基于排队论分析ATIS缓解拥堵的作用

程然　王春生　徐博文

摘  要：在我国许多城市，交通拥堵已经严重影响了人们的生活和工作，特别是在高峰时期，汇聚拥堵路段的车辆可以说是寸步难行。针对车流在高峰时期拥堵而产生的排队现象，利用排队论分析在有无ATIS情况下车流的通行效率，以排队车辆的平均等待时间和排队长度等作为主要参数，分析ATIS对这些参数的影响。通过研究分析，使ATIS缓解城市交通拥堵的作用更具体化，从而为城市管理者的决策提供数据支撑。

关键词：交通拥堵;排队系统;平均队长;等待时间

中图分类号：U491      文献标识码：A 文章编号：2096-4706（2020）05-0164-04

Analysis of the Role of ATIS in Relieving Urban Traffic Congestion

Based on Queuing Theory

CHENG Ran，WANG Chunsheng，XU Bowen

（School of Traffic and Transportation，Lanzhou Jiaotong University，Lanzhou  730070，China）

Abstract：In many cities of our country，traffic congestion has seriously affected our life and work，especially in the peak period，it is difficult to move the vehicles in the congested sections. Aiming at the queuing phenomenon caused by the traffic jam in the peak period，this paper analyzes the traffic efficiency of the traffic flow with or without ATIS by using queuing theory，and takes the average waiting time and queuing length of the queuing vehicles as the main parameters to analyze the impact of ATIS on these parameters. Through research and analysis，the role of ATIS to alleviate urban traffic congestion is more specific，so as to provide data support for urban managersdecision-making.

Keywords：traffic congestion;queuing system;average captain;waiting time

0  引  言

近年來，我国许多城市出现了严重的交通拥堵问题。高德《2017年度中国主要城市交通分析报告》显示，2017年我国高峰时期有26%的城市处于拥堵状态，55%的城市处于缓行状态，作为年度“堵城”第一的济南，高峰拥堵年度指数2.067，平均车速21.12公里/小时，2017年共有2 078.0个小时处于拥堵状态，平均每天拥堵5.7个小时。为了解决城市交通拥堵问题，许多专家学者先后提出了交通需求管理和交通系统管理以及近些年来热门的智能交通。

先进的出行者信息系统ATIS（Advanced Traveler Informa-tion System）是利用传感技术、计算机技术、通信技术和控制技术等诱导和控制车辆的运行，有效地解决交通的诸多问题。该系统被认为是智能交通系统的一个核心部分[1]。

排队论也称随机服务系统理论，是研究“服务”系统因“需求”拥挤而产生等待行列（即排队）的现象以及合理协调“需求”与“服务”关系的一种数学理论。排队系统主要由3个部分组成：输入过程、排队规则和服务方式[2]。

（1）输入过程：服务对象按怎样的规律到来;

（2）排队规则：到达的对象按怎样的次序接受服务;

（3）服务方式：指同一时刻有多少服务台可接纳顾客，为每一顾客服务了多少时间[3]。

笔者通过在校期间对《排队论》与《交通工程学》相关课程知识的把握，利用排队论分析了ATIS对交通通行效率的提高。

1  排队服务系统

1.1  单通道服务系统

在高峰时期，车辆不得不排队等待，而城市道路中可供出行的道路往往不是唯一的，因此车辆在遇到拥堵时可以选择绕道而行。我们首先分析只有一条道路可供选择的情况，此时我们做出如下假设：

（1）在高峰时期，所有车辆到达的时间间隔都服从相同的分布;

（2）在高峰时期，单位时间内能够通行的车辆数服从相同的分布。

这时我们可以将之看作是一个单通道服务系统，单通道服务系统如图1所示。

下面我们先分析最简单的单通道服务系统：由于我们分析的是拥堵路段的排队，一般来说排队车辆数量很大，可以近似地将顾客来源看作是无限的，假定顾客到达时间间隔服从负指数分布且不同的到达时间间隔相互独立;服务台服务一个顾客的服务时间服从负指数分布且服务时间相互独立;服务时间与顾客到达时间间隔相互独立。这时排队系统就是一个简单的M/M/1/∞排队系统。

设顾客流是参数为λ的泊松流，λ是单位时间平均到达的顾客数（到达率），因此顾客的到达时间间隔τ服从参数为λ的负指数分布，密度函数为a（t）=λe-λt（t≥0），服务时间V服从参数为?的负指数分布，密度函数b（t）= ?e-?t（t≥0）。?表示在服务台处于持续繁忙的状态下单位时间内平均服务完的顾客数（服务率）[4]。设ρ=λ/?，ρ称为服务强度;设N（t）表示t时刻系统中的顾客数（包含正在接受服务的顾客）;再设pk（t）=P（N（t）=k（k≥0）），表示系统在t时刻的顾客数为k的概率。由于顾客的到达时间和服务时间都服从负指数分布，而负指数分布具有无记忆性，因此过程在进行一段时间后，剩下的到达时间间隔和剩下的服务时间应该与原来的分布相同，此过程是一个马尔可夫链，通过进一步的推导，还可进一步得出该过程是一个生死过程[5]，设生死率分别为λi、?i，则有：

由生死过程平稳求解公式：

得到M/M/1/∞排队系统的平稳分布：

只要ρ=，则平稳分布存在，其中p0==1-ρ。

于是得出平稳分布为几何分布pk=（1-ρ）ρk（k≥0）。

下面我们用N表示队长， 表示平均队长，则：

用N′表示等待队长， 表示平均等待队长，则：

因此可求出N′的平稳分布：

平均等待队长为：

下面求顾客的等待时间和逗留时间。用w表示在任意时刻到达的顾客在接受服务之前在系统中的等待时间，令W（t）=P（w≤t），则等待时间为：

W（t）=P（w=0）+P（00）

其中Vi为服务第i个顾客的时间。

其密度函数为：

w（t）=

平均等待时间：

逗留时间是等待时间和服务时间的和，即T=w+V。

平均逗留时间：

1.2  单路排队多通道服务系统

在有多条路径可供选择的情况下，車辆出行有ATIS的指引，我们假设：

（1）车辆的到达时间间隔服从相同的分布;

