考虑斜桩的群桩基础设计与分析程序开发

王 凯，朱国甫，翟鹏程

（1、广东省建筑科学研究院集团股份有限公司 广州510500；2、武汉理工大学 武汉430070）

0 引言

桩基础根据材料、施工设备、施工工艺不同分为较多种类型，不同类型的桩基础受力性状各不相同，承载能力也会有较大的差异。现有的桩基础以竖向承载力为主，部分项目需要考虑水平荷载作用，目前尚无明确水平承载力的设计与分析方法，设计人员一般要进行大量繁杂的计算，才能给出一个较好的桩基础设计方案［1-6］。

1 考虑斜桩的群桩基础设计与计算

1.1 本设计计算方法的基本假设

本文在做考虑斜桩的群桩基础设计与分析时，做如下简化假设:

⑴承台为刚性，桩与承台的连接为刚接；

⑵桩身截面不变；

⑶承台受力产生的转角θ 很小，可近似假设为:cosθ ≌1，sinθ ≌0；

⑷地基为服从虎克定律的弹性体，地基和桩之间的地基反力与桩上该点的位移成正比；

⑸桩的轴向与侧向上的受力、位移相互不影响，各自独立考虑；

⑹地基土层为各向同性。在同一深度处，桩侧的横向地基反力系数是相同的。

1.2 群桩基础设计的步骤

桩基础由基桩与承台组成，将桩基础考虑为一个结构整体，在受到外力作用时就会产生变形，各基桩的荷载根据桩基础各组成部分的刚度与基桩的位置来分配，最后各基桩再根据分配得到的荷载进行受理与变形计算。桩基础的设计与分析按图1所示的步骤进行［7］。

1.3 桩结构物的微分方程及桩头刚度计算

1.3.1 桩头刚度K1～K4的计算

如图2 所示:假设一根竖直的桩，桩头在原地面，取地面桩轴中心处为坐标轴的原点O，取桩的中心轴为x轴，深度方向为坐标轴的正方向，与桩中心轴相垂直的方向与y 轴，取水平力的作用方向为坐标轴的正方向。

图1 桩基础设计一般步骤Fig.1 The Design Procedure of Pile Foundation

其中:

式中:k0、m、c为土层参数。

图2 桩的坐标系及单元体力的平衡Fig.2 Coordinate System of Pile and Force Balance of Unit Body

当桩头受到外部荷载作用，桩头产生的位移为x0，转角为θ0，根据桩头的刚度的定义则有:

对式⑴采用有限差分法，根据桩身的连续性方程及桩头、桩尖的边界条件（桩尖边界条件分为固定、自由、铰接）联合求解可得桩身上任意一点的位移及转角，可求得桩头的刚度K1～K4。

1.3.2 桩头轴向刚度Kv的计算

假设一根竖直的桩，桩头在原地面，取地面桩轴中心处为坐标轴的原点O，沿深度方向为正方向，如图3 所示。桩顶轴中心受到轴向力N0的作用后，在桩尖和桩周表面就产生反力。记桩周表面任意点的轴向反力为，是深度x和这一点桩的轴向位移v的函数，即：。

取桩的微元体dx，由桩轴向力的平衡可得:

图3 桩的轴向位移与单元体受力平衡Fig.3 Axial Displacement of Pile and Force Balance of Unit Body

根据桩头及桩尖的边界条件以及桩在各层土之间的连续条件，可求得桩身上任意一点的竖向位移及桩头轴向刚度Kv:

式中:h为桩地面以上高度；ξ 为轴向荷载系数；l0为桩在地面以下的深度；E 为桩的弹性模量；A 为桩身截面积；kb为桩尖竖向地基反力系数；A0为桩尖受力面积。

1.3.3 桩头抗扭刚度KD的计算

当桩头受绕桩轴的扭矩作用时，桩头会产生绕桩轴的扭转角。如果桩身没有分布扭矩的作用，桩尖固定，则由材料力学可知桩的抗扭刚度系数为:

式中:G 为桩的剪切模量；J 为扭转惯性矩；lp为桩的抗扭长度。

1.4 群桩基础的荷载分配

将桩基础假设为空间结构物，取空间任意一点为原点，竖直向下为y轴，在水平面内以右手坐标系构成x轴和z轴，组成空间结构坐标系如图4a所示。

在桩基础中，将每个基桩视为一根杆件，每个杆端结点有6 个自由度，即沿3 个轴的位移u、v、w 和绕3个轴的转角θx、θy、θz，取三维桩结构物中任意桩i 的桩头节点（xi，yi，zi），其桩头受力Pi在坐标轴方向的分量为Hxi、Vyi、Hzi，桩头弯矩为Mxi、Myi、Mzi。使力（Hxi，Vyi，Hzi）的正方向与结构坐标系的坐标轴正向一致，力矩（Mxi、Myi、Mzi）用下标表示各自的坐标轴，按右手法则，取螺旋前进的回转方向为正。记桩i的桩头节点位移ui在坐标轴方向上的分量为ui、vi、wi，节点的转角为θxi、θyi、θzi，取与外力的正向一致为正。以（xi，yi，zi）为原点，桩轴方向为yi'轴，在水平面内取zi'轴，同yi'，zi'所构成的平面相垂直的方向为xi'轴，建立桩杆件的局部坐标系xi'，yi'，zi'。桩头的力及位移，在局部坐标系中的分量分别为Pi'=（Hxi'，Vyi'，Hzi'，Mxi'，Myi'，Mzi'）T及ui'=（ui'，vi'，wi'，θxi'，θyi'，θzi'）T，正向与结构坐标系定义相同。如图4b、图4c所示。

