应用型人才培养目标指导下的离散数学课程教学内容改革

张胜男，牛连强，杨德国，陈 欣

（1.沈阳工业大学 软件学院，辽宁 沈阳 110870；2.沈阳工业大学 理学院，辽宁 沈阳 110870）

0 引 言

离散数学是研究离散量的结构及其相互关系的一门学科，是由逻辑学、集合论、关系理论、图论、抽象代数、布尔代数甚至算法设计、组合分析、离散概率和计算模型等汇集起来的一门综合学科。由于数字电子计算机是一个离散结构，只能处理离散（化）的数量关系和数学模型，这正是离散数学的主要研究内容。为此，《中国计算机科学与技术学科教程2002》将其界定为计算机科学与技术专业的核心基础课程，美国IEEE&ACM也确定其为计算机专业的核心课程[1-2]。

1 由应用型确定的教学目标

应该说，计算机及其相关专业的绝大部分课程，都直接以离散数学作为理论基础，也可以说是离散数学的直接运用，或者说需要依靠离散数学课程的观点、方法和逻辑思维能力解决具体问题。因此，离散数学课程的教学目的就是要建立逻辑（数学）推理能力，了解重要的离散对象、结构与方法，能够综合运用合适工具（技术）构建复杂工程问题的模型及解决方法，并能分析、说明模型乃至解决方法的正确性和有效性。

从应用型的人才培养视角，仅就理论基础（知识）而论，目前并没有明确的、统一的共识，普遍接受的观点是重在“用”而非“研究”。对于不同的学校不同的培养定位不同的学生层次，容易接受的看法有二：其一是“坚实”，指有足够了解，能够分辨理论模型的优劣，能够在若干模型或方法中平衡、选择并综合运用，对理论的产生、进展、论证甚至更深的发展不必做过多了解[3]；其二是“够用”，指在同类方法中有选择性地掌握主要方法，有针对性地构造示例，解决对应的问题[4]。对于大多数以应用技术型而非技能型人才为培养目标的学校，更倾向于选择前者。

由于缺乏理论指导以及充分的讨论、理解，即便在以应用型为培养目标的学校、专业内部，也没有完全达成共识，这导致同一门课的任课教师之间也不易统一观点，包括教材选择、教学方法、实验、讨论等几乎所有方面。对于大多数地方高等工科院校，“具备坚实的理论基础”是专业确定的应用技术型人才培养目标，上述所有问题的答案都需要根据学生的具体情况和专业的人才培养目标定位给出。

2 结合课程主旨体现工程应用

离散数学是公认的理论性强及内容多，这从文献[5]可得到论证。因此，如何把握课程的核心主题，谨慎选择工程应用理论和应用案例，理清各种理论的掌握程度和适合学生的自然条件基础就成为课程的教学内容改革的关键。

2.1 不偏离课程的核心主题

为了体现应用，说明课程内容并非仅是理论并吸引学生兴趣，部分教师提倡在课程中引入程序设计内容，比如集合运算、算法验证等[6]。当这种要求过多时，在一定程度上是与课程主题有偏离的。

通常，离散数学课在一、二学期开设。对于普通院校的学生，即便是程序设计技术掌握较好者，在大学里一般也仅学过C 语言程序设计课程（或一门其他语言）。鼓励学生通过编程理解离散数学的部分内容是有益的，对编程训练也有帮助。不过，这种做法常常流于“验证”，缺少对“想”的训练，尤其容易使学生陷入程序设计的细节中，这不免有些“跑偏”。归根到底，理论性强的课程其核心作用之一是促进思维的训练和形成，通过对一般原理的掌握建立抽象、分析、说理（论证）的能力，编程虽然有助于理解问题，但无法替代抽象思维过程。

从专业的角度看，离散数学比高等数学、线性代数等数学类课程更符合学科和专业内涵，对领域内的问题抽象更直接。引导学生针对实际问题选择、抽象和运用模型是训练其解决复杂工程问题的前提，这比训练其通过编程计算出两个集合的交集更重要。

