锐角三角函数的几个中考方向

朱德锋

[摘要]初中阶段學过的锐角三角函数包括正弦、余弦、正切和余切.锐角三角函数打通了直角三角形边与角之间的通道，也是中考数学的重要考查内容.对锐角三角函数试题进行分类评析，可以使学生学会利用锐角三角函数在角与边之间相互转化，以及在不同三角函数之间相互转化.

[关键词]三角函数;中考;锐角;初中数学

[中图分类号]

G633.6

[文献标识码] A

[文章编号] 1674-6058（ 2020）23-0009-02

初中阶段学过的锐角三角函数包括正弦、余弦、正切和余切，在直角三角形里，一个角的正弦是指这个角的对边与直角三角形斜边的比值;一个角的余弦是指这个角的邻边与直角三角形斜边的比值;正切是指一个角的对边与它的邻边的比值;余切是指一个角的邻边与它的对边的比值，其实还有正割与余割，正弦、余弦、正割和余割反映的是直角三角形直角边与斜边之间的关系，正切和余切反映的是直角三角形两条直角边之间的关系，根据锐角三角函数，既可以由锐角的角度得到直角三角形边与边的比，也可以由直角三角形边与边的比得到锐角的角度，因此，锐角三角函数打通了直角三角形边与角之间的通道，中考对锐角三角函数的考查表现在以下几个方面，

一、锐角三角函数的定义

锐角三角函数是在直角三角形中定义的，但是不在直角三角形里的锐角也有三角函数值，已知锐角三角函数值，也就是已知了直角三角形中边与边的比，要把锐角三角函数值转化为边与边的比，必须构造直角三角形.

评注：解锐角三角形或钝角三角形，要通过作垂线构造直角三角形，过哪一点作垂线，其原则是不能破坏图形中特殊的角度，如30°、60。或45°，作垂线后图形会出现两个直角三角形，在其中一个直角三角形中得到的数据会在另一个直角三角形中使用，

二、锐角三角函数的增减性

锐角三角函数值由锐角的大小唯一确定，研究发现，锐角的正弦与正切随角度的增大而增大，锐角的余弦与余切随角度的增大而减小，这一结论可以通过几个特殊角的锐角三角函数值归纳得到，也可以根据锐角三角函数的定义直接推理得到，根据锐角三角函数的增减性可以比较同名锐角三角函数值的大小，结合互余两角的三角函数关系，还可以比较异名锐角三角函数值的大小.

[例2]（1）如图4，在直角三角形中，当锐角取确定的值时，它的正弦值与余弦值也随之确定，当锐角变化时，它的正弦值与余弦值也随之变化，试写出变化规律;

（2）利用上述规律，当锐角为18°，34°，52°，65°，88。时，比较它们的正弦值关系及余弦值关系;

（3）比较大小：（在空格处填写“<”“>”或“=”）

若∠a= 45°，则sin a____ cosa;若∠a< 45°，则sina____cosa;若∠a> 45°，则sina ___ cos a;

（4）根据互余两角的三角函数关系，将下列函数值按从大到小的顺序排列，

评注：求同一锐角的正、余弦之差，要将这个代数式平方，再取平方根，这样可以利用同一锐角的正、余弦的平方和等于1;已知正切值，要转化为同一锐角正、余弦的比值，然后再代入求值，

锐角三角函数的考查还包括互余锐角三角函数关系，它是指互余两锐角的正、余弦值相等;互余两锐角的正、余切值相等，还包括特殊角的三角函数值，利用特殊角的三角函数值及和角、差角公式可以求出其他一些角的度数，对于锐角三角函数，掌握它的概念是根本;记住它们之间的相互关系，便于在不同三角函数之间、互余两角之间相互转化;记住特殊角的三角函数值是必备的基本功，它在代数式求值及解直角三角形的应用都大有用途，总之，一方面要学会利用锐角三角函数在角与边之间相互转化;另一方面要学会在不同三角函数之间相互转化.

[参考文献]

[1]罗强华.巧用等角转化求三角函数值[J].初中数学教与学，2019（5）：27-30.

[2]刘永东.锐角三角函数及应用[J].中学数学教学参考，2019（22）：65-68.

[3]范字勇.锐角三角函数及应用（2）[J].中学数学教学参考，2019（22）：68-72.

[4]陈素和.锐角三角函数考点例析[J].初中数学教与学.2017（3）：28-30.

（责任编辑 黄桂坚）