桥梁若干流致振动与卡门涡街

张伟伟, 豆子皓, 李新涛, 高传强

(西北工业大学 航空学院, 西安 710072)

0 引 言

2020年5月初，虎门大桥的振动引起了学术界和网友们的广泛关注和讨论。很多土木工程领域的学者第一时间指出这应该是大跨度桥梁较常见的涡振，对桥梁的破坏并不剧烈。然而不少自媒体进一步引申出1940年塔科马大桥的倒塌事件来说明涡振的剧烈程度和破坏性。再简单搜索“共振”、“卡门涡街”和“塔科马大桥”，都能在词条中看到“卡门涡街或共振是塔科马大桥倒塌的原因”等描述。甚至在初、高中的课堂上，塔科马大桥风毁事件都作为共振与卡门涡街的典型案例进行讲述。这成为了撰写本文的初始驱动力，有必要从气动弹性力学的角度解释几个不同的力学概念。

1 卡门涡街、涡致振动和颤振的物理解释

1.1 卡门涡街

在一定条件下的定常来流绕过钝体时，物体两侧会周期性地交替脱落出旋转方向相反、并排列成有规则的双列线涡，如图1所示。由于冯·卡门(美国航天之父，钱学森的导师)最先研究该现象，故被命名为卡门涡街。

(a) 俯瞰云团流过岛屿

1.2 涡致振动

在一定流动条件下，由于旋涡交替脱落，产生的脉动载荷会使结构发生强迫振动，这种振动就被称为涡致振动。涡致振动通常情况下振幅很小，频率跟随涡脱落频率。当涡脱落频率与结构固有频率接近时，会导致较大振动，风工程研究领域称之为涡激共振，简称涡振。圆柱的涡致振动计算模型如图2所示。

图2 圆柱的涡致振动模型Fig.2 Model of a vortex-induced vibrating cylinder

1.3 颤振

由于弹性结构从气流中吸收能量，导致的结构振动发散现象被称为颤振(flutter)。用专业语言来阐述，颤振是一种自激振动，是结构在气流中因为流固耦合参数的负阻尼而产生的运动发散的现象。颤振在不同工程问题中有不同的表现形式，如常见的模态间耦合颤振、跨声速嗡鸣、失速颤振、叶轮机叶片的行波颤振，等等。有些物理机制十分复杂，仍有待深入研究。在统一的理论架构下，由于流固耦合导致的结构模态的失稳现象，都可称之为颤振。

2 塔科马大桥风毁事件分析

80年以前的1940年11月7日，人们如往常一样驾驶汽车行驶在美国华盛顿州新建成的塔科马悬索桥上。虽然桥面有略微振动，但人们对此早已习惯，因为自1940年7月1日开通运营以来，即使微风轻拂，桥梁的振动也经常发生，塔科马大桥因此还获得了一个好听的外号叫“跳舞的桥”。但那天的风更大了一些，达到了19 m/s。在这样的大风中，桥梁扭转振动的幅度越来越大，人们惊慌地逃离桥面。桥梁在经受70 min的剧烈振动后最终垮塌，振动中最大的扭角振幅约为±35°。所幸，因为持续振动时间较长，这次事故无一人死亡。并且好莱坞电影团队由于正巧在桥梁附近拍摄，塔科马大桥抢了主角的戏，他们将大桥振动到倒塌的全过程都记录了下来(如图3所示)，这给后来的研究者提供了巨大帮助。

(a) 扭转振动 (b) 坍塌

塔科马桥垮塌后，由美国国家公路交通安全管理局及华盛顿州收费桥梁当局联合发起了大规模的气动调查研究。其中由冯·卡门等在加州理工学院进行了相关风洞试验，并提出了桥梁风毁的原因是卡门涡街导致的涡激共振[1]。

的确，绕钝体产生的卡门涡街是一种流体力学的美。很多学者认为塔科马大桥的倒塌是由于涡激共振所致，恰恰是由于冯·卡门主导了当年的事故分析，而且得出了让人比较容易理解的观点——涡激共振！这个观点是按如下的推理形成的：“视频中可见大桥在风的作用下以其扭转固有频率发生振动，并最终导致破坏，这是由于风流过大桥断面形成卡门涡街，在旋涡交替脱落产生的外激载荷作用下，结构发生振动响应，并且恰好由于旋涡脱落频率与结构固有频率一致，导致共振发生。”其数学表达可以用公式(1)表示，等式左端为结构运动的位移、速度和加速度项，等式右端为外激力。

