向量的千变万化

陈国豪　杨付贵

摘  要：向量的计算和运用是高等数学的教学内容中必不可少的重要组成部分。向量的应用十分广泛，在证明不等式、证明图形之间的位置关系和距离大小等方面都离不开向量的应用。可以说，向量在几何和代数中都占据着十分重要的的地位，并且与部分其他的知识点有着密不可分的联系，因此本文对向量的作用和价值进行了深入的调查，并对向量在解决不同问题时的具体运用方式进行了分析。

关键词：向量;运用;数学;价值

要想了解向量的作用和价值，增强在数学问题中对向量的运用能力，首先就要明白向量的定义。【1】客观世界中有这样一类量，它们既有大小又有方向，例如位移、速度、加速度、力、力矩等等，这一类量就叫做向量或矢量。向量是高等教学内容中非常重要的组成部分，它是沟通代数、几何与三角函数的重要工具，是数与形的高度统一，与课本中的其他知识相比，學习向量的难度相对较大，再加上很多同学对向量在实际解题过程中的应用缺乏熟练度，使得运用向量在高等数学整体的解题方式上显得比较难。虽然向量的学习比较困难，但是向量也能为我们做题提供极大的便利。在我们逐渐摸索出向量的解题规律之后，就会发现运用向量进行解题，解题步骤的简化和解题时间的缩短是十分明显的，这将会大大提高我们的答题效率。因此，掌握向量在我们整个的学习生涯中都是十分重要的。

与此同时，数学基础薄弱的同学在自己的大学学习中都会面临数学“解题难”的问题，这些学生往往对很多题无从下手，甚至可以说是毫无头绪，而向量由于可以同时与几何、代数以及三角函数等进行综合应用。（比如利用数量积可以求向量的投影、线段之间的夹角、求直线的方程、判别直线与直线之间、平面与平面之间、直线与平面之间的位置关系及夹角等等;利用向量积可以求平面的法向量、利用向量积的模可以求四边形的面积，也可以判别两条直线、两个平面、直线与平面的位置关系等等）。

比如在求向量积时，我们通常会选择三阶行列式进行计算，这会极大的简化解题的步骤。比如如下例子

例1：已知三角形的顶点分别为 ，求三角形的面积 。

解：由向量积模的几何意义可知， ，又由于

由此可见，向量在高等数学解题中得到了较为广泛的应用，这就要求高等数学课堂教学中不仅要求学生掌握向量的相关知识，还要灵活应用，选择适合自己的训练方法，不断强化自身对向量的综合运用能力，提高自己的解题速度，在保证正确率的基础上争取做到时间的合理利用，在减少做题压力的同时让自己有更加充分的时间投入到其它学科的学习当中去，促进自身的全面发展。这就是学好向量所带来的好处。可以说，向量的运用几乎贯穿于我们学习高等数学的全部过程。

例如在解答“向量的加减运算”这一问题时，我们不妨设  ，则可以求出向量  。因为向量满足平行四边形法则和三角形法则，所以便可以得出， 由此满足向量公式： 。【2这个知识点就是一个关于向量在平面图形中的应用问题，通过这个解答我们就会发现平面问题的解决可以通过运用向量知识进行解答。透过这个问题得出的结论就是“向量”价值和作用的体现，它让我们意识到平面图形的应用问题不只有一种方法解答，运用向量也是一个很好的解答方式，这对于培养我们综合运用的解题思维有着重要的意义。久而久之，当我们再次遇上一些与平面几何相关的问题时，就会想到运用向量方面的有关知识进行作答。

其次，向量是将几何和代数相关内容连接在一起的重要纽带，向量兼具数的特征和形的特性，当面对同时涉及到几何和代数的问题时，向量的运用能够很好的为解题提供帮助。向量是既有大小又有方向的线段，能够很好的体现物体位置的变化以及变化的大小。因此，如果对向量从几何的角度出发进行理解，就会发现向量可以描述直线的方程物体的长度、面积等几何度量问题，也可以利用向量的方向性来解决对物体与物体之间的位置关系问题的认识。

也许有的人会认为向量的作业和价值仅仅只是针对数学问题的解答，这种观念是存在问题的，也从侧面反映出部分人对于向量的理解和认识只是停留在表面上，并没有深入的去挖掘向量的潜在价值。事实上，向量对我们的帮助不只是在学习上，在生活上向量同样是十分重要的。在机器人设计与操控、卫星定位、程序编排、轮船设计、风速和风向的预测等与人类生活息息相关的现代技术中也包含了有关向量的知识。但就现阶段而言，向量的作用和价值更多地体现对在数学问题的应用和解答上。当然，我们在通过向量的知识解答数学问题的同时，也可以从向量的角度去看待生活上的问题，或许会有意想不到的收获。

总而言之，向量作为现代数学的重要基础，不仅完善了数学的学科体系，也成为了学习上解决数学问题的一种重要方式。当然，切实地把有关向量的知识纳入到自身的数学体系中，对于提高我们解决向量问题甚至其他数学问题的能力有着积极的作用。不论为了学习还是生活，我们都应该尽自己最大的能力去掌握向量的应用。

参考文献

[1]  《高等数学》（第七版）下册，同济大学数学系编[J]高等教育出版社.

[2]  向量及其运算

[3]  平面向量与解析几何的交汇