中国股票市场与外汇市场的分形分析

刘如玉

（南京财经大学应用数学学院，江苏南京210023）

外汇市场是金融市场中不可或缺的部分，汇率是一个国家货币交换能力的反映. 股票市场一向被视为经济和金融领域的“晴雨表”，它能捕捉到实体经济的细微变化. 外汇市场和股票市场已经成为国际金融体系中不可或缺的金融投资市场，研究外汇市场和股票市场之间的相关性，分析两市之间的相互作用，对我国汇率政策的出台以及股市贸易的有序进行至关重要.

近些年来，许多学者研究了某些国家股市与汇市之间的关系. 宋琴[1]运用ARCH 模型检验汇改的前后时期汇率对股票指数的影响，发现在外汇改革之前，两收益率表现为负相关关系；在外汇改革之后，两收益率表现为正相关关系. Liu 和Wan[2]采用协整检验和格兰杰因果检验探讨了上海股市和中国元（CNY）汇率间的关系，发现在2009年金融危机之前股票价格和汇率之间没有因果关系，在金融危机之后，出现了从汇率到股票指数的单向因果关系行为. Lin[3]采用自回归分布滞后（ARDL）模型研究亚洲新兴市场的汇率与股票价格之间的动态相关性，发现在1997 年的金融危机期间二者之间的关联性更强一些. Dahir 等[4]运用小波相干性方法研究金砖国家的汇率与股价之间的交互关系，结果表明，巴西和俄罗斯的中长期汇率与股价之间的关系表现为正相关性，印度指数对则表现为负相关性，在2008 年、2010-2012 年和2012-2015 年期间，股价在64-128天的标度上领先于汇率，南非存在双向的因果关系，而中国指数对没有显示出任何相关性.Chkili等[5]利用马尔科夫转换EGARCH 模型研究1994-2009 年期间四个新兴国家股票价格波动与汇率变化之间的动态相关性，结果证明股票和外汇市场之间的关系是政策依赖的，股票价格波动对外汇市场中的事件做出不对称的反应. Granger 等[6]利用单位根和协整模型探究股价和汇率之间的联动关系，结果表明菲律宾股票价格主导汇率，韩国则与之相反.

已有众多学者运用ARCH 模型、格兰杰因果检验、ARDL模型、小波分析等方法研究股票与汇率市场之间的线性关系，但仍缺乏对二者之间的非线性关系的细致分析. 此外，相关文献指出，金融市场是一个具有分形与混沌结构的非线性复杂系统[7]. 姚睿[8]采用MF-DFA 和MF-DCCA 方法分别研究人民币兑美元汇率和上证综指的自相关性以及交互相关性，结果表明两个样本数据均具有多重分形特征，并且前者收益率序列的分形强度大于后者. 朱丽娜[9]运用多重分形谱方法发现美元兑人民币汇率的波动呈现出多重分形特征，并且其波动率非常依赖相对应的标度指数的标准差. 白杰[10]等通过采用R/S分析法以及修正的R/S 分析法实证分析人民币汇率价格的波动特征，发现汇率价格的变动符合杠杆效应. Li[11]等基于MF-DMA 和MF-X-DMA 研究了人民币汇率制度改革的有效性. Li 等[12]使用MF-DCCA 研究沪深两市人民币汇率与股票市场流动性的动态关联，发现它们之间的动态关系不满足有效市场假说，其相关性具有多重分形特征. 但这些研究侧重于讨论单个市场或两个市场中的单一指标之间的多重分形性，没有对两个市场中的多个指标之间的动态相互关系进行分析. 因此，本文运用多重分形去趋势交互相关分析方法（MF-DCCA）和多重分形谱方法对股票市场中的上证综指、深证成指以及外汇市场中的人民币兑美元汇率之间的交互相关性进行定量分析，采用多重分形统计参数度量市场风险. 此外，分析两个市场间多重分形性的来源，以期为市场监管者和投资者进一步了解两个市场的价格波动特征和出台相关政策提供参考.

1 多重分形分析方法概述

Hurst[13]提出了重标极差分析方法（R/S），且由Mandelbrot 应用于金融时间序列的研究中. 针对R/S 分析法仅能有效分析平稳时间序列的不足，Peng 等人[14]通过对DNA 机理的研究提出了去趋势波动分析法（DFA）. 但R/S 分析法和DFA 分析法侧重于描述时间序列的整体特征，缺乏对时间序列内部复杂性和局部分布规律的刻画[15]. 因此，Kantelhardt 等[16]基于DFA 分析法提出了多重分形去趋势波动分析法（MF-DFA）. 此外，已有方法被拓展到其他经典模型，例如DCCA 方法[17]和MF-DCCA[18].目前，这些方法已经被广泛应用于研究不同时间序列的多重分形性中.