(1)

共振的解释直观明了，高中生都能理解，貌似天衣无缝。但是这个观点存在着一个致命的局限，即默认了这种振动是常规的外激强迫振动，并且想当然认为风流过固定结构时的旋涡脱落频率接近于结构固有频率。

实际上大桥倒塌后，就一直有两种观点存在，其中航空工程师认为它是和机翼颤振类似的现象。然而，经典的机翼颤振问题，流动通常是附体的，不涉及旋涡脱落问题。再加上冯·卡门的显著个人影响力，涡激共振占据了主导地位，他的观点也在20世纪50年代到90年代进入美国高中物理课本，作为共振的典型案例进行教学，如图4所示[2]。不少有影响力的工程专用教科书中都记载着：“可以确信，卡门涡街是大桥损毁的原因”等类似的表述[3]。

图4 教科书中将卡门涡街作为塔科马大桥扭转振动的解释

然而，后来的土木工程研究人员希望在风洞中复现塔科马大桥的涡激共振时才发现，大桥刚硬断面的绕流涡脱落频率约为1 Hz，并不等于其固有扭转频率0.2 Hz，相差很大！并且，若设计出涡脱落频率与结构固有频率相同的模型进行数值模拟，涡致振动的幅值只有0.5°，远远不会使桥梁发生破坏！Scanlan教授与其指导的本科生Billah详细地总结了前人的实验[4-5]，分析得出塔科马大桥的倒塌是因为颤振，是一种气动负阻尼效应所致，很好的诠释了该工程事故。在20世纪90年代后的物理教科书因此重新进行了修正，澄清了大桥的倒塌原因，成为土木工程研究领域的一个经典案例[4-5]。

单自由度颤振运动的数学表述如公式(2)所示：

(2)

等式左端不变，但等式右端的附加气动力变成了结构位移及速度的函数。当然，这种表达是一种简化模型。但我们也能看出，当结构不运动时，右端的气动力也将等于零。当结构受到微小扰动后，其自身的运动会产生附加气动力，这又进一步致使结构运动，如此循环。以颤振发生的临界风速(动压)为界，结构振动将收敛或发散。所以颤振的本质是自激振动，数学上的表达通常是带有稳定性参数(通常选用速度或动压)的齐次方程。

自20世纪90年代至今，Tacoma大桥风毁的原因已经逐渐被学术界与工程界认识清晰。简单来说，这是遭遇某一临界风速，大桥结构模态的总阻尼由正变负，导致的结构失稳，是一种典型的颤振现象。卡门涡街在这个过程中的确发挥了作用，但不是共振，而是作为大桥扭转模态失稳的一个推手。

在Dowell教授(美国工程院院士，现代气动弹性力学奠基人)2005的著作AModernCourseinAeroelasticity中第330页写道：“Scanlan教授指出，一些物理教科书将塔科马大桥的倒塌归结为涡激共振，这一观点是错误的，实质上是塔科马大桥是由于颤振倒塌，这是两个截然不同的现象。”[6]

3 虎门大桥的涡激共振与锁频

我们再回到虎门大桥的振动现象，其表现为桥面的上下波动，对应截面的沉浮运动。虽然振幅不小，但尚不造成结构破坏。有土木工程研究者认为，这是卡门涡街的涡脱落频率与桥梁弯曲模态固有频率接近导致的涡激共振(涡振)。经典的教科书[7]中也指出涡激共振是一种带有自激性的强迫振动，是低速下常见的有限振幅振动，并且在一个相当大的风速范围内，可保持振动频率不变，产生一种“频率锁定”现象(lock-in，简称锁频)。显然，这一定义含糊了涡振的是自激还是强迫振动的属性，但指出了涡振的一个重要特性，即锁频。

什么叫做锁频现象呢？简单来说，随着风速的提高，涡脱落频率也会提高。在不发生锁频时，结构的振动频率跟随涡脱落频率。但是发生锁频后，结构振动频率不再跟随原有的涡脱落频率，而是锁定于其固有频率，并且锁频时的运动振幅远大于非锁定状态的振幅。因此，搞清楚锁频的机制是认识涡振问题的核心！不少学者用非线性共振对频率锁定进行解释，然而共振观解释频率锁定存在以下困惑：

