向量及其应用

徐宇涛　杨付贵

摘  要：通过分析和考察了起源于力与速度的平行四边形法则的向量理论。发现了在19世纪上半叶，向量的研究与物理力学紧密地联系在一起。当时的物理学家虽有使用向量，但并没有完全意识到向量思维在物理中的重要性，也没有将其抽象成数学对象进行深入研究。

通过对一些有关向量的著作，来证明向量在物理和数学领域中的作用。最重要的是促进了各国学者对向量的研究并以此思想去促进物理学科的进步（尤其在电磁领域）。

关键词：向量;物理;平行四边形法则

向量的发展来源于物理学，最初的向量为物理所使用，很多物理量如力、速度、位移以及电场强 向量度、磁感应强度等都是向量。随着时间的发展，向量的使用也从物理学发展到数学之上，18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a+bi（a，b为有理数，且不同时等于0），人们便利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算。以复数作为起点，向量就渐渐融入到数学的海洋中。但复数的利用是受限制的，因为它仅能用于表示平面，若有不在同一平面上的力作用于同一物体，则需要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系。19世纪中期，英国数学家哈密尔顿发明了四元数（包括数量部分和向量部分），以代表空间的向量.他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础。随后，电磁理论的发现者，英国的数学物理学家麦克斯韦把四元数的数量部分和向量部分分开处理，从而创造了大量的向量分析。

综上所言，在数学领域或物理领域中向量能分为平面向量（定义：在一平面内既有大小又有方向且遵循平行四边形法则的量叫做向量）和空间向量（定义：在一空间中具有大小和方向的量叫做空间向量）;同时为了方便表示向量，也利用编程语言，向量有起点，有方向。常用一个带箭头的线段表示。

一、向量的平行四边形法则

向量的平行法则要追溯到早期物理学对速度的研究。这就涉及到最基本的数学思想——向量的加法。其的定义为两个有共同起点的向量并以这两个向量互作邻边所构成的平行四边形的对角线表示两向量的相加。就如下图可视，向量AD=AB+AC。

然而速度的平行四边形法则可以追溯到古希腊。亚里士多德在《力学》（Mechanica）（公元前四世纪）中写道：“当一个物体以一定比率移动时（即含有两个有常数比率的线性运动），物体一定沿一直线运动，这两条直线是由这两条有给定比率的直线形成的平行四边形对角线。”

在此思想的影响下，牛顿（Isaac Newton，1643—1727）在其的著作《自然哲学之数学原理》（Mathematical Principles of Natural Philosophy）中也有类似的运用，它作为运动定律的一个推论叙述如下：“物体同时受两个力作用时，其運动将沿平行四边形的对角线进行，所用时间等于二力分别沿两边所需时间。”

尽管牛顿在他自己研究的力学之中，已经在使用平行四边形的平行法则，但他并没意识到自己运用了向量相加的数学思想。其唯一欠缺的是没有把这种力学中的具体运营概述成运算理论，只是在其思维中有一个抽象的概念，没有形成一个系统化的观念。

二、向量的应用

在向量的应用上就不能绕开一些相关方面的著作，它们对向量的接受起着重要的作用。

1.E.B威尔逊（Edwin Bidwell Wilson，1879-1964）1901年著作《向量分析：吉布斯讲义的科学和物理学生使用教科书》（Vector analysis：A text book for the use of students of mathematics and physics founded upon the lectures of J.Willad Gibbs）

这是第一本正式出版的完全致力于表达向量理论的教科书，也是篇幅最长的最好的向量理论教科书之一。这本书表达准确、清楚，例题丰富，几乎包括了吉布斯所有早期著作的材料，另外还增加了一些新内容。全书共15章，即：基本的符号和算子，向量分析的几何应用，向量积，积的几何应用，结晶学，向量的纯量微分，微分和积分算子，势、牛顿算子、拉普拉斯算子和麦克斯韦算子，抛物线轨道理论，线性向量函数，转动和应动，二次曲面，曲面的曲率，固体动力学，流体力学。此书获得了很好的评价，到1943年都已经出了第8版。

2.德国学者布雪勒（Alfred Heinrich Bucherer，1863-1927）1903年的著作《理论物理的向量分析基础》（ELemente der vektor-analysis mit beispienlen aus der theoretischen physik）

这是德国出版的第一部关于现代向量分析的著作。布雪勒在向量的兴趣来自于麦克斯韦的电磁理论，同时在书中也提到E.B威尔逊的作品。此书中包含了大量的向量分析的内容，如向量的基本运算、向量的微分、位势论以及变换理论等内容，此外还提供了选自力学、流体力学和电学等方面的大量应用问题。

3.俄罗斯数学家P.O索莫夫（Pavel Osipovich Somov）1907年的著述《向量分析及其应用》（Vector analysis and its applications）。

这是俄罗斯出现的第一部关于向量分析方法的著作，也是早期的关于向量分析的最成功的著作之一。在这本书中，P.O索莫夫处理了向量分析的基础知识以及包括线性函数在内的较高层次的内容，编入了许多来自力学的题目，另外还对麦比乌斯和哈密顿系统等做了简练的解释。

由此可见，向量的发展无论是物理学还是现代数学都有很大的助益。向量很大程度上给人们研究数学和物理提供了一个新角度。

结论：

通过向量的发展溯源，向量起源于物理学中的速度与力的平行四边形概念，这是向量起源的重要概念。同时在发展之中种种著作都有不同程度的关联性，相互联系，相互补充。对于近现代的数学和物理学起到了很大的贡献。

参考文献

[1]  孙庆华. 向量理论历史研究[D].西北大学，2006.

[2]  亚里士多德（Aristotle）.《力学》（Mechanica）[M]

[3]  牛顿（Isaac Newton）.《自然哲学之数学原理》（Mathematical Principles of Natural Philosophy）[M]

[4]  E.B威尔逊（Edwin Bidwell Wilson）.《向量分析：吉布斯讲义的科学和物理学生使用教科书》.（Vector analysis：A text book for the use of students of mathematics and physics founded upon the lectures of J.Willad Gibbs）[M]

[5]  德国学者布雪勒（Alfred Heinrich Bucherer）.《理论物理的向量分析基础》（ELemente der vektor-analysis mit beispienlen aus der theoretischen physik）.[M]

[6]  P.O索莫夫（Pavel Osipovich Somov）.《向量分析及其应用》（Vector analysis and its applications）.[M]