数学文化融入高考试题（三）： 体现数学的应用价值

李双双

同学们，这一期我们来谈一谈数学文化在高考试题中的另一种呈现方式——体现数学的应用价值.这样的试题，能够让同学们深刻地感受到“数学处处可见”，这正是今年第一个国际数学节（2020 年3 月14 日）宣传的主题：Mathematics is everywhere(数学无处不在).

一、典型试题分析

例1（2019 年全国Ⅱ卷第16 题）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2 是一个棱数为48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．

图1

图2

◆【分析】由图2 可知，这个半正多面体是由正方形和正三角形所围成的多面体，由其棱数为48 可知，该半正多面体中间部分环绕其一周的正方形共有8 个（如图3），分别为在每个正方形的上、下方各有1 个正方形或正三角形与之对应，共有16 个面；此外，该半正多面体的上、下底面分别是1 个正方形.所以该半正多面 体一共有26 个面．

图3

敲黑板

本题首先要理解“半正多面体”的概念——由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．具有一定的难度和新颖性．

因为该半正多面体的所有顶点都在同一个正方体的表面上，所以它的截面正八边形（如图4）是边长为1 的正方形PQRS 的内接正八边形，设正八边形的边长为x，则且

图4

例2（2019 年全国Ⅱ卷第4 题）2019 年1 月3 日“嫦娥四号”探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：设，由于α 的值很小，因此在近似计算中，则r 的近似值为（ ）

敲黑板

本题信息量较大，其关键 在于对条件和结论进行分析，确定解题方向：用来表示α；难点在于如何对代数式进行变形．

高考链接

(2019 年北京理科卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足其中星等为mk的星的亮度为已知太阳的星等是-26．7，天狼星的星等是-1．45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )

A. 1010.1B.10.1

C. lg10.1 D. 10-10.1

答案:A

二、解题回顾与反思

通过上面的例题，同学们是否感受到了数学的无处不在？建议大家在未来的学习过程中，关注数学文化，提升自己的数学素养.

1. 热爱数学，树立学好数学的信心

数学与人类生活和社会发展紧密关联，数学不仅是运算和推理的工具，还是表达和交流的语言，数学承载着思想和文化，是自然科学的重要基础.数学的应用已渗透到现代社会的各个方面，如航空航天、气象学、地球科学、医疗器械……大数据时代，对网络、文本、声音、图像等信息的数字化处理，使得数学的研究领域与应用领域得到极大拓展，数学直接为社会创造价值，推动生产力的发展.

2. 重视阅读，全面挖掘试题的信息

以数学文化为背景的试题，往往文字信息多，阅读量大，因此，阅读理解能力是解题的第一关！在遇到文字信息量大的试题时，同学们要耐心读题、沉着应战，从题目所给的文本信息中，“挖掘”出全部信息.如例1 中，首先要读懂“半正多面体”的概念，其次还要明白这一半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.

3.强化思维，在解题过程中提升素养

数学在形成人的理性思维方面起着不可替代的作用.在解决问题过程中，同学们要善于思考，利用分析与综合、特殊与一般等思维方法，确立解决问题的方向.如例2 中，需要通过对条件和结论的分析，确立用来表示α.建议同学们在今后的学习过程中，遇到问题时要积极思考、独立求解.只有在经过自己深入思考后仍然无法解决问题时，再求助于他人；不能一遇到困难就畏缩不前，而要不断思考、勇于挑战自己！

三、小试身手

2008 年北京奥运会主体育场的“鸟巢”钢结构俯视图如图5所示，其内、外两圈的钢骨架是两个离心率相同的椭圆（如图6所示），现分别由外圈的椭圆顶点A 和C 向内圈的椭圆引切线AC，BD，其中C，D 为切点．若切线AC 与BD 的斜率之积为，则椭圆的离心率为

图5

图6