1) 很多问题中的频率锁定范围会远远偏离共振的频率比范畴，甚至达到1∶2[8]；

2) 很多时候的最大振幅并不是在共振点处取得；

3) 非线性共振的机制是什么？什么机制促使结构响应频率不跟随外激励力频率？

下面我们以圆柱为例，展示涡振中的锁频现象。图5给出了圆柱涡致振动结构振幅和振动频率随无量纲风速(或折减风速U*)的变化曲线。图中,Ymax=hmax/D,hmax为振动最大位移;U*=U∞/(fsD)，U∞为来流风速，fs为结构沉浮运动固有频率。从图5(b)可以看出在非锁频区域，振动频率等于涡脱落频率，而在锁频区域(阴影区)，振动频率与结构固有频率保持一致。从图5(a)可以看出，在锁频区域内结构振幅较大，而在非锁频区域，振幅很小，几乎可以忽略。

图5(a)还给出了解耦方法(黑线)计算得到的振幅。所谓结构解耦方法，即事先获取固定结构绕流的气流脉动载荷，然后计算载荷作用下的弹性结构响应。解耦方法给出了一个清晰的共振峰，且解耦方法计算出的振幅和发生锁频的风速范围均显著小于耦合方法。这一结果说明采用解耦的强迫振动的思路来分析涡致振动问题已不再适用，流体和结构的耦合效应起到主导作用。从上述结果可以看出，涡致振动响应振幅在共振风速(U*=7.5)两侧并不是对称分布，最大振幅也不是在共振风速处取得，而是在起始风速(U*=6.0)左右处取得。

(a) 振动幅值随折减风速的变化

这一结果不得不让我们去进一步思考定义含糊的涡激共振，到底是自激振动还是强迫振动问题？近期我们的研究表明，涡振以及航空工程中的跨声速抖振锁频都是分离流中的自激振动，可以理解为单自由度颤振，其结构的大幅振动本质上是流动的反馈作用形成的负阻尼效应[8-10]。图6给出了我们通过线性稳定性分析得到的圆柱涡振的根轨迹[8]，根轨迹的实部代表模态阻尼，虚部表示模态振动频率。图中可见，系统存在两个相互独立的模态分支，即结构模态(SM)和流动模态(WM)。流动模态始终是不稳定的，而结构模态在与流动模态的耦合过程中也在一定的区间发生了失稳。

图6 线性稳定性分析得到的耦合系统根轨迹Fig.6 Root loci of the coupled system of linear stability analysis

为了进一步研究两个失稳模态的实际竞争过程，我们通过CFD/CSD耦合模拟给出了U*=6.33时的位移和升力系数时域响应，以及不同时间阶段的功率谱分析结果，如图7所示，图中t为无量纲时间，Y=h/D为无量纲位移。从图7中可以清晰地看出两个模态间相互竞争的发展过程：在响应初始的线性阶段，两个失稳模态同时存在，升力系数与位移曲线都出现了由于频率接近而产生的“拍”现象。图7中也能看出，位移曲线更多体现结构模态，升力系数曲线更多体现流动脱涡模态，这一点与两者第一阶段的功率谱分析结果也对应。随着振动幅值的增大，结构模态逐渐占主导，并在竞争中胁迫流动模态频率与其保持一致，最终旋涡脱落频率和结构振动频率均锁定于结构的固有频率。

图7 U*=6.33状态，位移与升力系数的时域响应及功率谱分析结果Fig.7 Time responses and power spectral density results for different time regimes of displacement and lift coefficient for U*=6.33

以上结果进一步证明，这种由分离流动诱发的结构模态失稳是导致锁频以及结构大幅振动的根本原因。该视角很好地解释了锁频现象，以及结构最大振幅不在共振点处取得等诸如此类的用共振很难解释的一些现象。

上述研究对象不是塔科马大桥断面，而是用弹性支撑的圆柱，这是因为圆柱绕流是最经典的卡门涡街算例，是钝体绕流激振中的经典力学模型。这一观点近年得到流固耦合力学研究领域很多学者的认同，并且近期已有土木工程研究领域的学者通过试验和理论证实，矩形断面的驰振和涡振在低风速、低阻尼条件下都会出现，且两者都是非线性自激振动，可以用统一的非线性模型描述[11]，有力地支撑了我们的观点。