本文主要介绍MF-DCCA 方法，具体的算法和步骤如下：

第一步，对于时间序列{xk}和{yk}，k=1,2,…,N，其累计离差为：

第二步，将X(i)和Y(i)分割成个间距均为s 的互不相交的子区间. 由于N往往不能整除s，那么序列X(i)和Y(i)中的数据将有一部分剩余，为了保证计算数据的完整性，从序列X(i)和Y(i)的另一端重复该过程. 这样，共得到2Ns个子区间.并且在以后的计算中，设定

第三步，用最小二乘法对每个子区间v(v=1,2,…,2Ns)内的局部趋势进行拟合，得到序列X(i)和Y(i)在区间v中的拟合多项式：

其中：i=1,2,…,s；k=1,2,…,N. 然后用每个子区间v中的对应数值去除拟合后的局部趋势，确定协方差.

对于v=1,2,…,Ns，局部协方差函数为：

对于v=Ns+1,Ns+2,…,2Ns，局部协方差函数为：

第四步，计算q阶去趋势协方差函数：

第五步，对于不同的q，绘制波动函数Fxy(q,s)与标度s的双对数图，分析Fxy(q,s)的标度行为.若序列X(i)和Y(i)长程幂律交互相关，则有下列关系式：

这里hxy(q)称为广义Hurst 指数. 当0＜hxy(q)＜0.5 时，表明两个时间序列具有反持续的交互相关性；当0.5＜hxy(q)＜1 时，表明两个时间序列具有长程持续的交互相关性；当hxy(q)=0.5时，表明两个时间序列不具有交互相关性，即两个时间序列处于随机游走状态.

需注意的是，当hxy(q)独立于q时，时间序列之间的交互相关特征是单分形的；否则，是多重分形的.q＜0 时，hxy(q)用来描绘小波动状态下的序列的标度行为；q＞0 时，hxy(q)用来描绘大波动状态下的序列的标度行为.

Shadkhoo 等人[19]提出两个交互相关序列的多重分形质量指数τxy(q)和q具有如下关系：

通过Legendre变换，可获得如下表达式：

运用Δh=hmax(q)-hmin(q)和Δα=αmax-αmin刻画序列的多重分形强度，Δh和Δα越大说明多重分形强度越大，市场中隐含风险越大.

2 数据描述与统计分析

美元在外汇市场中占据重要地位，且我国在进行对外贸易时多数情况选择美元作为计价单位，因此本文以人民币兑美元汇率（CNY/USD）作为外汇市场的代表. 上证综指和深证成指是中国股市中的两大重要指标，因此选用上证综指和深证成指作为股票市场的代表. 本文选取了2008 年11 月20 日至2019年2月28日的上证综指和深证成指每日收盘价及CNY/USD 每日中间价为原始样本数据，分别有2 515、2 498 和2 498 个数据. 为了确保样本的时间序列是同步的，去除不相吻合的数据，共2 498 个数据（数据来自Wind 资讯）. 图1 展示了上证综指、深证成指收盘价和CNY/USD 中间价在样本区间内的波动情况.

图1 上证综指和深证成指收盘价、CNY/USD中间价的每日数据走势图

从图1（a）和图1（b）可见，上证综指和深证成指的波动走势大致相同，说明中国股市的各类股指的变化趋势基本一致. 股票收盘价从2008 年11 月20日到2009 年8 月稳步上升，随后开始下降. 从2012年开始，股价触底反弹，开始呈上升趋势，直至2015年6 月收盘价上涨到最高点，此时股市经历了结构性牛市. 但由于全球股市的剧烈动荡，随后几年中国股价有涨有跌，但波动幅度不大. 从图1（c）中可明显看出外汇市场的变化与股市的变化大不相同，CNY/USD 一开始呈现稳步增长的趋势，并且在2014 年初达到顶峰，但随后汇率开始大幅度降低，这是由于此时中国的汇率形成更多的是依赖市场供求关系. 但随着人民币加入SDR（特别提款权），2016 至2017 年汇率中间价开始呈现明显上升趋势，自2017 年开始稳步增长，2018 年后汇率又逐渐下降，直至2018 年末才有所回升，但人民币长期升值的基础并未改变.

