基于环境温度模型库分段式加权的数控机床热误差建模

李 兵 苏文超 魏 翔 白金峰 蒋庄德

(1.西安交通大学机械制造系统工程国家重点实验室， 西安 710049;2.西安交通大学微纳制造与测试技术国际合作联合实验室， 西安 710049)

0 引言

随着工程技术的发展，精密及超精密的数控机床越来越受到重视，在社会生产、科学研究和国防安全等领域发挥着重要作用。然而，机床在运行和加工过程中不可避免地存在各种误差，为提高机床的加工精度，需要对其误差进行补偿。按照误差源的不同，机床误差一般包括热误差、几何误差和载荷引起的误差。其中，热误差在机床总误差中占比40%～70%[1-3]，越精密的数控机床热误差占比越高。因此研究热误差补偿技术对提高机床加工精度至关重要。

热误差补偿技术需要依靠可靠的测量设备、有效的测量方法以及能准确反映机床温度敏感点温度与热误差对应关系的数学模型[4]。近年来，国内外学者对热误差补偿模型进行了大量研究，常用的热误差模型有基于最小二乘的多元线性回归模型[5-6]、BP神经网络模型[7-8]、分布滞后模型[9]、灰色理论模型[10-11]和支持向量机模型[12]等，还有各种组合模型[13-14]，如基于灰色理论预处理的神经网络模型[15]、时间序列-神经网络混合模型[16]等。不同的热误差模型有不同的预测准则，预测效果也受多种因素影响，其中环境温度是影响各类热误差模型预测精度和稳健性的主要因素之一。以某一环境温度下的样本建立模型，当环境温度变化较小时，模型往往有较高的预测精度[17]；当环境温度改变较大时，机床各零部件热量分布会产生较大变化，模型稳健性往往较差，预测精度会很低。针对以上问题，常采用增加多种环境温度下的数据作为建模样本的方法，或采用泛化能力更好的模型，如支持向量机模型[18]。

基于环境温度变化相对平缓、但对加工结果却影响较大的特性，本文提出一种基于环境温度的模型库分段式加权的热误差建模方法。该方法将不同环境温度样本的初始环境温度设置为节点温度，取等间隔节点温度的样本分别建模组成模型库，以预测时的初始环境温度为依据，搜索与模型库中节点温度最接近的两个模型分别预测，并根据规则对两个模型的预测结果进行加权，计算得到最终热误差。通过与单一环境温度样本的回归模型、多环境温度样本的线性回归模型和支持向量机模型进行对比，分析该模型在环境温度变化较小和较大情况下的热误差预测精度。

1 分段式加权模型

分段式加权模型建模需建立多个基于不同节点温度样本的单个模型组成模型库。单个模型建模方法的选择可按照以下原则，即用多种建模方法对环境温度变化较小的情况进行预测，选择预测精度最高的建模方法作为模型库中单个模型的建模方法。若以BP神经网络建立模型库中的单个模型，则分段式加权模型基本结构如图1所示。

图1 基于BP神经网络的分段式加权模型基本结构Fig.1 Basic structure of piecewise weighted model based on BP neural network

1.1 模型库中常用的单个热误差模型

模型库常用的单个热误差模型包括多元线性回归模型(Multiple linear regression, MLR)、BP神经网络模型(BP neural network, BP-NN)、分布滞后模型(Distributed lag, DL)、灰色理论模型(Grey theory, GM)和支持向量机模型(Support vector machine, SVM)，各模型优缺点如表1所示。由表1可知，各模型均具有优缺点，分别用以上模型建模，通过补偿效果，选择作为模型库中的单个模型。

表1 热误差模型优缺点Tab.1 Thermal error model advantages and disadvantages

1.2 分段式加权模型计算原理

一般机床周围环境温度随四季变化而变化，针对常用的模型对于随四季变化时模型预测精度低的问题，提出了基于模型库分段式加权的建模方法。机床的环境温度为0～40℃，此处设置节点温度间隔为5℃，故需采集节点温度分别为0、5、10、15、20、25、30、35、40℃时的机床热误差数据，根据模型库中单个模型的选用原则，选定模型库中的模型类型，之后用不同节点温度的热误差数据建模，组成数据库。

假设测试数据的初始环境温度为t,系统分别计算节点温度与t之间差值的绝对值，即|0-t|、|5-t|、|10-t|、|15-t|、|20-t|、|25-t|、|30-t|、|35-t|、|40-t|，选取绝对值最小的两组数据对应的节点温度，假设为Tt1和Tt2并且Tt1

