从黑格尔的无限小定义看微积分存在的问题

四川省攀枝花市老年科技工作者协会 张喜安

一、黑格尔的无限小定义

1.准备

为了引入黑格尔的无限小定义，我们必须在理论上做一些准备工作，在我的论文“康托集合论存在的矛盾”和“超实集合论”中提出了超实变量、超实数、超实数点和超实函数的概念，这些概念将为黑格尔无限小定义的引入提供帮助，另一方面，因为黑格尔的无限小定义反映了无限小的本质，而这也为超实函数理论提供了重要的理论上的根据，为此，我们将超实变量、超实数、超实数点和超实函数的概念简单介绍如下：

超实变量、超实数、超实数点和超实函数的定义：如果有实变量y和x，则有超实变量Y=y+dy和X=x+dx。超实变量所对应的数则为超实数，所对应的点则为超实数点，所对应的函数则为超实函数。上式中的实变量x表示的是超实数点到原点的距离，dx表示的是超实数点所具有的无限小长度，它小于任意正实数，但是不等于0，并且遵守算术公理。这里要特别注意的是，无限小量dx和经典微积分中的微分概念有本质的区别。如果有实函数y=f（x），则有超实函数Y=y+dy=f（X）=f（x+dx），于是有dy=f（x+dx）-f（x）。请注意，这里的dy表示y轴上的点所具有的无限小长度，dx表示x轴上的点所具有的无限小长度。

这里要特别指出的是，超实变量X=x+dx表示的是客观实际存在的变量，实变量x和超实变量X=x+dx比较，是客观实际存在的变量X=x+dx去掉dx而得到的变量，而这就是失真，就是错误。因此从超实变量的角度看，使用实变量x表示客观实际存在的变量就是错误的，至少是存在问题的。同样的，超实函数Y=f（x+dx）表示的才是客观实际存在的函数，而实函数y=f（x）是超实函数Y=f（x+dx）去掉dx而得到的函数，这就是失真。因此，从超实函数的角度看，使用实函数表示客观实际存在的函数就是错误的，至少是存在问题的。

2.黑格尔的无限小定义

黑格尔是德国19 世纪著名的唯心主义哲学家，他对辩证法有卓越的贡献，而黑格尔关于无限小的定义就是黑格尔使用辩证法对数学所作的重要贡献。现在将黑格尔的无限小定义引述如下：

黑格尔的无限小定义：量所具有的质的方面的量的规定性就是无限小。[5]

对于上面的黑格尔的无限小定义，了解辩证法的同志可能已经理解了它的含义，但是，我还要根据个人的理解给出如下的解释，如果有不当之处请批评指正。

上面黑格尔的无限小定义中提到的量所具有的质的方面，指的是量和质是辩证统一的关系，量具有质的方面，是辩证法的性质所决定，例如，阴和阳是辩证统一的关系，因此阳中有阴，阴中有阳，这就是关于量具有质的方面的解释。关于质的量的规定性指的是，任意一个事物都具有确定的质，当与这个质对应的量在一定的范围内变化时，这个事物的质保持不变，但是当这个量的变化超出一定的范围，则与其对应的质就发生了变化，与这个质对应的事物就变为另外一种事物了。例如，水在0°到100°以内变化时，水以及它的性质都保持不变，如果温度超出0°到100°的范围，那么水以及它的性质也就不存在了。这就是对于质的量的规定性的解释。