2.2 从更高的层次引导兴趣

兴趣是取得成功的基础，不同的兴趣会得到不同的结果。通过编程验证了两个命题的不可兼析取的结果固然能增强学生的兴趣和自信心。但能通过思考理解并正确解释，建立其与C 语言中的异或操作、通过XOR 操作支持的动画之间的联系，会使学生得到更高层次的兴趣。通过编程验证了Kruskal 算法的工作机理虽有帮助，但能不借助工具分析并肯定其正确性，甚至从Kruskal 算法依据边计算最小生成树的角度出发，进而思考是否可从点的角度生成最小生成树，可以使学生产生更浓烈的兴趣。即便通过教师启发，引导其设计出这样的算法，对创新训练也更有益处。

从本质上说，课程的兴趣引导来源于两个层面：其一是验证一些简单运算，其二是对模型的理解和应用。在有限的时间内，究竟引导学生获得怎样的兴趣是需要教师认真讨论和斟酌的。从知识的内容方面讲，并非理论课程都要通过编程提高兴趣，正如高等数学、线性代数或概率与数理统计等课程一样，对头脑的思维训练和编程训练的目标、作用和结果均不相同，兴趣点的偏移会使一门课程的核心目标大打折扣。

2.3 选择具有工程应用性的问题

选取相关领域中有代表性的工程应用实践问题作为示例、习题或思考题，消除学生总认为学理论与实际脱节的误解，激发其学习课程的兴趣，提高解决实际问题的能力是培养应用型学生需要注重的，而问题应该是稍完整的、需要结合理论解决的，通常并非是对书中介绍方法本身的验证。例如：

（1）在命题逻辑中，如何将自然语言翻译成符号逻辑表达式，以及生成精确、无二义性的规范说明？

（2）在谓词逻辑中，如何利用一阶逻辑描述一个机器人的状态与工作方式？

（3）利用一个小集合消除另一个图（集合）的边界、填补图（集合）的孔洞应如何处理？

（4）为了分析自己的朋友之间的关系，采用什么模型？能从中分析出什么结果？

这样的示例举不胜举，其共同特点是：有较强的应用背景，问题的解决不是对课本知识的简单验证，需要将问题抽象成稍微完整的模型，选择适当的工具，得到结果的好坏也需要适当分析。

对于一个应用问题，在有限时间内引导学生能够选择和运用正确的模型和理论，甚至利用合适的方法和工具描述模型、算法，本质上优于采用程序对简单运算的验证。

当然，在有限的学时内，对于新的成果、大量的相关问题及其解决方案不可能全部囊括，仅是一斑。对于很多问题，可以列出供参考的论文等素材，引导学生自己探索。考虑学生的实际情况，这些内容只是作为课堂的延伸和拓展，以辅助学习和思考为主、研究为辅。因此，教师指定的材料不是专门的理论研究而是程度较浅的应用型文章、教学论文乃至书籍。

3 面向应用型的教材选择及建设

教材是教与学的第一手资料，是决定课程教学成功与否的重要教学元素。就离散数学课程而言，有一些相当成功的教材，如Kenneth H.Rosen 的《Discrete mathematics and its applications》[5]、左孝凌的《离散数学》和屈婉玲、耿素云的《离散数学》等。在笔者近30 年的教学实践中，采用这些教材取得过一定成功，但也存在着诸多问题，且随着高等教育大众化的进程，暴露出的问题愈加明显。概括地说，这些教材大而全，更关注理论与知识体系的完整性，而作为教师，选择时应充分考虑学习对象本身的情况和层次、学时的减少以及工程教学目的的变化等实实在在的因素。这些问题在湖南大学的张洪圣等教师编写的教材中已经部分提及。举例说，普通工科高校在我国高校中占大多数，但这些学校的学生与985、211 高校存在着很大差异，以学术研究为目标的教材和教学内容上的趋同不仅达不到“拔高”的目标，反而使学生过早丧失学习兴趣，形成一系列不良的连锁反应。又如，在仅有48～64 学时的教学时间里，难以期望把类似离散概率、组合设计、形式语言、自动机等内容都灌输给普通院校的学生[6]，这也是一些专家提倡有的放矢地编写教材的原因[1]。