（2）每条可供出行的道路上单位时间内能够通行的车辆数服从相同的分布;

（3）所有车辆在选择了既定的出行道路之后可以根据实际道路通行情况自由转换其他的出行路径排队。

这时我们可以将之看作是一个单路排队多通道服务系统，如图2所示。

M/M/m/∞排队系统：设有m个服务台，当顾客到达时，若有空闲服务台便接受服务，否则排队等待。我们假定顾客的到达服从泊松流，参数为λ;服务台相互独立工作，服务时间服从相同的负指数分布，参数为?。N（t）表示t时刻排队系统的队长，{N（t）}是齐次马尔可夫链，类似于对M/M/1/∞排队系统的推导，{N（t）}也是生死过程[5]，其参数为：

接下来求出排队的平均等待队长和平均等待时间。

只有当排队系统中的顾客数N≥m时，顾客才不得不排队等待，因此平均等待队长为：

平均忙的服务台数为：

平均队长为：

等待时间的分布为：

W（0）=P（w=0）=P（N

W（t）=P（w≤t）=P（w=0）+P（0

平均等待时间为：

平均逗留时间为：

1.3  多路排队多通道服务系统

在有多条路径可供选择的情况下，车辆出行没有ATIS的指引，我们假设：

（1）每条可供出行的道路上的车辆到达时间间隔服从相同的分布;

（2）每条可供出行的道路上单位时间内能够通行的车辆数服从相同的分布;

（3）所有车辆在选择了既定的出行路径之后只能在原来的道路上排队等待，不得再选择其他道路出行。

这时我们可以将之看作是一个多路排队多通道服务系统。多路排队多通道服务系统如图3所示。

对于多路排队多通道服务系统，我们可以将之看作是m个单路排队单通道服务系统。

2  m个M/M/1/∞系统与M/M/m/∞系统的比较

如果将到达流均匀分配到m个M/M/1/∞系统中去，每个子流的输入强度为 ，仍然是泊松流。这时我们把m个单服务台的多排队多通道服务系统与具有m个服务台的单排队多通道服务系统的各项指标做比较。假定每个服务台的服务率都为?，且ρ=<1，则有以下方面。

2.1  服务强度

M/M/m/∞系统的服务强度为ρ=。m个M/M/1/∞系统为ρ==，二者相同。

2.2  空闲概率

M/M/m/∞系统p0=

因为：

>

从而有p0<1-ρ。

而M/M/1/∞系统p0=1-ρ。即得M/M/m/∞系统空闲的概率小于m个M/M/1/∞系统空闲的概率，系统使用相对充分。

2.3  等待概率

M/M/m/∞系统的等待概率为：

因为：

所以：

而M/M/1/∞系统的排队等待概率为C（1，）=ρ，由此得出m个M/M/1/∞系统排队等待的概率较大。

2.4  等待队长

M/M/m/∞系统的平均等待队长为：

M/M/1/∞系统的平均等待队长为：

由此得出M/M/1/∞系统等待队长较长：

2.5  队长

M/M/m/∞系统的平均队长为：

m个M/M/1/∞系统的平均队长是M/M/1/∞系统平均队长的m倍，即 ，而 。

由此得出m个M/M/1/∞系统的平均队长较长：

2.6  等待时间

M/M/m/∞系统的平均等待时间为：

M/M/1/∞系统的平均等待时间为：

由此得出 ，M/M/m/∞系统的平均等待时间较短：

2.7  逗留时间

M/M/m/∞系统的平均逗留时间为：

M/M/1/∞系统的平均逗留时间为：

由此可得 ，M/M/m/∞系统的平均逗留时间较短：

综上所述，我们可以得出两种系统的相应指标对比，如表1所示。

3  结  论

交通堵塞不仅仅只是发生在空间和时间上的堵塞，同时也是由于交通信息不流通而导致的堵塞[6]，未来的社会将是信息化的社会，交通也将越来越智能化，先进的出行者信息系统ATIS将在交通中发挥出越来越重要的作用，通过ATIS的引导，可以使车辆在发生拥堵时更加全面地了解路段信息，自由地选择出行路径，大大地节约了出行时间和出行成本，有效地缓解了交通拥堵。文中在建立模型时，假设每个服务台的服务效率是相同的，这与现实有一定的差距，在未来的研究中，将对不同服务效率的排队系统进行分析，以完善模型。

参考文献：

[1] 袁理.ATIS出行者信息系统相关问题研究 [D].成都：西南交通大学，2010：118.

[2] 于志青.排队论在交通工程中的应用研究 [J].中州大学学报，2005（1）：118-119.

[3] 王炜，过秀成，等.交通工程学：第2版 [M].南京：东南大学出版社，2011：110-111.

[4] 陈希孺.概率论与数理统计 [M].合肥：中国科学技术大学出版社，2009：60-83.

[5] 孟玉珂.排队论基础及运用 [M].上海：同济大学出版社，1989：93-102.

[6] 杨智伟.基于ATIS的交通出行信息选择行为及支付意愿研究 [D].大连：大连理工大学，2010：3-7.

作者简介：程然（1993.05-），男，汉族，湖北仙桃人，硕士，研究方向：交通管理与控制。