抓住认知原点，促进本质理解
——“三角形面积”的教学创新与思考

2020-07-16 06:38

魅力中国 2020年20期

（浙江省温州市泰顺县罗阳镇中心小学，浙江温州 325500）

一、问题提出

五年级学习平面图形的面积的计算之后，在练习中经常遇到逆运算类问题，例如：（一）请你在格子图上画一个面积为12 平方厘米的三角形。（二）已知三角形的面积为12 平方厘米，其中三角形的底是6 厘米，三角形的高是多少？（三）等积变形类问题。这些问题都可以归类为面积的逆运算问题。在计算三角形的面积时，孩子们很容易遗忘除以2，而在逆运算问题中，更多的孩子则忽略了乘以2。

二、原因分析

在学完“多边形的面积”这一单元之后，我让自己班和同年段另一个班共81 名同学对三道题的掌握进行调查，结果如下：

我们在教学三角形的面积计算时，花了大量功夫，借助“拼组”或者“剪拼”等实际操作，让孩子在活动中建构三角形的面积计算方法，充分理解面积计算的意义。在这之后的练习课中，简单的借助三角形的面积公式的逆运算来推理，这种方法只适用于数学思维能力比较好的孩子，他们自己在理解的基础上就能够自己找到解决问题的方法，对于其他的孩子，在解决此类问题时忘记乘以2，甚至有一部分孩子根本不理解为什么要乘以2。

三、对策思考

在面积的计算教学中，长方形和正方形的面积计算是起始，也是面积教学起点，在之后的面积学习中，其实都可以通过转化回到长方形。通过转化、沟通、对比，抓住认知起点，促进学生对三角形面积本质的理解。

（一）利用格子图，抓住面积的度量本质

度量的本质是计量单位的累加，无论是重量、时间、长度还是本文中涉及的面积。度量包含“度”和“量”两个方面，“度”是度量单位，“量”是测量，表示测量结果的数，叫做数量。面积就是用面积单位测量出的结果，他是一个数量。面积计算的方法，即学生探究的面积计算公式，是建立在用边长为1 的小正方形（面积单位）测量，寻求计算几个面积单位的简便方法。

在三角形面积练习课中，我们可以先对比长方形、平行四边形的面积计算方法，感受面积计算的本质是度量。

准备材料：

问题设计：

①仔细观察平行四边形和长方形的面积计算方法，有什么相同点和不同点。

②为什么平行四边形要进行转化才能计算，长方形不要？

③比较平行四边形和三角形的计算方法，什么变了，什么没变？

通过三个关键问题让学生体会面积的计量本质是度量，用面积单位进行度量。无论是平行四边形、长方形还是三角形，我们在求面积时，其本质是将平面图形分割成若干个面积单位。长方形不用等积变换就可以计算是因为它恰好可以分割成若干个面积单位，而平行四边形由于其形状原因，不能恰好分割成若干个面积单位，但其中有些部分可以互补成为一个完整的面积单位。同理，三角形的剪拼过程也是这样。学生在思辨中体会求面积的本质是求面积单位数量的过程，是将一个平面图形变换成面积单位堆叠的平面图形。由于面积单位是正方形，所以堆叠的结果一定是若干份长方形的组合图形，也就是可以将原图变换成一个对边相等的长方形或几个长方形的组合（组合图形的面积）。

（二）沟通对比，理解三角形面积的求解本质

①觉得根据图形变换结果，三角形的面积应该怎么算？

②3×2 是什么意思？表现出来的是一个什么形状？

③那为什么三角形的面积公式中为什么有一个“÷2”呢？

从平行四边形回到长方形，再与三角形进行对比，深入理解面积的求解过程是基于面积单位构建的平面图形。计算三角形的面积不是记住了面积公式就可以，是要理解三角形是怎么转化成由面积单位组成的长方形，以此来加深学生对面积计算的理解。

④你能在格子图上表示三角形面积计算公式中“底×高”的意思吗？

剪拼有利于学生理解三角形的面积本质，但是不利于学生理解求高或求底的逆运算，而倍拼是一个更好的选择。利用作图让学生再次加强对面积中“×”的理解，“×”的结果必然是一个对边平行且相等的图形，有可能是长方形，也有可能是平行四边形。

⑤你能从中找到你要的三角形吗？

在了解“底×高”的含义后，再重新找出隐藏其中的三角形，理解倍拼的过程和便利性，更有利于理解逆运算中的“×2”。

⑥6×2÷4 或6×2÷3 中都有一个“×2”是什么意思？为什么要“×2”？

⑦结合自己画的图和同桌说一说6×2÷4 或6×2÷3 的含义。

结合倍拼和面积的基本模型长方形来帮助学生理解三角形面积的逆运算过程，让学生真正的“看”到、“想”到“×2”到底在哪里，理解“×2”的含义，而不是单纯的记住公式。

只有学生在真正理解了面积的度量本质、计算本质，才能助推对三角形面积的计算和逆运算过程的理解。当学生脱离了单纯的记忆后留下的就是数学模型和思维方法以及空间观念，这样的学习方式也更有利于学生今后的学习，尤其是其他平面图形的面积和体积的学习。