上面一节的超实变量的表达式为X=x+dx，我个人的理解，黑格尔的无限小定义就是给上面的超实变量的无限小量dx所作的定义。这里的超实变量X和黑格尔的无限小定义中的量指的都是客观实际存在的变量。超实变量X的存在和变化的根据就是它的质的方面的存在和变化，如果它的质的方面存在，它就存在，如果它的质的方面变化了，它就不存在了，那么超实变量的这一个值就变为另外的一个值了。而超实变量公式中的无限小量dx就是量的质的方面的量的规定性，也就是说，无限小量dx在一定的范围内变化，则量和它的质的方面就保持不变，如果无限小量dx的变化超出了一定的范围，则量的质的方面和量本身就发生了变化，则量就从这一个值变为另外的一个值了。从以上分析中可以看出，黑格尔给无限小量dx所作的定义，指出了无限小量dx就是超实变量X存在和变化的根据，同时也就指出了无限小量dx的本质。值得注意的是，黑格尔在1812 年出版的逻辑学上册中就给出了上面的无限小定义，但是，一直没有引起数学界的注意，而且距离现在已经有200 多年了。现在看来，黑格尔的无限小定义，不仅是他对数学的卓越贡献，而且在现在还具有重要的意义。

二、根据黑格尔的无限小定义看微积分存在的问题

1.微积分使用实数表示变量存在的问题

为了指出微积分使用实数表示变量存在的问题，现将同济大学数学教研室主编的高等数学教材中的两段关于变量的概念引述如下：“在观察自然现象或技术过程中，常常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化，也就是保持一定的数值，这种量叫常量；还有一些量在过程中是变化着的，也就是可以取不同的数值，这种量叫变量，设变量x所取数值的全体组成数集M，那未变量x也可看作是表示数集M中任何元素的符号。”这个定义可以代表微积分使用实数表示变量的观点，如果这个定义存在问题，则表明微积分使用实数表示变量存在问题。

美国著名数学家鲁滨逊在他的名著《非标准分析》中，使用数理逻辑的方法证明了无限小数的存在，并且指出“在实数之后，下一个十分自然的步骤，即引入无限小，竟被完全忽略了……”

我想提醒的是，作为数学工作者，应当时刻关注数学的发展，对于鲁滨逊证明了无限小数的存在之后，为什么不想一想，再使用实数表示变量是否存在问题？如果从黑格尔的无限小定义的观点来看，使用实数来表示变量确实存在问题。上述的同济大学数学教研室主编的高等数学的两段关于变量的定义中，使用实数表示变量的观点，存在一个十分明显的问题是，没有指出变量变化的原因是什么，变量变化的根据是什么，变量变化的本质是什么，只是对变量的现象作了描述，而没有指出变量的本质。而黑格尔的无限小定义中的无限小量就是变量变化的原因和根据。所以同济大学主编的高等数学中关于使用实数来表示变量，没有反应变量的本质，因此，从黑格尔的无限小定义的观点来看，使用实数来表示变量是不符合客观事实的，因此也就是错误的，至少是存在问题的，这是莱布尼茨微积分和经典微积分都存在的问题。根据唯物辩证法，事物的变化存在两个阶段，一个是量的变化的阶段，另一个是质的变化的阶段，即当量的变化超出一定的范围就引起质的变化。但是无论客观事物处于哪种变化阶段，都包含着质的变化，因此，事物的变化包括量的变化，绝不是单纯的数量的大小的变化。而同济大学数学教研室主编的高等数学关于变量的概念则认为，量的变化只是单纯的数量大小的变化，而不包含质的变化，这是违背上述唯物辩证法的形而上学的观点。相反，黑格尔的无限小定义指出，量的变化是因为量所具有的质的方面的变化而发生的变化，也就是说，量的变化也包含着质的变化，因此，黑格尔的无限小定义的观点和上述的唯物辩证法的观点是一致的。如此可见，微积分使用实数表示变量的观点是形而上学的观点在数学上的反应。

2.经典微积分的无穷小定义存在的问题

这里特别要指出的是，经典微积分关于无穷小的定义，只是在实数的范围内来定义无穷小，相反，黑格尔所定义的无限小dx则是实数之外的新数。而且经典微积分的无穷小定义没有指出量的变化中也包含着质的变化，更没有指出变量所以变化的原因和根据，因此它的观点是和微积分的形而上学的变量的观点是完全一致的。因此，从黑格尔的无限小定义的观点看，经典微积分的无穷小定义也是错误的，至少是存在问题的。

3.经典微积分的导数定义存在的问题