2-SPU/2-RPS并联机构运动分析

张 伟，周毅钧，傅 敏，陈业富

(安徽理工大学 机械工程学院，安徽 芜湖 241000)

并联机构由于承载能力强、精度高、刚性好等特点一直受到国内外学者广泛而深入的研究，其中最典型的是拥有3个自由度Delta[1]机器人。在日常生活中未见Delta机器人，只是工业生产中有所应用，它代替工人的高强度的劳作，大大提高了生产效率。因此，对自由度较少的并联机构的研究非常具有价值。最早四自由度并联机构出现在1999年，由Company和Pierrot共同研制出[2]。从1900年《螺旋理论》问世[3]，到螺旋理论被用作并联机构分析，再到戴建生、杨廷力[4-5]等把螺旋理论用于复杂机构，螺旋理论才得以在研究机构自由度方面突破发展。黄真[6]等提出运用螺旋理论来确定并联机构自由度。文献[7-8]基于螺旋理论与雅克比矩阵分析了一种新型的并联机构2T2R。文献[9]提出了一种三自由度机构3-CPR，并通过Adams软件进行了仿真。研究少自由度并联机构的空间姿态来确定该机构具有重要意义，机构位姿进行正解与逆解是分析机构空间运动的重要理论支柱，逆解求解有空间坐标变换法、D-H矩阵法，正解求解有数值法、解析法[10-11]等，文献[12-13]在螺旋理论基础上，基于矢量封闭法，通过并联机构逆解与正解，确定了机构工作空间位姿。

研究基于螺旋理论求解2-SPU/2-RPS机构自由度，并通过机构学理论建立了其正逆解模型。利用仿真软件Adams对其正解与逆解进行了仿真，得到了机构的运动特性曲线，对理论模型进行了验证。

1 机构描述与坐标系的建立

整个机构都采用三副两杆的结构，并联机构简图如图1所示。该并联机构由下面的定平台、四条支链和上面的动平台所组成，定平台是每条边长都为D的正方形，第一条支链S11球副与定平台B1边相铰接，铰接点为B1边中心，通过移动副P12与动平台相连接，与动平台相铰接的是虎克铰U13；第二条支链构型为S21P22U23,与第一条支链构型一样，对称布置在定平台的B2边；第三条支链与定平台连接的是转动副R31，铰接点在定平台B3边的中心处，通过移动副P32与动平台相连接，与动平台相铰接的是球副S33；第四条支链R41P42S43与第三条支链对称布置在定平台的B4边。四条支链构型分别为S11P12U13、S21P22U23、R31P32S33、R41P42S4，动平台是一个半径为r的圆，其中2r=D。由图1可知，坐标系B-xyz是通过右旋定律在固定平台上建立的，坐标系B-xyz的原点在固定平台的正中心，A-uvw坐标系建立在移动平台上，并且动坐标系的原点与圆r的中心重合。

2 2-SPU/2-RPS并联机构的自由度分析

通过螺旋理论来建立机构的螺旋系，运用正反螺旋互易积为零的理论求解反螺旋得到机构的运动自由度。在物理意义上，互易积为零的两个旋量，一个表示对象的运动，另一个表示对象所承受的力。但这个力在物体上没有做功，此时反螺旋就是作用在物体上的约束力螺旋。

并联机构简图如图1所示。由图1可知，从机构的整体运动来看，分别有两组一样支链呈对称布置，所以只要研究这两组支链中的各一条支链的运动螺旋系。把第一组支链1单独拿出来，建立螺旋分解如图2所示。

图1 并联机构简图 图2 RPS分支螺旋坐标简图

根据支链螺旋分解示意图看出机构构型为RPS，在支链1转动副处建立如图2所示的坐标系，得到运动副轴线的螺旋表达式：

(1)

依据螺旋理论旋量对偶原理，旋量坐标具有6个分量，反螺旋坐标表示为：

sr=(LMN;OPQ)。

(2)

求出式(1)螺旋系的反螺旋，由正反螺旋的性质，依据正反螺旋的互易积为零：

sj∘sr=0,(j=1,2,3,4,5),

(3)

图3 SPU分支螺旋坐标

得出此螺旋系的反螺旋为：

sr=(1 0 0;0f-e)。

(4)

第二组支链机构构型为SPU，拿出一条支链进行单独螺旋运动分析，分支支链如图3所示。在支链3球副处建立如图3所示的坐标系，建立运动副轴线的螺旋表达式：

(5)

建立螺旋线系后，根据正反螺旋线互易积为零的原理，可以得出式(5)螺旋线系没有反螺旋，也就没有对动平台施加约束力的作用。

分析支链4，同样也依据螺旋理论列出了6个线性无关的螺旋方程。由于支链1与支链2机构构型完全一致，所以得出并联机构支链2的约束螺旋与支链1的约束螺旋相似。

两个相同分支的反螺旋就有两个类似的约束力，根据两个相同约束螺旋可以得到动平台受到了两个约束作用力，也就限制了动平台的两个自由度，即动平台在x方向上的移动以及围绕动平台法线z方向的相对旋转。依据修正的G-K公式计算：

(6)

3 2-SPU/2-RPS并联机构位置逆解

并联机构的位置逆解是在已知末端位姿下，通过已知末端执行机构的输出量求解驱动杆关节输入变化量。如图1所示，动平台任一相对坐标都可以通过旋转变换矩阵变换到以定坐标为基准的绝对坐标，动坐标旋转变换时的欧拉角分别为α、β、γ=0，旋转矩阵R为：