利用rt=ln(Pt)-ln(Pt-1)求得对数收益率序列，这里，Pt代表序列在第t日的收盘价格. 图2 展示了上证综指、深证成指和CNY/USD 的对数收益率的波动情况. 从图2 可见，上证综指、深证成指和CNY/USD 三个收益率序列的波动都非常剧烈. 另外，上证综指和深证成指收益率序列的动态走势非常相像，并且它们的波动幅度明显大于CNY/USD收益率序列的波动幅度.

图2 上证综指、深证成指和CNY/USD的收益率图

表1 给出了上证综指、深证成指和CNY/USD收益率序列的基本统计量.从表1可知，三个收益率序列的偏度均小于0，因此呈现左偏分布，即收益率序列处于负值的可能性高于其处于正值的可能性，且CNY/USD 收益率序列处于正值的可能性最小，深证成指收益率序列处于正值的可能性最大. 同时，所有序列的峰度都大于3，表明它们不服从正态分布.从J-B统计量来看，三个收益率序列都拒绝了正态分布的原假设. 这些基本统计量表明所有收益率序列的分布都具有“尖峰胖尾”特征.

表1 上证综指、深证成指和CNY/USD收益率序列的基本统计量

采用Podobnik 等人[20]提出的交互相关性检验法检验上证综指、深证成指和CNY/USD 收益率序列之间的交互相关关系，通过观察交互相关性检验统计量Qcc(m)是否服从χ2分布来分析两个时间序列之间是否存在长程相关关系.

设两个长度为N的时间序列{xi}和{yi}，其中i=1,2,…,N，它们的交互相关函数和检验统计量为：

在自由度为m的情况下，如果Qcc(m)与χ2分布完全一致，则表明时间序列之间不存在交互相关性；如果Qcc(m)大于χ2分布的临界值，则表明时间序列之间具有显著的交互相关性.

3 多重分形分析

采用MF-DCCA 以及多重分形谱方法对上证综指、深证成指和CNY/USD 收益率序列之间的交互相关性的多重分形特征进行研究.

图3 检验统计量Qcc( )m 与自由度m的双对数图

图4 中展示了三对收益率序列的波动函数Fxy(q,s)与标度s的双对数图.分割长度s的取值范围为10 到624，q分别取值为-10、-9、…、9、10. 当q取不同值时，多重分形波动函数Fxy(q,s)与s的双对数函数存在明显的线性关系，这说明上证综指和深证成指收盘价以及CNY/USD 中间价三种关系均存在幂律交互相关行为，且可明显看出上证综指和CNY/USD 的幂律交互相关行为与深证成指和CNY/USD的幂律交互相关行为较为相似.

图4 Fxy(q,s)与s的双对数图

表2 展示了三对收益率序列的交互相关指数hxy(q)的变化情况. 从表2 中可以看出，当q值从-10到10 依次递增时，三对收益率序列的交互相关指数hxy(q)非线性减小，这表明上证综指和深证成指收盘价以及CNY/USD 中间价之间存在具有多重分形特征的交互相关关系. 并且当q≤2 时，三对收益率序列的hxy(q)都高于0.5，说明在小波动情况下它们存在正持续的交互相关性，这表明我国外汇中间价的上升可能会带动股票收盘价的上升；当q≥3 时，上证综指-深证成指收益率序列的hxy(q)值低于0.5，说明在大波动情况下存在反持续的交互相关性；当q≥5 时，深 证 成 指-CNY/USD 以 及 上 证 综 指-CNY/USD 的交互相关指数均小于0.5，并且深证成指-CNY/USD 的交互相关指数大于上证综指-CNY/USD 的交互相关指数，说明外汇市场对深证成指的影响大于对上证综指的影响，即当外汇中间价上升时，深证成指收盘价上升的可能性大于上证综指收盘价上升的可能性.

表2 三对收益率序列的交互相关指数hxy(q)值

此外，观察表2 中三对收益率序列的多重分形强度Δh，上证综指-CNY/USD 收益率序列的多重分形强度是0.730 1，大于其他两对收益率序列的多重分形强度，表明上证综指-CNY/USD 收益率组合关系中隐含的风险较大，深证成指-CNY/USD 收益率序列的分形强度次之，上证综指-深证成指的分形强度最小.

