浅谈类比思维在解析几何中的应用

胡梦倩　杨付贵

摘  要：类比作为一种常见而重要的思维方法和推理方法，在数学历史的发展长河中占有举足轻重的地位，我认为在学习数学解析几何的过程中，这一方法也显得尤为关键。本文通过对比平面解析几何和空间解析几何中相关的知识体系及有关的应用，用类比的思维解决解析几何的问题，通过类比的方法，把相对抽象的解析几何具体化、有形化，找出平面解析几何和空间解析几何中相似的规律，使我们可以更高效的得出结论。本文将通过直线方程与平面方程的类比、平面问题与空间问题的类比和同一方程在不同的解析几何中的图形类比来体现类比思维在解析几何中的应用。

关键词：类比思维;平面解析几何;空间解析几何;方程;图形

一、平面解析几何的特点

平面解析几何通常使用二维的平面直角坐标系来研究线与方程。包含以下几部分：直角坐标、直线、曲线与方程、圆、椭圆、双曲线、抛物线等一般平面曲线。在解析几何中，平面给出了坐标系，也就是说每一个点都有与之相对应的一对实数坐标，平面解析几何的研究范围在二维空间平面中。

二、空间解析几何的特点

与平面解析几何相类比的来说，空间解析几何通常使用的是三维的空间直角坐标系来表示的。包含以下几个部分：向量代数、平面及其方程、空间直线及其方程、曲面及其方程以及空间曲线及其方程等。在空间中要表示的每个点都是以三元有序数组呈现，比如（x，y，z）。空间解析几何的研究范围在三维空间中。

这两种解析几何的共同特点都是“数形结合”、运动与变化相结合、直观与推理相结合、理论与实际相结合、特殊与一般相结合。

比如：我们把平面解析几何中的圆、椭圆、双曲线、抛物线等一般平面曲线与空间解析几何中的球面、椭球面、单叶双曲面和双叶双曲面、椭圆抛物面与双叶抛物面进行类比，不难发现，它们又很多类似之处。

三、直线方程与平面方程的类比（一般方程中变量的系数及常数项的含义的类比）

直线方程 y=kx+b中x为自变量，y为函数因变量，k为斜率，表示这条直线的倾斜程度，也是直线和X轴的夹角正切值。b为截距，是直线和y轴的交点坐标。x=0时，y的值为b。例如x-y+2=0把这个式子变为y=kx+b的形式，就是y=x+2斜率k=1和x轴夹角的正切值为1，这也就是说和x轴的夹角度数为45度。截距为2，就是说当x=0时，y=2，直线和y轴的交点是2，坐标表示为（0，2）。

平面方程的一般方程可用三元一次方程Ax+By+Cz+D=0来表示。平面方程Ax+By+Cz+D=0中x，y，z的三个系数A，B，C组成一个向量的坐标，即n={A，B，C}，它是垂直于该平面的非零向量，称为该平面的一个法向量，而这个方程中的常数项D，在三维空间坐标系中，可以表示为平面的位置（偏移量），平面的法向量（A，B，C）一定，平面的方向就确定了，这时不同的D值就可以得到一系列平行的平面，当D=0时，平面经过坐标原点。同时，D的绝对值可以表示原点到该平面的距离，也可以理解为影响平面在xyz轴上的截距系数，D与直线方程中的b可以相类比。

四、平面问题与空间问题的类比（降维类比）

在解析几何的问题中，类比法多表现为空间问题用平面问题来类比推理，多元问题用一元问题来类比推理，也叫降维类比。例如，用三元一次不等式的几何意义可以类比出二元一次不等式的几何意义，也就是说在平面上的直线ax+bx+c=0，这个二元一次方程把平面分为了两个部分，一部分在直线的上方位置，另一部分在直线的下方位置。在空间直角坐标系中，我们可以把空间直线上任意一点的第三个坐标看为恒为0，即把这个空间分为xoy平面之上和xoy平面之下两个部分，这样就可以完全类似的得出它们之间的线性运算坐标表示以及夹角等计算公式。

由三角函数余弦和角公式进而联想到二面角的大小也是一个降维类比的例子。两角和与差的余弦公式cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβ也是求二面角大小的“计算公式”（“三线四角”公式）的一种特例.这种由三角函数余弦和角公式“降维类比”（也就是三维空间的研究对象降到二维（或一维）空间中的研究对象）出二面角大小计算“通用”公式，只需计算出同一顶点发出的三个线线间角，就能快速求出二面角大小。

五、同一方程在不同的解析几何中的图形类比

通常，一个简单的的方程对应在平面上的一条曲线，但不一定如此：方程x=x对应了整个平面，方程x?+y?=0只对应了（0，0）这一个点。但在空间解析几何中，一个方程通常对应着一个曲面，而曲线常常是代表两个曲面的交集，或是一条参数方程。

下面舉几个简单的例子：例如x=3在平面解析几何和空间解析几何中就代表了不同的图形。在平面解析几何中，x=3表示一条垂直于x轴且过（3，0）点的直线。在空间解析几何中，x=3表示一个平行于平面yOz，且过（3，0，0）点的平面。这里的过（3，0，0）点的平面可以是由垂直于x轴且过（3，0）点的直线平行得来的。由平面到空间，x=3就从原来表示的一条直线变为了表示一个平面，由此我们可以类比推断，维度提升了一层，相应的同一方程所代表的图形也随之在维度层面提升了一层。

比如x?-y?=1在平面解析几何中为一个二元一次方程，在平面直角坐标系中表示的图形是焦点在x轴上的双曲线;在空间解析几何中，应用了一个变量z，而在方程x?-y?=1中没有变量z，这就说明x?-y?=1在空间解析几何表示的图形是母线平行于z轴且在xoy面上的曲线是x?-y?=1且z=0的双曲线的柱面。

参考文献

[1]  李全双，浅谈逻辑类比在数学中的应用，哈尔滨师范大学

[2]  周如俊.“降维类比”：由三角函数余弦和角公式联想到二面角大小[J].中学数学杂志，2018（07）：31-34

[3]  任亚莉.平面直线方程系数的几何意义及应用[J].上海中学数学，2007（4）：46

[4]  <<高等数>>（第七版）下册，同济大学数学系编[J]高等教育出版社.