记第i根桩的桩轴所在的竖直平面内桩的倾斜角为φi，竖直面与结构坐标系的x 轴的夹角为ψi，如图4d所示。

图4 桩结构物的坐标系Fig.4 Coordinate System of Pile Foundation

对于三维桩结构物，取承台的重心上为结构坐标系的原点。记作用在原点的外力为P0=（X0，Y0，Z0，Mx0，My0，Mz0）T，原点O的位移为u0=（u0，v0，w0，α0，β0，γ0）T，正向与结构坐标系的正向一致。根据空间的几何关系与桩头刚度的意义，可得以下矩阵变换:

式中:K1i、K2i、K3i、K4i、KVi、KDi为第i根桩的桩头刚度系数。式⑺可化简可为:

其中:

由式⑼可以求解得到u0。再按照ui➝ui'➝Pi'的顺序可以求得承台下每根桩分配得到的荷载Pi'。最后按单桩分析的方法计算每根桩的内力与位移。

2 群桩基础设计与分析程序

关于群桩基础的设计与分析理论，前文已介绍了设计与分析的方法。如果在桩基础的设计与计算的过程中采用人工计算的方法，将会占用大量的人力时间，故需将这些设计与分析转换成计算机语言，开发出用户界面友好的应用程序，达到程序化求解的目的。首先，要明确计算流程，将工程分析设计的实际问题抽象为计算模型，编写计算框图。其次，根据计算机求解的具体问题，选取合适的计算机语言与开发平台，设计一个合理的界面，建立桩土模型，并进行计算。最后将计算的结果整理后以图表的方式输出。下面简要介绍程序的实现与功能。

2.1 程序的开发及功能特色

群桩基础设计与分析程序采用面向对象的方法，以Visual C++6.0 为平台，具有数据与图形结合的人机对话界面，加载了BC++与VC++数值分析计算类库［8］进行辅助计算，完成了群桩基础的设计与分析的复杂计算。本程序界面为Windows 标准界面。主窗口采用tab控件，便于6个子对话框切换［9］。

2.2 程序结构及使用简介

群桩基础设计与分析程序主要由前处理部分、核心计算部分、后处理部分组成。在主页、桩基础的布置、土层条件、荷载条件、边界与桩身材料条件5 个子对话框中建立三维桩土模型。

在计算与分析对话框中，进行承台的空间位移、桩基刚度、承载力、荷载分配及受力与变形计算，如图5所示。

程序的后处理主要将计算的数据结果存储并以图表格式输出。本程序计算了每根基桩沿桩轴方向的水平位移、弯矩、剪力及横向地基反力，并将计算结果以text 文本输出，如图6 所示。计算结果也以图形输出，绘制每根基桩的水平位移、弯矩、剪力、横向地基反力的受力曲线，如图7 所示。直观地判断每根桩的水平位移、弯矩、剪力、横向地基反力的最大值及其深度。

图5 桩基础的计算与分析Fig.5 Calculation and Analysis of Pile Foundation

图6 桩基础受力与变形计算结果Fig.6 Bearing and Deformation of Piles Foundation

图7 桩基础受力与变形曲线Fig.7 The Curves of Piles Foundation

3 算例及工程应用

Poulos 等人［10-15］做了一些桩基础的试验与计算。在如图8 所示的算例中，桩基础为6 桩承台的群桩，桩端位于两层土中。土层性质如表1 所示。桩采用C30 的混凝土预制桩，直径为0.6 m，其弹性模量为3 107 kPa。承台受竖直荷载为4 000 kN，水平荷载为550 kN。

采用本文方法计算时，各层土地基反力系数的参数取值如表2所示。

用张法、m 法和c 法分别分析了前排桩倾角取值为0°、7.5°、15°时的桩土模型。计算结果与文献计算的结果对比如图9所示。

图8 桩基础设计Fig.8 The Design of Pile Foundation

表1 土层性质Tab.1 The Soil Layer Property of Pile Foundation

表2 各层土地基反力系数的推荐值Tab.2 Parameters for Modulus of Subgrade Reaction

图9 带斜桩的群桩算例Fig.9 An Example of Group Piles with Inclined Piles

通过对比计算结果对比分析可知:

⑴基于线性弹性模型的梁柱原理假设计算结果与经典算例的结果有较好的一致性；

⑵不同线弹性理论的地基系数假设（张法、m 法及c法）对桩头位移、弯矩影响较小；

⑶通过不同角度的斜桩布置对比分析可知，在不考虑竖向力影响的时候，斜桩可以提高水平承载力，减小水平位移。

4 结语

本文将桩与承台看作为一个整体结构物，特别是考虑到桩基础中存在斜桩的情况，通过线弹性的假设原理，依靠桩基础中各基桩的刚度计算得到各基桩的荷载分配与位移，并采用有限差分法计算每根桩在不同深度的受力与位移。最后通过不同倾角、不同横向地基反力系数的计算结果与经典算例对比分析可知，本文的设计与分析方法有较好的准确性。

为了将设计人员从较繁重的设计与计算中解脱出来，提高设计效率，减少计算错误，开发了对应的设计与分析程序，通过直观的建立三维桩土模型，计算各桩的受力与位移情况，并能直观方便修改桩土模型，通过变刚度原理调整各基桩的受力与变形，从而优化设计方案，具有很好的工程实用性。