“一题多解和一题多变”在培养学生数学思维能力的应用策略探析

摘 要：高中数学知识体系较为繁杂，若在课堂上学生只懂固定的解题套路，那么他们也无法完成知识学习的活学活用，教师应基于一题多解和一题多变方法，帮助学生开拓解题思路。对某些解题思想进行融汇，借助一题多解和一题多变教学方法提高学生的解题能力。文章基于一题多解与一题多变在培养学生数学思维上的应用展开探索，提出了小心做题陷阱、数学问题转变、培养开放思维、提高问题分析能力等应用要点，加强学生解题思维的开阔，借以培养学生的数学思维能力。

关键词：一题多解与一题多变;高中数学;数学思维

一题多解与一题多变教学模式是培养学生综合素养的一条有效出路，教师可以借由题目的发散变化形成学生的数学解题能力。在教学时基于讲授原理帮助学生搞懂解题策略，由此提高学生的知识理解能力。在教学时教师不仅要讲授基本的做题方法，更要帮助学生抓住正确题意，了解解题关键，培养学生的思维能力。

一、 一题多解与一题多变教学模式应用的价值

所谓一题多解，它即要求学生从多个视角去分析数学问题，应用不同方案去解决数学问题的一种方法。通过一题多解教学模式的渗透，教师可以强化各零散数学知识的联系。

由零散的高中数学知识连接成一个整体，完成学生创新能力的发展提高。一题多变则是教師由一道题进行转变，将其发散为一类题的教学方法。在解答数学问题时，教师可以依托这一类题目的应用。考虑题目本身所包含的具体条件，在一题多解与一题多变方法应用过程中，提高学生的数学思维敏捷性。由某些已知的条件对其进行拓展，让学生寻求一些可以补充的条件，增强其实际背景。应用多变方式，开展不同类型的数学教学，让学生在不同情形下了解数学问题的解决步骤。这要求学习者与出题人共同探讨问题，在多变解题过程中教师可以培养学生的问题归纳、概括总结能力。而在一题多解与一题多变题目演示下，学生的思维灵活性也能够得到拓展。

二、 一题多解与一题多变教学模式应用的具体策略

（一）避免掉入做题陷阱

按照不同角度、不同思路，教师可引导学生对同一道题目展开探索。应用不同的方法，解出该道问题。在教学时教师也应该基于一题多解与一题多变对题目做出引导，发挥学生思维的灵活性，让学生快速找准题目的已知条件，从而顺利切入问题，节约大量的解题时间。

例如在教学某道例题——如果关于x的方程sin2x+cosx+a=0有实根，求解a的取值范围。面对该道题目，学生大多认为此道题目是非常简单的。但是该道题目却隐含着一个容易忽略的条件，不少学生提笔就做，他们没有了解到x取值范围的重要性。教师此时就应该带领学生重新分析题目，理解三角函数sinx与cosx这两者之间的联系。学生会跟随教师的思路了解到

sin2x=1-cos2x，由此题目中的方程也可以被教师转变为cos2x-cosx-1-a=0。教师需带领学生理解题目中的x有实根实际上就是要求我们去寻找cosx所对应的具体实数，由m=cosx去进行化简。这样一来，原本还有一些复杂的三角函数方程就转变成了学生能够理解的二次方程m2-m-1-a=0。

这时学生容易出现的一大错误又凸显了，部分学生认为方程应该有实根。所以他们断定判别式Δ=4a+5≥0，最后成功的求解出了a的取值范围。但是实际上学生在不经意间却落入了命题人的命题陷阱，他们没有了解未知量的取值关系。教师在教学时可引导学生寻找陷阱，如a≥-5/4时就一定会有Δ≥0。这时矛盾就出现了，cosx=m有实根是不是一定标志着x就有实根呢？教师可以带领学生重新审视余弦函数，让学生了解余弦函数的值域是位于[-1，1]的，所以我们也无法保证cosx在这一区间一定有实根。在教学时教师应努力帮助学生找准一题多解的变化形式，如改变题目自变量取值范围的条件x，求出cosx的范围，换元转变成m2-m-1-a=0。让学生通过一题多变理解数学题目的解题套路，认识到一元二次方程求解根式和集合交集以及并集的相关知识点，避免落入做题陷阱，提高学生的数学思维能力。

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（二）数学问题转化的一题多变

高中阶段的数学题目大多具有一定的规律，其整体改变过程是离不开一定规则的。在教学时教师应通过选取合适的例题，通过一题多思、一题多变，由某一道题目扩展出同一类型的题目。在有效教学过程中，巩固学生的数学知识。帮助学生找准数学解题的基本套路，要求学生学会举一反三，最终认知数学题的解题规律。