(7)

构建矢量封闭方程，在参考坐标系B-xyz中，点A的位置向量r=(xyz)可以表示为：

r=bi+qiwi+ai,(i=1,2,3,4),

(8)

式中,ai、bi为Ai和Bi的位置矢量;wi为支链i的单位矢量;qi为支链长度矢量;ai=Rai0,ai0为ai在坐标系A-uvw的度量。

对于RPS支链，在式(8)的两端同时点乘ci得：

(r+ai)Tci=0,(i=3,4),

(9)

式中,ci为转动副轴线的单位矢量，c3=c4=(1 0 0)

同理对于SPU支链，由于没有约束螺旋，在式两边点乘ci可得：

(r-bi)Tci=0,(i=1,2),

(10)

式中,c1=Rc10,c2=Rc20,c10=c20=(0 1 0)。

根据并联机构的螺旋约束，RPS支链在x方向的移动被约束，因此可以得到等式：

Ux=0,

(11)

将式(9)、式(10)、式(11)整理可得：

γ=0,x=0,y=tanβ,

(12)

对于给定参考点A的位置矢量r=(xyz)T,可以通过等式确定相应的姿态角以及相应的动平台相对于定平台的旋转矩阵R，并可以通过式(13)求出各支链的关节变化量：

qi=|r-bi+ai|,(i=1,2,3,4)。

(13)

4 2-SPU/2-RPS并联机构位置正解

并联机构由于结构复杂，位置正解求解的难易程度一般要高于位置逆解，主要是求解出一组非线性相关的方程，通常在求解正解时有数值法与封闭法。2-SPU/2-RPS并联机构的位置正解是在确定4条支链输入的条件下，求解出末端位置和姿态；动平台是通过加载在4条支链上的关节变量来改变自身的平动与转动。

(14)

(15)

在投影变化公式的两边同时乘以dt，ΔLi驱动杆的变化量，得到位姿变化分量公式：

(16)

得到动平台各个参数的分量：

x=x0,y=y0+Δy,z=z0+Δz,α=α0+Δα,β=β0+Δβ,γ=γ0，

(17)

以上就是通过对并联机构正解的求解最终求得动平台相对于驱动杆给定的输入，对它映射(x,y,z,α,β,γ)的位姿状态。

5 2-SPU/2-RPS并联机构运动仿真

5.1 并联机构逆解仿真

并联机构的运动仿真是研究机构空间运动的重要方法，通过运动仿真可以得到机构末端及支链速度、加速度、位移曲线图，为分析机构的运动特征提供了很好的理论仿真依据。并联机构逆解仿真就是在已经给出的末端位姿状态，仿真得到机构支链变化量的运动。

前面已经通过螺旋理论求出机构为4自由度，再通过正逆解确定机构的末端位姿及支链杆的变化量，在Solidworks中创建并联机构的模型，简化其对仿真影响的部位，然后导入Adams。在Adams中并联机构动平台和定平台与支链连接的铰接部位添加相应的运动副，在定平台上添加固定副来固定定平台与地面的连接，在4根支链上添加4个移动副，在动平台中心处添加一般点驱动如图4所示。

图4 并联机构三维模型

设置驱动函数：

Trax=0.3*sin(0.25*time)

Tray=-0.4*sin(0.45*time)

Traz=0.5*sin(0.45*time)，

(18)

测量4根支链杆的位移、速度、加速度变化，在后处理模块中生成变化曲线如图5、图6、图7所示。4根支链杆采用相同机构构型对称布置的方式，支链1与支链2对称，支链3与支链4对称。从图5、图6、图7中可以看出支链1与支链2在空间三维坐标系中起始坐标一样，支链3与支链4起始坐标也相同，但是它们的变化曲线不一样；在给定驱动函数之后可以很好地确定出每条支链的位移变化幅度，支链1与支链3速度、加速度变化一样，支链2与支链4变化幅度一样，在运动6 s左右，4条支链此时的加速度相等。

5.2 并联机构正解仿真

由于理论求解并联机构正解难度较大，公式推导比较繁琐，利用Adams进行并联机构正解运动仿真可以很好地求解机构正解。在支链1、支链2、支链3、支链4移动副处添加驱动函数：

支链1：L1=-5*sin(0.5*time)

支链2：L2=-5*sin(0.5*time)

支链3：L3=-5*sin(0.5*time)

支链4：L4=5*sin(0.5*time)。

(19)

在仿真控制中设置终止时间为10 s，步数500，开始仿真，打开后处理模块，生成移动板在x、y、z3个方向的位移、速度、加速度曲线图如图8、图9、图10所示。从图8、图9、图10可以看出，移动板位移、速度、加速度在x、y方向变化呈周期对称，变化幅度较小，在z轴方向即移动板法线方向变化幅度较大。

图5 4条支链位移 图6 4条支链速度

图7 4条支链加速度 图8 动平台位移

图9 动平台速度图 图10 动平台加速度

6 结论

基于螺旋理论建立并联机构2-SPU/2-RPS螺旋系方程，通过求解反螺旋得出自由度数，确定了机构运动特性。已知空间机构自由度与运动特性，求解并联机构逆解，得出支链杆运动变化量；得到驱动输入量求解出末端位姿状态，实现并联机构的位置正解。用Adams软件模拟了该机构的正解和逆解，仿真结果与原理分析基本一致，验证了其在运动学方面的可行性，得出2-SPU/2-RPS并联机构在工厂自动化生产中可以稳定的使用。