图5 展示了上证综指-CNY/USD、深证成指-CNY/USD、上证综指-深证成指三对收益率序列的hxy(q)～q关系. 从图5可知，三对收益率序列的交互相关指数hxy(q)均随着q的增加呈非线性递减的趋势，进一步表明三对收益率序列的交互相关性均呈现出多重分形特征.

图5 三对收益率序列的hxy(q)～q图

图6是上证综指-CNY/USD、深证成指-CNY/USD 以及上证综指-深证成指三对收益率序列的Renyi指数和多重分形谱图.

图6 三对收益率序列的Renyi指数（a）和多重分形谱图（b）

由图6（a）可见，Renyi 指数关于q的变化曲线是非线性递增的，呈现多重分形性关系，并且上证综指-CNY/USD和深证成指-CNY/USD的两条曲线接近重合，意味着两种交互相关行为的多重分形特征强弱接近. 观察图6（b），这三对收益率序列的多重分形谱曲线均呈现出钟形状，也表明上证综指和深证成指收盘价以及CNY/USD 中间价之间的交互相关关系均具有显著的多重分形性. 从Renyi 指数图中的τxy(q)曲线的弯曲程度以及多重分形谱图中的曲线开口大小也可判断三对收益率序列的交互相关性的多重分形特征的强弱，其结果与表2一致.

表3 是各个收益率序列的多重分形谱参数. 从表3 中可以看出，CNY/USD 收益率序列的多重分形谱宽度为1.239 8，是所有收益率序列多重分形谱宽度中的最大值，这说明CNY/USD 市场隐含的风险更大、不确定因素更多. 这也提醒投资者紧密关注外汇市场的变化，规避风险. 上证综指-CNY/USD收益率序列的Δα值接近深证成指-CNY/USD收益率序列的Δα值，并且远大于上证综指-深证成指的Δα值，与图6结果一致.

表3 收益率序列的多重分形谱参数

4 多重分形性来源

上述分析表明上证综指和深证成指收盘价以及CNY/USD 中间价之间的交互相关性存在多重分形特征，下面将讨论它们的多重分形性的来源. 已有研究指出，序列的多重分形性主要是由于受到自身的长程相关性和胖尾分布的影响[21]. 将原始序列打乱可以破坏其长程相关性，保留其分布特征；而将原始序列相位随机化可以保留其长程相关性，削弱其非高斯性. 下面将比较原始序列、打乱序列和替代序列的Δh值来分析长程相关性和胖尾分布对序列相关性的影响.

图7 展示了三对收益率序列的原始序列、打乱序列和替代序列的交互相关指数. 显然，每对收益率序列的原始序列、打乱序列和替代序列的交互相关指数hxy(q)均随着q的增加而减小，并且每对收益率序列的打乱序列和替代序列的Δh值均小于原始序列的Δh值，证实了序列间交互相关关系的多重分形特征是受到自身的长程相关性和胖尾分布的共同影响产生的结果. 从图7 可以看出，上证综指-CNY/USD、深证成指-CNY/USD、上证综指-深证成指三对收益率的打乱序列更接近其原始序列，因此，三对收益率序列的交互相关性的多重分形特征主要是因为受到了胖尾分布的影响.

图7 三对收益率序列的原始序列、打乱序列和替代序列的hxy(q)～q图

5 结语

本文主要对上证综指、深证成指和人民币兑美元汇率（CNY/USD）三个市场指标之间的动态交互相关关系进行了研究，得到了下列主要结果：首先，采用基本统计分析和交互相关统计量检验，发现三对收益率序列均呈现出“尖峰胖尾”的特征，且三个指标之间存在明显的长程交互相关性. 其次，运用MF-DCCA 及多重分形谱方法对上证综指- CNY/USD 和深证成指- CNY/USD 以及上证综指-深证成指三对收益率序列的交互关系的特征以及交互相关性强度进行探究，发现三对收益率序列的交互相关关系存在多重分形特征，且上证综指- CNY/USD 收益率序列的多重分形强度最大. 同时，外汇市场中隐含的风险较大. 最后，通过比较原始序列、打乱序列和替代序列的多重分形强度，认为序列存在多重分形性主要是因为受到长程相关性和胖尾分布的影响，且胖尾分布对其影响较大. 本文的研究可为政府部门和市场投资者制定相关的政策措施以及进行市场监管提供一定的决策参考.