为了进一步说明涡振问题很大程度上不是一个共振响应，我们通过降低雷诺数，消除卡门涡街和外激载荷。例如Re=40时，固定圆柱的绕流未失稳，并不会出现卡门涡街，没有脉动载荷，如图8。然而，当释放结构沉浮刚度后，由于流固耦合效应，会发生单自由度振荡失稳，振动幅值逐渐增大，如图9(b)，最终达到极限环状态，如图9(a)。通过稳定性分析发现，虽然此时流动模态是稳定的，但是结构模态在与流动模态的耦合作用下，结构模态在一定区间发生失稳，导致出现单自由度颤振现象，如图10所示。并且其随风速变化的锁频特性与Re=60状态的涡振锁频特性极其相似，如图10所示。图11(a)和11(b)分别给出图10结构模态根轨迹的实部(模态阻尼)和虚部(模态振动频率)随折减风速的变化。图11(c)和11(d)分别给出Re=33状态下，释放沉浮自由度圆柱数值仿真的振动幅值和振动频率随折减风速的变化。由图11(a)和11(c)可知，线性动力学模型预测的失稳区域与时域仿真得到的涡致振动响应区域几乎完全吻合，准确预测了耦合系统的失稳边界。

(a) 流线

(a) 振动响应中的某一时刻涡量云图

图10 亚临界雷诺数(Re=33)下耦合系统的根轨迹Fig.10 Root loci of the coupled system for subcritical Reynolds number(Re=33)

(a) 结构模态的增长率随折减风速的变化

这种亚临界情况下的圆柱绕流单自由度颤振最低雷诺数出现在18[12]。为什么流固耦合系统发生失稳的最低雷诺数始终不低于18，同时，流动模态有没有更直观的展示？

为此，我们对脉冲激励的亚临界圆柱绕流衰减历程进行采样，利用动力学模态分解(Dynamic Mode Decomposition, DMD)方法，获得非定常流动系统的主要动力学模态，如图12所示。该模态与流动特征值、特征频率和增长率一致，且与超临界流动中的反对称结构卡门涡脱落模态相似。而流固耦合系统的失稳现象正是由于此模态与结构模态的耦合作用，从而引起结构分支失稳的。模态分析表明亚临界流动中，稳定的卡门涡脱落模态随雷诺数减小而不断减弱。在雷诺数低于18时，由于这种非对称的卡门涡街流动模式基本消失，非定常流动难以与弹性结构耦合，进而使涡激失稳现象难以发生。这一结果直接说明卡门涡街是结构失稳的推手，而不是激发结构共振的根源。

(a) Re=12

以上进一步证明了涡振本质上也是一种单自由度颤振，是流动模态和结构模态耦合触发结构失稳的现象。这一现象不得不让我们去思考，钝体的大幅振动到底和卡门涡街之间是什么一个关系？

实际上我们并不否定流动动态分离触发结构大幅振动，但我们认为用交替旋涡推动结构共振来解释，就本末倒置了。打个比方，卡门涡街好比一个健身操教练。以前的解释是，你直接模仿这个教练的一举一动，运动起来了。现在的解释是，这个教练激发了你内在的动力，你运动起来了，还带动他和你一起运动。

4 形形色色的流致振动问题讨论

既然上文指出颤振和涡振都是结构在流体中的失稳问题，接下来我们再讨论各种流致振动问题的差异和共性。

经典颤振通常是流体作用下，两个及以上结构模态之间的耦合，导致一个模态失稳的自激振动，这也是附体流动中常见的失稳模式，航空工程中机翼弯扭耦合就是这个模式。在弱稳定流动下，如跨声速大迎角状态或钝体绕流中，流动模态会成为一个耦合的主角，与结构模态耦合触发结构的单自由度颤振。跨声速嗡鸣、大迎角失速颤振以及亚临界雷诺数的圆柱振动都是可以归结为单自由度非经典颤振。土木工程研究领域中的桥梁断面颤振通常以扭转模态为主，由于扭转模态的附加气动力大，且结构非线性弱，故颤振更容易造成结构破坏。另外，由于颤振的危害性，人们非常关注颤振出现的最低边界，必须保证结构运行工况在颤振速度之下。

涡振是指流动绕过钝体，流动自身已经失稳，流动模态和结构模态的耦合进一步触发结构模态失稳，实质上存在两个模态的竞争问题。在涡振中，通常是结构模态占据主导，出现锁频。对于桥梁涡振问题，对应断面的沉浮运动，三维视角表现为波动。沉浮运动不仅附加的气动力较弱，而且由于结构刚度的立方非线性效应，很容易维持限幅振动，不容易发生发散破坏。由于涡振不具备颤振那样的破坏性，而且发生速度较低，会存在进入和退出两个风速边界，结构共振频率对应的风速通常在两个边界之间。