(1)

2 热误差测量实验

2.1 传感器布置

2.1.1温度传感器布置

为了避免错过温度敏感点，温度传感器应尽量布置在热源附近且尽可能多的布置[19-20]。本文以UPM120型精密数控铣床为研究对象，该铣床热源主要包括Z轴伺服电机、X和Y轴直线电机、转台的扭矩电机、Z轴丝杠螺母副及其上下支撑轴承、主轴、X和Y轴气浮导轨、Z轴液压导轨、周围环境，因此温度传感器布置如图2所示。

图2中T1位置处为Z轴伺服电机；T2位置处为丝杠上轴承座；T3位置处为丝杠螺母；T4位置处为丝杠下轴承座；T5位置处为Z轴溜板；T6位置处为主轴夹座；T7、T8和T9位置处为主轴；T10位置处为Y轴电机；T11位置处为X轴电机；T12位置处为X轴溜板靠近电机处；T13位置处为转台电机；T14位置处为环境温度。

2.1.2位移传感器布置

根据国际标准《机床检验通则第三部分：热效应的确定》可知，热误差由主轴端部与装夹工件工作台之间的相对位移变化产生[21-22]。因此，将检验棒安装在主轴末端，3个位移传感器用磁力表座固定在转台上，分别测量X、Y、Z轴3个方向的位移变化量，具体布置如图3所示。

图3 位移传感器布置Fig.3 Layout of displacement sensors

2.2 热误差采集

UPM120型机床是基于涡旋盘加工的精密铣床，其加工方式为展成法。展成法加工涡旋盘时，Z轴进给到涡旋盘底面后，X轴平动配合转台转动实现涡旋曲面的铣削加工，此时Y轴方向只有微小的插补运动可视为不移动，因此模拟工况设计实验行程如图4所示，设置进给速率为600 mm/min，设置主轴的转速为20 000 r/min，每完成6个工作循环(约3 min)主轴停转，在采集点处软件同步对温度和位移进行采集，连续采集5 h完成热误差采集。

图4 机床行程示意图Fig.4 Diagram of machine tool’s route

为得到不同环境温度下的热误差，在4—8月的不同时段对数控铣床进行了7组热误差测量实验，测量的批次、初始环境温度和环境温度如表2所示。

表2 实验批次初始环境温度和环境温度范围Tab.2 Initial ambient temperature and ambient temperature range of different experiments ℃

3 温度敏感点筛选

温度敏感点筛选[23-25]即从众多测温点中按照某种方法选择几个最具代表性的测温点，参与热误差建模。若测温点选择过少，会造成建模信息的缺失，从而降低了模型精度，若选择太多，则会增加设备成本同时降低了模型稳健性。因此，温度测点的优化选择是热误差建模和补偿中的关键技术，采用模糊聚类和灰色关联度相结合的办法。

由于机床本身各测温点热的交互作用，因此温度测点间存在很强的相关性，为避免建模中多重共线性问题对模型精度和稳健型的影响，采用模糊聚类算法定量表示样本间的模糊关系，把序列间相关性高的分在一起，选择不同的阈值λ会有不同的分类形式。通过统计量F对不同的分类进行评价，选择评价最高的作为模糊聚类的最终分类。采用灰色关联度算法评价测温点和热误差的相关程度，相关程度可以用数值定量表示，根据计算结果选择模糊聚类最终分类的每一组中关联度最高的测温点作为该组的温度敏感点，算法流程如图5所示。

图5 温度敏感点筛选算法流程图Fig.5 Flow chart of screening algorithm for temperature sensitive points

根据模糊聚类和灰色关联度相结合的方法，最终确定X、Y、Z轴3个方向热误差对应的温度敏感点为T1、T2、T8、T14。

4 分段式加权模型建立与预测精度分析

以Z轴方向热误差为例，利用分段式加权模型对该方向热误差进行建模和预测精度分析，验证分段式加权模型的有效性。

4.1 模型建立

选择节点温度的间隔为5℃，选取K4、K5和K6批次数据为样本，3组样本环境温度相差不大，初始环境温度最大相差约5℃，以K4作为建模样本，K5和K6作为预测样本，分别用多元线性回归模型(MLR)、BP神经网络模型(BP-NN)、分布滞后模型(DL)、灰色理论模型(GM)和支持向量机模型(SVM)进行建模和预测。通过以上方法选择环境温度变化不大时预测效果最优的模型，作为组成模型库的单个模型。

