在例题中浅谈“面积法”

李劲松

摘  要：利用图形面积自身相等的性质、图形可拆分性质进行解题的方法叫做“面积法”，在中学阶段是一种常用的方法，具有解题便捷快速、简单易懂的特点。

关键词：面积法;線段相等;可拆分性

所谓巧用三角形面积法解题就是利用几何图形中边、角与面积之间的关系，运用代数手段来完成几何中的推理过程，用面积法一般可不添或少添辅助线，证法简洁，易于接受和掌握。可以用来证明诸如线段相等，角相等，求线段的长，图形的面积等等。下面浅谈几种方面的例题选取。

一、用面积法求线段的长：

例1：如图1，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，BD⊥AC于点D。求BD的长。

解析：先利用勾股定理求出 ，再利用三角形的面积得： ，可求出 。

例2：如图2，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，BD平分∠ABC，求CD的长。

解析：过点D分别向AB、BC作垂线，则四边形BEDF是正方形，设DE=  ，利用三角形的面积可拆分性， ，可以列出方程： ，求出DE，最后用勾股定理易求出BD的长。

总结：这种利用图形面积自身相等的性质、图形可拆分性质进行解题的方法叫做“面积法”，在中学阶段是一种常用的方法，具有解题便捷快速、简单易懂的特点。

二、用面积法证明线段相等。

例3：已知：如图3，AD是△ABC的中线，CF⊥AD于F，BE⊥AD交AD的延长线于E。求证：CF=BE。

解析：连接CE，因为：

所以：

即：BE=CF

三、用面积法证明线段和差相等。

例4：如图4，点P是等边三角形内部一点，过P作PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB，△ABC的高为h，试说明PD+PE+PF=h.

解析：连接AP、CP、BP，利用面积可拆分性质有：

得出：PD+PE+PF=h.

例5：如图5，P是等腰三角形ABC底边BC上任一点，PE⊥AB于E、PF⊥AC于F，BH是等腰三角形ABC的边AC上的高。试猜想线段PH和PE、PF之间有怎样的数量关系。

解析：连接AP，利用三角形面积可拆分性质有： ，

所以：

即：BH=PE+PF

例6、如图6，E是矩形ABCD边AD上一点，且BE=ED，P是对角线上任一点，PF⊥BE，PG⊥AD，垂足分别为点F、G。试证明PF+PG=AB。

解析：连接PE，

因为：

所以：

则可得出：PF+PG=AB

在数学解题过程中，面积法有广泛的应用价值，利用面积法往往能化难为易，化繁为简。在教学中适当的渗透给学生这方面的数学思想，讲解几道例题，能有效提升学生综合能力，丰富解题手段，使学生分析问题，解决问题的能力得到一定提高。

参考文献

[1]  龚建国.探讨初中数学例题教学[J].数学学习与研究，2016（10）：33-34.

[2]  蔡建华.拓展教学空间 促进思维生长[J].江苏教育，2015（33）：71-72.