风工程研究领域中的驰振可分为两类，尾流驰振和经典驰振[7]。当两个圆柱沿风向串列时，上游圆柱的尾流区中存在一个不稳定的驰振区，若下游圆柱正好处于这一不稳定区中，其振幅就会不断加大，直至达到一个大振福的稳态极限环。来流方向的下游圆柱比上游圆柱发生更剧烈的流致振动，这称为尾流驰振[7]。而驰振主要发生在结构固有频率远离旋涡脱落频率的时候，是一种无界振动。当风速大于起始风速的时候，结构的振幅随风速增大一直增大，不存在退出边界。由于大多数驰振问题的减缩频率较低，工程中通常用准定常方法来进行解释和建立分析模型。

事实上，驰振和颤振都是由气动负阻尼导致的流固耦合失稳现象，从动力学的角度来看二者没有本质区别。然而，学术界始终将驰振和颤振分开来研究和讨论[13]。土木工程领域的学者习惯用驰振，而航空航天工程领域里的学者则一直用颤振来描述这种不稳定现象。不同领域的学者采用不同的术语常导致初学者和工程师的困惑，不利于跨领域问题的研究和工程问题的解决。我们最新的研究发现驰振本质上是一种单自由度颤振，叠加一个由自然涡脱导致的强迫振动。结构模态失稳导致结构出现大幅低频振动，而流动模态失稳则导致钝体尾部出现高频涡脱，两个失稳模态频率(流体和结构)差得较远，是共存的[14]。此外，我们也首次发现了驰振中的模态竞争机制，成功解释了某些状态下的驰振消失现象。若对驰振感兴趣，可以参阅作者近期的论文[14]。

实际上，对于形形色色的流致振动问题，如风工程研究领域中的颤振、涡振、驰振，以及航空工程研究领域中的颤振、抖振锁频、跨声速嗡鸣、失速颤振、发动机叶片的颤振，我们的研究体会是：虽然发生的状态和模式有很大差异，但根本的诱发机制有很大的共性，特别是各种单自由度失稳问题，其中的亚稳定或不稳的流动模态起到了核心的作用。关于跨声速的问题，若感兴趣可以参阅作者近期的综述论文[15]。

分离流动中各种流致振动问题，简单地用解耦的思路和共振的观点来解释结构大幅振动是过分强化了共振概念。实际上，很多危害性的流致振动问题恰恰是自激振动。对于附体流动中的经典颤振问题，理解自激振动是理所当然的，因为结构静止时外激载荷就消失了。但是像分离流中流致振动，如涡振、跨声速/大迎角抖振锁频、驰振等诸多问题，即使结构静止，由于流动动态分离，脉动载荷是一直存在的，这就很容易让人去用解耦的强迫共振思路去理解结构振动。实际上，当流动处于失稳或亚稳定状态，当结构模态和流动模态频率接近时(并不需要像共振那样重合)，很容易触发结构模态失稳，并进一步主导整个流固耦合动力学响应，伴随响应频率锁定于其固有频率的现象。至于在什么流动和结构状态下发生，以及如何减缓或抑制相关振动，则是流固耦合力学领域学者们需要长期攻关的问题。

5 结 论

塔科马大桥风毁的机理已基本认识清楚，是扭转模态为主的颤振导致的结构失稳，而不是卡门涡街激励的共振。

虎门大桥出现的波浪型弯曲振动，按风工程研究领域的定义属于涡致振动，很多学者用涡激共振解释。我们最新的研究认为涡激共振并伴随锁频的本质上仍是由于结构单自由度失稳所致，卡门涡街是诱发了结构失稳，而不是直接推动结构发生共振。

对于桥梁振动的抑制问题，由于桥梁结构复杂，存在模态数量多，频率密集，从结构的单自由度失稳的角度看，多阶弯曲振动很难同时避开中低风速下的易锁频区间。故在桥梁设计时，应通过桥梁气动外形修型，适当增加结构阻尼等方法避免和减缓在设计工况下的桥梁的风致振动。对已有桥梁，可以通过安装动力吸振器、流动控制装置等方法消除或减小振动。

由于流固耦合力学面对航空航天、土木工程、风工程、能源等多个行业，各行业面临的对象、问题的定义以及分析的模型都存在一些差异，导致不同行业的学者之间交流容易引起分歧。因此，未来有必要加强跨行业的交流和合作，更好地解决重大工程面临的相关问题。

致谢:感谢北京航空航天大学张华教授的勉励。感谢《空气动力学学报》唐志共主编约稿。