对于一般普通工科高校的计算机、软件工程及其相关专业的教学，编写通俗、易于理解、易于自学、有一定工程应用背景和实际问题引导的教材是合适的[7]。

3.1 选择适度内容

教材不应追求体系的完整、内容的全面和对理论的深入探讨，可以舍弃中学学过的简单组合计数等问题，也不宜用过多篇幅讨论前文提到的离散概率、组合设计、形式语言等内容，甚至可以直接舍弃。某些数据结构等课程中涵盖并重点讨论的算法可以简要说明其功能，以免使内容过于膨胀，也可以尽量避免与后续课程重复。

3.2 培养严密的逻辑思维和表达能力

目前教材的内容编排次序主要有两种，分别是从集合论引入和从命题逻辑引入，本文建议以逻辑学而不是集合论为出发点，用命题逻辑和一阶逻辑主导解决后续所有问题的思维，以便强化分析、解决问题的逻辑性和抽象表达能力。

在以集合论为出发点时，由于没有符号逻辑基础，既难以对问题进行严密的逻辑分析和表达，也容易与后续内容重复。

例如，考虑定理“对任意的集合A，有Ø⊆A，即空集是任意集合的子集”。由于空集没有任何元素，通常用反证法证明：

若Ø⊆A为假，则为真。因为

事实上，要证明Ø⊆A成立，只要说明为真，可以依据命题逻辑中条件联结词的性质直接证明：

于是，Ø⊆A成立。

这里明确使用了“条件句在前提为假则命题为真”的原理。在没有命题逻辑准备时，严格的逻辑推演难以进行，也无法给出直接证法。课程中的大量问题都是对一个概念是否成立的判定，而这又取决于判定描述此概念的条件命题是否为真，直接证法更有利于理解在条件为假时一个概念是满足的。

此外，集合运算存在大量的性质都可以由命题联结词的性质直接得到，从集合论入手不仅与内容命题逻辑重复，上述推理形式难以严格表达，部分性质还需要花更多的时间才能理解。

3.3 强调概念及一般性指导

离散数学也是数学，内容抽象，其核心结论都建立在概念基础上。因此，需要通过信息相关领域实例、问题引导、分析、评价、辨析等步骤，将概念讲解透彻，避免读者需要花过长的时间思考或借助参考书才能读懂。

为了在有限的课时内突出应用性，需要总结、概括和突出解决各类问题的核心内容，说明此类问题的实质和解决方法的关键思想，而不是拘泥和追求一个具体题目的解法。否则，仍可能导致学生过于关注某个细节问题。

另一个值得注重的问题是精炼结果。离散数学中存在很多定理，过多罗列已有结果令人眼花缭乱，还会误导学生机械记忆而不是由基本概念出发主动思考、探究和发现结果。同时，尽管多做习题有助于问题的理解，但需要消耗大量的时间和精力，过多的习题也容易使人恐惧并产生排斥心理。为此，应尽量精简定理与习题。

值得说明的是，一般认为，作为教材，通常应有一定的“余量”。对于一般工科学生采用的教材而言，建议这种“余量”不宜过大，要适度，少而精，防止篇幅膨胀，可给学生以信心。同时，可采用文献[5]作为参考书目（该书被全球600 多所大学采用，内容十分丰富），以引导学有余力的学生对知识做进一步的拓展。

4 结 语

面向应用的理论课程教学改革难度较大，课程内容调整是基础，其取决于学生的实际情况、教学上的要求以及人才培养工程化、应用化的实际需求等诸多因素。由于课程性质不同，每一门课程有自己的目标和任务，需要对激发学生的兴趣点准确把握，并采取与之相适应的教学内容和教学方式。对于离散数学课，兴趣点的偏离既可能淡化课程的主题和目标，也有可能承担了并非本课应该承担的任务，从而影响对于问题抽象、建模和逻辑推理能力的训练。此外，在把更多的时间、思考、总结、发现任务交给学生时，教材也要有助于学生自主学习。教材既不能包罗万象、求深求全，也不能只是“干巴巴”的纲，更不应连一节中有几个重要概念、主要方法之类的总结都由教材代替，否则，学生仍是一台简单理解和记忆知识的机器，解决复杂工程问题的能力很难培养出来。