5种模型对3个批次的预测标准差如表3所示，其中拟合精度即为5种模型对K4的预测，5种模型对K5和K6预测值和预测残差如图6、7所示。

表3 5种模型预测标准差Tab.3 Fitting and prediction standard deviation of five models μm

图6 5种模型对K5批次热误差预测值和预测残差Fig.6 Predictive value and predictive residual error of K5 using five models to predict

图7 5种模型对K6批次热误差预测值和预测残差Fig.7 Predictive value and predictive residual error of K6 using five models to predict

由表3和图6、7可知，对于该数控铣床，初始环境温度相差小于5℃时，以上5种热误差预测模型对K5和K6批次数据的预测标准差均不大于3.31 μm，其中多元线性回归模型对2个批次数据的预测标准差均不大于1.97 μm，其预测精度均高于其他4种模型。因此，选择多元线性回归模型作为分段式加权模型的模型库中的单个模型，根据现有数据，以K1、K3、K4、K6、K7批次数据作为建模样本建立环境温度在15～35℃间的基于多元线性回归的分段式加权模型，基本结构如图1所示。

4.2 预测精度分析

4.2.1环境温度变化较小时

由图6可知，以K4批次数据建模，K5批次数据预测，此时环境温度变化较小，多元线性回归、BP神经网络等5种模型预测精度较高。为了验证分段式加权模型在该情况下的预测精度，将K5批次样本代入分段式加权模型中，模型预测值和预测残差如图8所示。

图8 分段式加权模型对K5批次热误差预测值和预测残差Fig.8 Predictive value and predictive residual error of K5 using piecewise weighted model to predict

由图8可知，分段式加权模型的预测值整体略高于实测值，但仍具有很高的预测精度。经计算模型预测标准差为1.39 μm, 最大残差2.70 μm，通过与表3对比可知，模型预测精度略低于多元线性回归模型，但高于其他4种模型。

4.2.2环境温度变化较大时

以多元线性回归模型为例，选择不同月份的环境温度相差约13℃的K6和K2批次数据分别作为模型的建模样本和测试样本，得到模型的预测值和预测残差如图9所示。

图9 多元线性回归模型对K2批次热误差预测值和预测残差Fig.9 Predictive value and predictive residual error of K2 using multiple linear regression model to predict

由图9可知，环境温度相差较大时，多元线性回归模型预测精度差，预测标准差为7.97 μm，最大残差高达12.1 μm。

将K2批次数据作为测试样本代入基于多元线性回归的分段式加权模型验证环境温度变化较大时模型的预测效果，同时将2种常用的解决环境温度相差大、预测精度低的方法作为对比，即以K6批次数据作为建模样本建立泛化能力较强的支持向量机模型和以K1、K3、K4、K5、K6、K7批次数据作为建模样本建立增加多种环境样本的线性回归模型。

3种模型对K2批次样本的预测标准差如表4所示，预测值和预测残差如图10所示。

表4 3种模型的预测标准差Tab.4 Prediction standard deviation of three models μm

图10 3种模型对K2批次热误差预测值和预测残差Fig.10 Predictive value and predictive residual error of K2 using three models to predict

由表4、图10可知，环境温度变化较大时，相较于单环境温度样本建模的多元线性回归模型，采用泛化能力较强的支持向量机模型建模将热误差的预测精度从7.97 μm提高至5.97 μm，采用增加多环境温度样本建模的办法将预测精度从7.97 μm提高至4.17 μm，2种传统方法都有效果但模型预测精度依旧较差。采用分段式加权模型预测时将预测精度提高至1.51 μm，预测精度较高，其预测效果远高于2种传统方法。

5 结论

(1)针对UPM120型精密数控铣床，在环境温度变化较小时，以多元线性回归模型、BP神经网络模型、分布滞后模型、灰色理论模型和支持向量机模型建模均有较高的预测精度，其中多元线性回归模型预测标准差不大于1.97 μm，高于其他4种模型，因此选择多元线性回归模型作为建立分段式加权模型的模型库中的基础模型。

(2)当环境温度变化较大时，以单一环境温度样本建模的多元线性回归模型预测精度很低，通过选择泛化能力强的支持向量机模型建模和增加多种环境下温度样本建模，在一定程度上提高了模型的预测精度，但预测精度仍然较低。基于多元线性回归的分段式加权模型在环境温度变化较大时预测精度达到1.51 μm，预测精度远大于以上2种方式。

(3)分段式加权模型在各种环境温度下均具有较高的预测精度，同时具有较高的稳健性。