例如在教学某道例题——已知函数f（x）=x2-x，求其单调性。在这一题目提出之后，教师很快就由该道题目延伸出一系列类型的题目如：变式①，讨论函数f（x）=x-ax，a∈R的单调性。变式②，讨论函数f（x）=x3-ax，a∈R在[1，+∞）上的单调性。变式③，已知函数f（x）（x∈R）图象上任一点（x，y0）处的切线方程为y-y0=（x-3）（x2-1）（x-x0），求函数f（x）的单调递减区间。变式④，若函数f（x）=x-ax在[1，+∞）上单调递增，求a的取值范围。变式⑤，若函数f（x）=x-1sinx+asinx在（-∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是？从这一系列的变式题做出探讨来看，它主要还是不含参数函数单调性的判断问题。学生大多都能够快速解答出这一类题目，教师借由该类题目也可以巩固学生已经了解过的知识。让学生知晓利用导数求解函数f（x）单调性的应用步骤，理解这一类型题目所融入的数学思想。由变式①可以得知，这主要是含参数函数单调性的判断问题。教师在教学时可以结合数形结合思想对其作出延伸改变，在探讨过程中关注数与形的变化关系，让学生认识单调性的变化规律。变式③主要是把函数的单调性与导数的几何知识进行交汇，帮助学生搞懂其中的交融思想。变式④应用了思维的逆向，让学生求解函数的单调性。变式⑤可通过函数单调性，让学生求某一参数的具体取值范围。在图像模式结合下，求解出该道题目的正确答案。在这样的层层递进教学过程中，教师可以由某些难点知识进行分层讲解。由逐渐细化帮助学生完成学习方法的迁移，加强数学知识的活学活用，由此强化学生的数学思维能力。

（三）培养学生的开放性思维

数学教学離不开数学解题，但“题海战术”只能够得到一些基本的解题思路与解题方法，它难以帮助学生实际的了解到数学解题规律。教师正确的做法应该是“少而精”，在数学问题研讨方面由某些经典问题要求学生在做题过程中学会举一反三。着重培养学生的应用数学思维，结合具体的一题多解与一题多变教学模式增强学生的数学解题能力。

例如在教学某道题目——已知等差数列的通项an=a1+n-1，教师可以带领学生共同探讨等差数列通项推论过程。让学生了解a2=a1+d、a3=a2+d、an=a1+（n-1）d。由定义还可以得知an-an-1=d，所以an-1-an-2=d。依次类推，将两边的式子进行累加就可以得到等差数列的一般通项式了。在上述问题推导过程中，教师可以要求学生运用不同的思路去得出问题的正确答案，了解不同问题设置的思维要点。在应用一题多解与一题多变教学方法培养学生创新思维时，教师应努力寻找解法上的便捷性。由学生已有的学习经验做出延伸探讨，通过不断地延伸分析帮助学生找准最佳的学习方案。对于同一道题目，教师也应该要求学生利用自己的批判性思维对其做出强化。分析应用所学的知识，联合实际问题，由此强化自身的思维能力。

（四）提高学生的数学问题分析能力

对于同一道数学题，运用一题多解和一题多变方法进行延伸。教师可以引导学生从不同的视角去切入问题，了解这一类型问题的解决关键。在教学时教师也应该由学生的思维拓展做出研讨，着重学生问题解决能力的发展。

例如在教学某道例题——已知a、b≥0，a+b=a，求a2+b2的取值范围。对于该道题目，其实际解决方法还是很多的，教师可以要求学生分别应用函数方法、三角换元法来求解题目。对于该道题目的函数方法解答来讲，由于a+b=1，所以b=1-a。由此可以得知a2+b2=2a2-2a+1，最终根据a的取值范围。求解出该道题目的正确答案，得到a2+b2的最小值为1/2。其次，教师也可以由三角换元法，结合题目的已知条件将a假设为cosx、b假设为sinx。将sinx与cosx带入题目，通过参数转变将其变为学生熟悉的三角函数问题。应用基本的数学思想进行课堂改革，完成学生数学问题分析能力的发展，由此帮助学生强化自身的思维能力。

思维能力是学生各项能力发展的核心，在高中数学课堂上，教师应由合适选择例题，做出课堂引导。帮助学生培养开放思维、着重学生问题分析能力的发展、避免学生出现做题错误、要求学生探讨题目根本，通过以上方法的应用克服学生在做题过程中的思维定式状况。让学生由一道题目联想到一类题目，完成自我发散性思维的成长。教师也应该努力寻找数学课堂教学的新角度，培养学生的创造性思维，提高学生的数学素养，致力于学生数学解题能力的发展。

参考文献：

[1]魏丽莉.一题多解与一题多变在培养学生思维能力方面的应用[J].东方文化周刊，2014（19）.

[2]王堃.浅析一题多解与一题多变在培养学生思维能力中的应用[J].读写算：教师版，2015（15）：70-71.

[3]陈冬艳.“一题多解与一题多变”在培养学生思维能力中的应用[J].新教育时代电子杂志：学生版，2017（10）.

作者简介：江猷敏，福建省建瓯市，福建省建瓯第一中学。