画出许多美丽的曲线花纹.若将大齿轮换成带齿的直尺，画出来的曲线就是“最速降线”，如图9所示.

图9 繁花曲线规

5.4 “最速降线”在医学上的应用

药物进入体内的方式有3种常见形式，即快速静脉注射、口服或肌注，医学上常用“房室系统”的观点来研究药物在体内的吸收、分布和排除过程，若能结合“最速降线”研究3种情况下体内血药浓度的变化曲线，将有助于得到血药浓度的变化，从而根据不同的疾病利用“药物动力学”找出最佳治疗方案[4].

6 结束语

由于“最速降线”问题对大部分中学生而言过于困难，本文在“STEM”理念的基础上，从“S”与“M”的角度分析并简化了“最速降线”分析，从“T”的角度进行了计算验证与实验验证，最后从“E”的角度推广与拓展该模型，从中我们可以领略到该理念分析解决问题的强大能力——不仅可以更加系统、简便的研究、验证“最速降线”，甚至可以更高效地在生活中应用“最速降线”.