贝叶斯公式的一些应用

彭峰集

摘 要：贝叶斯公式是概率论与数理统计中一个非常重要的定理，它是一种非常重要的统计推断方法。本文主要讨论贝叶斯公式的一些简单应用。

关键词：贝叶斯公式; 统计推断; 全概率公式

中图分类号：O211           文献标识码：A      文章编号：1006-3315（2020）8-123-001

贝叶斯公式是概率论与数理统计课程中一个非常重要的定理。贝叶斯公式又被称为贝叶斯定理或者贝叶斯规则，它是概率统计中应用所观察到的现象对有关概率分布的主观判断进行修正的标准方法[1]。

贝叶斯公式是由英国数学家和数理统计学家托马斯·贝叶斯于18世纪提出来的。贝叶斯在数学方面的主要研究是概率论。他首先将归纳推理法用于概率论的基础理论研究，并创立了贝叶斯统计理论。他对于统计决策函数、统计推断、统计的估算等方面做出了非常大的贡献。他对统计推理的主要贡献是使用了“逆概率”这个概念，并把它作为一种普遍的推理方法提出来，这就是概率统计中的贝叶斯公式，也称为逆概公式[2]。贝叶斯公式与其他统计学推断方法的一个明显的不同之处在于，它是建立在主观判断的基础之上的。

一、贝叶斯公式的内容

贝叶斯公式要用到乘法公式和全概率公式，它是乘法公式和全概率公式的综合运用，它以乘法公式为基础，可以看成全概率公式的逆，所以很多时候我们把贝叶斯公式也叫做“逆概公式”。

设事件A1，A2，…An是样本空间[Ω]的一个划分，即他们满足

AiAj=[ϕ] （i[≠]j）;[Uni=1]Ai=[Ω]

且P（Ai）[>]0（i=1，2，…n），B为样本空间[Ω]中的任意一个事件且P（B）[>0]，则

P（[AK] B）=[P（AkB）P（B）]=[P（Ak）P（BAk）i=1nP（Ai）P（BAi）] ，（k=1，2，…，n）

這个公式就是贝叶斯公式，也称为逆概公式。

从直观上来说，贝叶斯公式表明，当已知事件B已经发生的条件下，并且我们知道导致事件B发生有下列n个原因：A1，A2，…An。此时，我们可以反过来推断每个原因Ak导致它发生的概率P（[AK] B），（k=1，2，…，n）。

二、贝叶斯公式的应用

贝叶斯公式在实际生产和生活中有很多的应用。当今社会飞速发展，市场竞争日趋激烈，生产商和营销商必须通过市场的现状和以往的情况，对市场的下一步发展做出合理的推断，对公司的发展给出英明的决策。这个时候，贝叶斯公式是进行决策分析的一个重要工具了，它主要用来处理先验概率和后验概率。另外，在医学判断、信号处理和其他一些不确定性问题等方面，贝叶斯公式也有很多作用。我们通过下面的例子来说明贝叶斯公式的一些实际应用。

例1：某电信公司将两个信息分别编码为“+”和“-”传送出去，接收站收到时，“+”被误收作“-”的概率为0.02，而“-”被误收作“+”的概率为0.01，信息“+”和信息“-”传送的频繁程度为2：1。若接收站收到的信息是“+”，问该公司原始发出的信息确实是“+”的概率是多少？

解：设A1={发出信号“+”}，A2={发出信号“-”}，B={接收信号“+”}，本题要求的是P（[A1] B）。由题意可知，

P（A1）=[23]，P（A2）=[13]，P（[B] A1）=0.98，P（[B] A2）=0.01。

由全概率公式可知，

P（B）=P（A1）P（[B] A1）+P（A2）P（B/A2）=[23][×]0.98+[13][×]0.01=[197300]。

再由贝叶斯公式可知，

P（[A1] B）=[P（A1B）P（B）]=[P（A1）P（BA1）P（B）]=[23×0.98197300]=[196197]。

这样，我们可以看出若接收站收到的信息是“+”，则该公司原始发出的信息确实是“+”的概率是[196197]，这说明这个信号是可信的。

在实际应用中，贝叶斯公式和全概率公式经常联系在一起进行统计推断。贝叶斯公式通过已经发生的事件来反过来推断导致其发生的各种原因的出现的概率，这种推断方式在实际生活中有很多的用处，值得我们进行深入的探讨和学习。

参考文献：

[1]概率论与数理统计，浙江大学，高等教育出版社，2008

[2]概率论与数理统计，中山大学数学系，高等教育出版社，1988