发现系外行星——基于2019年诺贝尔物理奖系外行星发现的物理奥赛题命题

苏 俊 谢基伟 王思慧

(1. 江苏省海安高级中学,江苏 海安 226600； 2. 南京大学天文与空间科学学院，江苏 南京 210023；3. 南京大学物理学院，江苏 南京 210093)

近些年,从国际物理奥林匹克赛(IPHO),到亚洲物理奥林匹克竞赛(APHO),到泛珠三角物理奥林匹克竞赛暨中华名校邀请赛,再到全国中学生物理奥林匹克竞赛,其中很多赛题来源于科研热点,还有一些赛题由专业物理学术论文改编而成．赛题命题结合科研热点,视角较为新颖,不拘泥于陈题改编．从物理科研背景中引出问题,理论联系前沿,有利于物理科研创新人才的选拔.

2019年诺贝尔物理奖颁发给了两个领域,分别授予詹姆斯·皮布尔斯教授,表彰他在物理宇宙学的理论贡献;另一半由米歇尔·梅耶教授和迪迪埃·奎洛兹教授分享,他们第一次发现了一颗围绕类太阳恒星运行的系外行星飞马座51b,[2]开启了人类对太阳系外行星与生命的探索.

根据exoplanet.eu官网统计,[3]至今人类已经发现4000多颗系外行星．系外行星的主要搜寻方法有径向速度法、凌星法、微引力透镜法等．径向速度法与凌星法是目前最主要的搜寻系外行星的方法．径向速度法发现了约20%的系外行星;凌星法发现了超过75%的系外行星,这其中绝大部分是由开普勒空间望远镜发现的.

IPHO和APHO等物理竞赛的赛题经常涉及科研热点.笔者尝试用IPHO和APHO的试题的格式来介绍“系外行星的发现”． 一方面向中学生普及诺贝尔奖的最新发现,另一方面丰富奥赛试题的命题模型.

本文分为以下3部分,前面两部分分别讨论径向速度法和凌星法发现系外行星的基本原理．这两部分内容参考了一些科研论文和物理教育方面的论文．[2-5]最后一部分给出了相关问题的解答,供读者参考.

1 径向速度法

图1

米歇尔·梅耶教授和迪迪埃·奎洛兹教授在1995年利用径向速度法第一次发现一颗围绕类太阳恒星运行的系外行星．系外行星本身不发光,体积很小,且离地球较为遥远,一般不容易直接观测到．恒星与行星构成两体系统,它们会绕共同的质心运动．恒星围绕质心的运动,相对于地球有周期性变化的径向速度,这个速度是恒星速度在地球与恒星连线方向上的分量．人们可以通过测量恒星相对于地球径向运动产生的多普勒效应来计算这个径向速度．在下面的问题中,我们假设恒星—行星系统中只有一颗行星,且轨道均近似为圆周运动,不计恒星—行星系统质心相对于地球的运动．如图1,M为恒星,它到质心距离为dM,绕质心速度为vM,m为行星,它到质心距离为dm,绕质心速度为vm.为了示意,图中夸大了质心与恒星中心的距离．一般恒星质量远大于行星质量(M≫m),质心C与恒星中心其实是非常接近的.

问题1:若地球上测得某静止光源发出的Hα谱线波长为λ0,真空中的光速记作c,在一个恒星—行星系统中,地球上测得该恒星Hα谱线的波长为λ,计算当恒星靠近地球的径向速度vr.

问题2:若恒星—行星双星系统的轨道平面与我们的视线在同一个平面内,测得恒星Hα谱线最大波长为λmax,恒星谱线波长变化的周期为T,当恒星、行星、地球三者共线,且行星位于恒星与地球之间开始计时,写出径向速度vr随时间t变化的表达式.

问题3:若已知恒星质量M,恒星绕质心速度为vM,轨道周期为T,计算行星的质量m,假设M≫m.

2 凌星法

当恒星—行星系统的轨道平面与连线夹角较小时,我们会看到行星会飞凌恒星的表面,这种现象称为凌星．发生凌星时会遮挡恒星一部分光线,导致恒星的亮度会有一定的减弱,如图2,恒星原亮度为L0,行星遮挡在恒星前方时亮度为L,凌星过程中各时刻为tA～tD.图中夸大了这种遮挡效果,事实上亮度的变化是非常微弱的,一般不到1%．为了简便起见,以下问题均只考虑圆轨道.

图2

问题1: 已知行星轨道半径为r,行星的半径为Rp,恒星的半径为Rs．(1) 若轨道平面与视线连线夹角为i,计算发生凌星现象需要满足的条件; (2) 若我们不知道轨道平面夹角i,请计算系统发生凌星的概率.

问题2: 若测得恒星原来的亮度为L0,当行星路过恒星前方时,亮度最小值为L,已知恒星半径为Rs,假设恒星与行星相距较远,恒星光线认为是平行光,估算行星的半径Rp.

问题3: 若行星遮挡过程中各时刻tA～tD均已知,并已知恒星半径Rs,且轨道平面与视线连线夹角为0,计算行星速度vm.

问题4:若已知恒星的半径Rs,行星的半径Rp,轨道周期为T,轨道半径r,轨道平面与视线的夹角为i,计算整个凌星现象持续的时间tT.

3 问题解答

3.1 径向速度法问题解答

(1)

波长变短,频率变高,发生蓝移现象;同理,当恒星远离地球时,频率变低,发生红移现象.

问题2: 双星系统轨道平面与我们的视线方向共面时,不计质心相对于地球的运动,测得的最大波长对应着恒星相对于质心的速度大小为

(2)

当从恒星、行星与地球三者共线,且行星在恒星地球之间开始计时,径向速度大小可以表示为

(3)

即测得的径向速度随时间变化是正弦图像.

问题3:设恒星到质心的距离为dM,行星到质心距离为dm,由开普勒第三定律可知

(4)

系统相对于质心满足动量守恒定律,有MdM=mdm,代入(4)式,

(5)

3.2 凌星法问题解答

问题1:行星轨道沿地球的视线方向投影距离为rsini,要发生凌星现象,必须要满足:

|rsini|≤Rp+Rs.

(6)

系统发生凌星的概率为

(7)

(8)

问题3:从光变图像图2可知,行星的速度vm满足2Rs=vm(tC-tA),则行星速度为

(9)

(tC-tA)也可以表示为(tD-tB).

图3 从视线方向看恒星—行星系统(a);从侧面看恒星—行星系统(b)

(10)

4 小结

本文主要描述了系外行星搜寻的2种主要方法:径向速度法和凌星法,并按照IPHO和APHO的赛题格式进行命题．微引力透镜的命题思路可以参照“2015年泛珠三角及中华名校物理奥林匹克邀请赛卷2第1题:系外行星的微引力透镜效应”．[1]搜寻系外行星与地外文明是当前的热门科研课题,激发了人们对于外星文明的美好遐想,我们希望本文能够对感兴趣的师生有所帮助,也希望能拓宽物理资优生的视野.