一类函数方程的求解

巴英

摘要：本文致力于用常微分方程解决一类函数方程，程序是先通过函数方程和附加条件建立常微分方程，然后解常微分方程，从而获得函数方程的解。一定程度上，这种方法显得有规律可循，相比较而言容易掌握一些。

关键词：函数方程;常微分方程;通解;特解;初值问题

1引言

函数方程并没有约定俗成的解法，不同的函數方程很可能运用的解决技巧不同，这给函数方程的求解带来很多困难，也使得数学工作者总归只能局部地解决函数方程，而且这之中，越是初等的方法越繁琐。于是，我们期待能够获得相对简约化、一般化、规律化的方法。

2 化函数方程为常微分方程

只需附加给函数一个在定义域内某点（多数是原点）可导的条件，就基本上可以推证函数在任意点都可导，这样便可以建立常微分方程。接下来，便是利用已有的常微分方程知识求解新建立的常微分方程，从而获得函数方程的解。

附注2 同一方法可以反复出现，已经说明了方法本身具有一定的一般性 ，而且可以多维度纵向延申。

3 结束

数学史上，任何一个科目的发展都离不开滴水穿石的积累，最终都是百纳海川的结果。函数方程求解的征途注定是充满曲折和千变万化的，也许未来几十、上百年方能迈出有意义的一步，但其中利用常微分方程求解一定是一颗最璀璨的星星。

参考文献：

[1]王高雄等.常微分方程（第三版）[M].高等教育出版社.2006.

[2]E.卡姆克.常微分手册[M].高等教育出版社.1977.

[3]李大华，大学数学2000题（第二版），华中科技大学出版社，2001.