幂指函数的若干问题研究

杨方圆 韩彬玲

摘要：本文利用对幂指函数的性质进行了探讨，总结得出了幂指函数的三种求极限的方法，四种求导数的方法以及幂指函数的积分定理。

关键词：幂指函数;极限;微分;积分

一、幂指函数的求极限问题

由于，因此有，假设极限存在。那么求解就能转化为求.

若，此时幂指函数的极限类型为确定式，有，其极限求解较为简单，不做过多探讨，本文主要研究00型、∞0型和1∞型三种不确定式极限的求解问题。

（一）等价无穷小代换定理

1.幂指函数00的型极限

定义1.1设f（x）和g（x）在U0（x0）上分别有定义，f（x）、g（x）均是变化过程x→x0时的无穷小量，f（x）>0，即可将称为00型极限。

引理1.1设f（x）、g（x）、f1（x）、g1（x）在U0（x0）上分别有定义，且均是变化过程x→x0时的无穷小量，其中f（x）>0、f1（x）>0。如果f（x）～f1（x）、g（x）～g1（x），并且，则。

1.1幂指函数的∞0型极限

定义1.2设f（x）和g（x）在U0（x0）上分别有定义，f（x）、g（x）均是变化过程x→x0时的无穷小量，且有f（x）>0，即∞0可将型极限的幂指函数表示成。

引理1.2设f（x）、g（x）、f1（x）、g1（x）在U0（x0）上有定义，且均是变化过程x→x0时无穷小量，其中f（x）>0、f1（x）>0.如果有f（x）～f1（x）、g（x）～g1（x），且，则有。

1.2幂指函数1∞型极限

定义1.3设f（x）和g（x）在U0（x0）上分别有定义，f（x）、g（x）均是变化过程x→x0时的无穷小量，且有f（x）>0，即可将1∞型极限的幂指函数表示成，此时g（x）≠0。

引理1.3设f（x）、g（x）、f1（x）、g1（x）在U0（x0）上分别有定义，且均是变化过程x→x0时的无穷小量，，其中f（x）>0、f1（x）>0、g（x）≠0、g1（x）≠0。如果f（x）～f1（x）、g（x）～g1（x），且，则有。

2.洛必達法则

在幂指函数不确定式求极限中，可以将幂指函数化为以e为底的指数函数，利用洛必达法则求其指数极限，进而得出幂指函数极限，有：

（Ⅰ）00型：如果，

则有。

（Ⅱ）∞0型：如果，

则有。

（Ⅲ）1∞型：如果，

则有。

3.幂指函数型重要极限

（1）（其中）;

（2）（其中）。

4.幂指函数的极限举例

例1.1求极限。

解：该求极限问题为幂指函数的00型不确定式极限。

，令y=xx，等式两端同时取对数，有;

应用洛必达法则;

因此=e0=1。

二、幂指函数求微分问题

大学数学中关于幂指函数的导数求解内容很多，其求解方法可总结为四种，分别为对数求导法、指数求导法、多元函数求微分法和叠加法。

（一）对数求导法

（1）y=f（x）g（x）两边取对数得lny=g（x）lnf（x）;

（2）等号两边对x求导：;

（3）移项：（2.1）

（二）指数求导法

（1）y=f（x）g（x）=eg（x）lnf（x）;

（2）根据复合函数求导法可得：

y'=;

（3）对上式化简计算即可得（2.1）。

（三）多元函数微分法

y=f（x）g（x）引入中间变量s和t，而中间变量依赖同一变量x，令s=f（x），t=g（x），则可以将幂指函数y=f（x）g（x）转化成y=u（s，t）=st，这时可按照多元函数求解微分的方法进行求解幂指函数的导数。

根据二元复合函数的微分公式有

化简即可求得（2.1）。

（四）叠加法

对前面求导结果进行整理运算有：

观察发现，幂指函数求导时可将其分别看作指数函数和幂函数求导，再将求导数结果进行相加。

（五）幂指函数求导举例

例2.1求y=（lnx）ex的导数

解一：利用取对数求导法

取对数，有lny=exlnlnx，再对x进行求导，有

移项：。

解二：指数求导法（略）

三、幂指函数的求积分问题

关于幂指函数的积分问题，高等数学中并没有对其进行系统而具体的研究，也只是在一些考研习题中才可能会应用到。本文对幂指函数的积分求解以及积分性质进一步分析，并加以例题便于大家去理解应用。

（一）幂指函数积分的基本理论

在研究幂指函数的时候，利用前面求导得到的结论进行反推：

对等式两端求其不定积分，有

定理3.1如果f（x）和g（x）均为可微函数，且有f（x）>0，u（x）=（g（x）lnf（x））'，

则∫f（x）g（x）（g（x）lnf（x））'dx=f（x）g（x）+C（其中C为任何常数）（3.1）

（二）幂指函数的积分举例

例3.1求∫fxx（1+x+xlnx）dx。

解：∫fxx（1+x+xlnx）dx可以化简成为，又相当于。

的某个原函数为（x+1）lnx事实上，;

所以：∫xx（1=x+xlnx）dx=xx+1+C（其中C为任何常数）。

结语

以上对幂指函数性质进行了研究讨论，通过对幂指函数极限、微分、积分的性质及其求解方法进行整理分析，更好地认识了幂指函数，掌握了一些较为便捷的求解方法与技巧，希望会对大家学习数学有一定的帮助。

参考文献：

[1]刘元宗，黄诚.一个求幂指函数的极限定理及其应用[J].新乡学院学报，2016，33（3），65-66.

[2]李宏杰.幂指函数导数的计算方法探究[J].科技创新导报，2015，（14），20-23.